CHAPITRE XIII : Les circuits à courant alternatif ...

1 XIII. 1. CHAPITRE XIII : Les circuits courant alternatif : d phasage, repr sentation de Fresnel, phaseurs et r actance. Dans les chapitres pr c dents nous avons examin des circuits qui comportaient diff rentes combinaisons de r sistances, de condensateurs et d'inducteurs alors qu'ils taient soit aliment s par une source de f..m. continue, soit ind pendants de toute source d' nergie. Les seules variations dans le temps que nous avons observ es r sultaient soit du temps que le courant mettait pour s' tablir, lorsqu'on basculait un interrupteur, soit de l'oscillation de charges entre les armatures d'un condensateur initialement charg.

2 Voyons maintenant ce qui se passe lorsqu'on connecte ces divers l ments une source de f..m. qui d livre une f..m. alternative et plus particuli rement une f..m. de forme sinuso dale. En effet, nous avons vu ( la section ), que les centrales lectriques produisent une tension sinuso dale. Nous verrons dans ce CHAPITRE qu'il en r sulte un courant , lui aussi de forme sinuso dale, de m me fr quence. Dans un sch ma de circuit, une source de f..m. alternative se repr sente par le symbole suivant : Nous prendrons pour convention de repr senter les valeurs instantan es des courants et des tensions alternatives par des lettres minuscules, ainsi que leurs amplitudes, r servant les lettres majuscules pour les courants et les tensions continues.

3 : Les circuits comportant uniquement une r sistance A la figure une r sistance R est aliment e par une source de f..m. alternative, v. Figure XIII. 2. D'apr s la loi des mailles de Kirchhoff, chaque instant la tension aux bornes de la r sistance gale celle d livr e par la source : vR = v. Or la loi d'Ohm nous dit qu' chaque instant, vR = R i, o i est le courant qui circule dans le circuit. Par cons quent : v = R i, et le courant aura la m me d pendance temporelle que la tension d livr e par la source une constante R pr s. Si la source de f..m. d livre une tension sinuso dale : v = v0R sin ( t+ ), ( ). le courant aura la forme : v i = 0R sin( t+ ) = i 0 sin( t + ) , ( ).

4 R. en posant : i0 =v0R/R ; ( ). i0 et v0R sont respectivement l'amplitude du courant et de la tension aux bornes de la r sistance. Tension et courant ont la m me fr quence, f = /2 et sont en phase : ils s'annulent en m me temps, passent par un maximum ou un minimum en m me temps, ainsi que l'illustre la figure , pour = Figure : Les circuits comportant uniquement un condensateur A la figure un condensateur de capacit C est connect aux bornes d'une source de f..m. alternative, v. Supposons que celle-ci produise un courant sinuso dal : i = i 0 sin( t). XIII. 3. et voyons quelle doit tre la forme de v. Figure D'apr s la loi des mailles, nous avons vc = v.

5 D'autre part, nous avons vu la section que vC = q/C. La charge q est reli e au courant qui circule dans le circuit par : dq i= . dt D s lors : dq = i dt = i0 sin ( t) dt, ce qui donne apr s int gration : q = -i0/ cos( t) = i0/ cos ( - t) . ( ). Tenant compte de l' galit du sinus et du cosinus de deux angles compl mentaires, nous avons : i0 . q= sin( + t). 2. D s lors : i0 . v= sin( t ) = v 0C sin( t ) , ( ). C 2 2. en posant : i0. v 0C = ; ( ). C. i0 et v0C sont l'amplitude du courant et de la tension aux bornes du condensateur. Tension et courant ont toujours la m me fr quence f = /2 mais ils ne sont plus en phase : ils sont d phas s.

6 De . Cette situation est illustr e la figure 2. XIII. 4. Figure . Elle montre que le courant devance la tension de : la tension s'annule et passe par un 2. extremum un temps t plus grand que le courant ; elle est en retard. Quand elle s'annule, le courant passe par un extremum, quand elle passe par un extremum, le courant s'annule : le . d phasage est bien d'un quart de cycle, soit . 2. : Les circuits comportant uniquement un inducteur A la figure un inducteur d'inductance L est connect aux bornes d'une source de f..m. alternative, v. Supposons que celle-ci produise un courant sinuso dal : i = i 0 sin( t). et voyons quelle doit tre la forme de v.

7 Figure XIII. 5. D'apr s la loi des mailles, nous avons vL = v. D'autre part, nous avons vu la section que vL = L di/dt. D s lors : v = L i 0 cos( t) , Par des transformations trigonom triques analogues celles effectu es dans le cas du condensateur, pour l'expression ( ), on obtient : . v = L i 0 sin( t + ) , 2. ou encore : . v = v 0L sin( t + ) ( ). 2. en posant : v 0L = i 0 L ; ( ). i0 et v0L sont l'amplitude du courant et de la tension aux bornes de l'inducteur. Tension et courant . ont la m me fr quence, f = /2 mais sont d phas s de . Cette situation est illustr e la 2. figure Figure . Elle montre que cette fois, le courant est en retard de par rapport la tension.

8 2. XIII. 6. : Les circuits RLC s rie en courant alternatif Etudions maintenant le circuit de la figure qui comporte une r sistance R, un inducteur d'inductance L et un condensateur de capacit C, mont s en s rie et aliment s par une source de f..m. alternative sinuso dale de fr quence angulaire . Figure Nous avons vu que dans ce cas, pour chacun de ces trois l ments, le courant tait lui aussi sinuso dal et de m me fr quence que celle de la source. Comme c'est le m me courant i qui passe en chaque point du circuit de la figure , nous avons : iR = iC = iL = i = i0 sin ( t) ( ). Nous avons vu la section , que dans la r sistance, tension et courant sont en phase et que : vR = R i0 sin ( t) = v0R sin ( t).

9 A la section , nous avons vu que dans un condensateur, le courant devance la tension de : 2. 1 . vC = i sin( t ) = v 0C sin( t ). C 0 2 2.. A la section , nous avons vu que dans un inducteur, le courant est en retard de par 2. rapport la tension : . v L = L i 0 sin( t + ) = v 0L sin( t + ). 2 2. En appliquant la loi des mailles au circuit de la figure , nous avons chaque instant : vsource = vR + vC + vL ( ). XIII. 7. Comme vR, vC et vL n'ont pas le m me d phasage, ces diff rentes tensions ne passent pas en m me temps par leur maximum et l'amplitude de la source n'est pas gale la somme des amplitudes de vR, vC et vL ; il en va de m me pour les tensions efficaces.

10 Exemple : Soit vR = v0R sin t, avec v0R = 2V et = rad/s vC = v0C sin ( t /2), avec v0C = 3V, vL = v0L sin ( t + /2), avec v0L = 4V. Dans ce cas, f = /2 = 0,5Hz et T = 1/f = 2 s. Calculez vsource pour t = 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 s, lorsque vR, vC et vL passent soit par un extr mum ( v0) soit par z ro : t (s) vR (V) vC (V) vL (V) vsource (V). 0 0 -3 +4 1. 0,5 +2 0 0 2. 1 0 +3 -4 -1. 1,5 2 0 0 -2. 2 0 -3 +4 +1. On constate que lorsque vR = 0 , vC et vL passent par un extremum, l'un par un maximum, l'autre par un minimum ; vC et vL sont nuls en m me temps alors que vR est soit maximum soit minimum. A ces instants vsource n'est jamais nulle ce qui indique qu'elle est d phas e la fois par rapport vR, vC et vL !