Berechnungen nach Theorie 2. Ordnung im …

1 Prof. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Seite 1 Berechnungen nach Theorie 2. Ordnung im Stahlbetonbau 1. Einleitung Der Gleichgewichtszustand von stabf rmigen Bauteilen (St tzen, W nde, Pf hle, B gen) unter L ngsdruck muss am verformten Tragwerk nachgewiesen werden ( Theorie 2. Ordnung ), wenn Verformungen infolge von direkten Einwirkungen, Kriechauswirkungen oder Setzungen die Tragf higkeit um mehr als 10 % verringern. Die Bemessungswerte der Schnittgr en hierf r sind entweder mit der Plastizit tstheorie oder mit nichtlinearer Rechnung zu ermitteln.

2 F r Einzelst tzen ist nur eine nichtlineare Rechnung zul ssig. Die Grundlage f r die nichtlineare Rechnung zur Ermittlung von Schnittgr en und Verformungen bilden die Werkstoffgesetze f r Beton und Betonstahl: Bild: Werkstoffgesetze f r die nichtlineare Rechnung Die Funktion f r die Betonspannung in dem oben abgebildeten Werkstoffgesetz ist in der Norm festgelegt: () + =212kkfcc ( ) Abk rzungen: 1cc = cccfEk105,1 = Der Grenzzustand der Tragf higkeit gilt als erreicht, wenn in einem beliebigen Querschnitt des untersuchten Tragwerks die kritische Stahldehnung su oder die kritische Betondehnung cu oder der kritische Zustand der Stabilit t erreicht ist.

3 F r Nachweise am Gesamtsystem nach Theorie lI. Ordnung wird auf DAfStb-Heft 600 verwiesen. Prof. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Seite 2 Allgemeines Verfahren nach EC 2, Kapitel Die Schnittgr en infolge Theorie II. Ordnung sind grunds tzlich nichtlinear zu ermitteln, mit den Werkstoffmodellen unter Ber cksichtigung der Teilsicherheitsfaktoren f r den GZT und den GZG. Als alternatives einfaches Hilfsmittel f r die Bemessung von St tzen und W nden wurde bereits das Modellst tzenverfahren behandelt.

4 Wenn f r die Berechnung der Form nderungen mit den Spannungs-Dehnungs-Linien Bemessungswerte verwendet werden(cckf CEcmE ), dann darf damit auch der Bemessungswert der Tragf higkeit direkt ermittelt werden. Abweichend hiervon d rfen nach EC2 NA die Form nderungen f r die Theorie II. Ordnung auch mit den Mittelwerten der Baustoffkennwerte ( ccmf CEcmE ) ermittelt werden. Allerdings muss dann im Nachgang zus tzlich ein Nachweis der Grenztragf higkeit im kritischen Querschnitt mit den blichen Bemessungswerten (wie cckcdff =) durchgef hrt werden!

5 Sicherheitsfaktor f r den E-Modul: 5,1=CE (EC2 allgemein und Aussteifung: 2,1=CE ) Ein Vergleich f r Beton C30/37 und Betonstahl B500A soll die Unterschiede f r die Verformungsberechnung nach Theorie II. Ordnung im GZT verdeutlichen: Bemessungswerte nach EC2 NA: 20,175,13085,0mMNffcckc = = = 243515,1500mMNffsyky === 2220005,133000mMNEECE cmcd === Keine Bemessung mehr erforderlich. Mittelwerte nach EC2 NA: 2333,255,138)8(mMNfffcckccmc ==+== 2500mMNffyky == 2220005,133000mMNEECE cmcd === Beim Stahl gilt hierbei wegen der geringen Streuung der Festigkeiten 0,1=s.

6 (Heft 600) Zus tzlich ist dann noch ein Nachweis der Querschnittstragf higkeit erforderlich mit den Bemessungswerten: 20,175,13085,0mMNffcckcd = = = 243515,1500mMNffsykyd === Der Vorteil der Regelung nach EC2 (Bemessungswerte) liegt darin, dass das gleiche Materialgesetzt sowohl f r die Berechnung der Form nderungen wie auch f r den Nachweis im Grenzzustand der Tragf higkeit benutzt werden kann. Der Nachweis gilt dann als erbracht, wenn das System stabil bleibt. Eine nachtr gliche Bemessung ist dann nicht mehr erforderlich.

7 Die Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen (tension stiffening) darf vernachl ssigt werden, wenn die Auswirkungen g nstig wirken. Prof. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Seite 3 Imperfektionen Imperfektionen sind wie bei der normalen St tzenberechnung ber den Ansatz einer Schiefstellung in ung nstigster Richtung zu ber cksichtigen: mhi = 0 Schiefstellung im Bogenma 20010= Grundwert der Schiefstellung 120 = colhl Abminderungsbeiwert f r die H he h ()mm115,0+ = Abminderungsbeiwert f r die Anzahl der lastabtragenden Bauteile Hierbei ist m die Anzahl der lotrechten, lastabtragenden, in einem Geschoss nebeneinanderliegenden Bauteile.

8 Als lastabtragend gelten die Bauteile dann, wenn sie mind. 70 % der mittleren L ngskraft mFNEdmEd/,= aufnehmen, worin EdF die Summe aller Bemessungswerte der einwirkenden L ngskr fte in dem betrachteten Gescho bezeichnet. Vereinfacht ergibt sich daraus die folgende Lastausmitte ei: 20leii = Kriechen Kriechauswirkungen m ssen bei Verfahren nach Theorie II. Ordnung ber cksichtigt werden. Die Dauer der Belastungen darf vereinfacht mittels einer effektiven Kriechzahl ef ber cksichtigt werden. Zusammen mit der Bemessungslast ergibt diese eine Kriechverformung (Kr mmung), die der quasi-st ndigen Beanspruchung entspricht: ( )EdEqpefMMt000, = (EC2 ) ( )0,t die Endkriechzahl; M0 Eqp Biegemoment nach Theorie I.

9 Ordnung unter der quasi-st ndigen Einwirkungskombination (GZG); M0Ed Biegemoment nach Theorie I. Ordnung unter der Bemessungs- Einwirkungskombination (GZT). Die Biegemomente M0 Eqp und M0Ed in Gleichung ( ) beinhalten die lmperfektionen, die bei Nachweisen nach Theorie II. Ordnung zu ber cksichtigen sind (NA). ANMERKUNG Es besteht auch die M glichkeit, ef auf Grundlage der Gesamtbiegemomente MEqp und MEd zu ermitteln. Dies bedarf allerdings der Iteration und des Nachweises der Stabilit t unter quasi-st ndiger Belastung mit ( )0,tef =.

10 Wenn M0 Eqp I MoEd in einem Bauteil oder Tragwerk variiert, darf das Verh ltnis f r den Querschnitt mit dem maximalen Moment berechnet oder ein repr sentativer Mittelwert verwendet werden. Prof. Rudolf Baumgart Hochschule Darmstadt Massivbau University of Applied Sciences Seite 4 Die Kriechauswirkungen d rfen vernachl ssigt werden ( ef = 0), wenn die folgenden drei Bedingungen eingehalten werden: ( )2,0 t 75 hNMEdEd 0 Dabei ist M0Ed das Moment nach Theorie I. Ordnung und h ist die Querschnittsh he in der entsprechenden Richtung.