14 ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

1 27014 REAS Y VOL MENES DE CUERPOS GEOM TRICOSEJERCICIOS PROPUESTOSC alcula el rea de los ortoedros cuyas longitudes vienen dadas en cent )b)a) El cuerpo es un cubo:A 6a2 6 62 6 36 216 ) A 2ab 2ac 2bc 2 (5 2) 2 (5 1) 2 (1 2) 20 10 4 34 cm2 Calcula el rea total de los siguientes prismas cuyas longitudes vienen dadas en cent ) b)a) Per metro de la base:p 3 5 15 cmEl prisma es regular, luego se puede aplicar la f rmula:ATOTA L p(a h) 15 (2 6) 15 8 120 cm2b) Hipotenusa del tri ngulo de la base: 32 4 2 9 16 25 5 cmPer metro de la base:p 3 4 5 12 cmALATERAL p h 12 6 72 cm2 ABASES 2 12 3 4 12 cm2 ATOTA L 72 cm2 12 cm2 84 cm2 Calcula el rea total de las siguientes pir ) b)a) Calculamos el rea lateral y de la base:ALATERAL 12 p A 12 16 6 48 cm2 ABASE l2 4 4 16 cm2 ATOTA L 48 cm2 16 cm2 64 cm2b) Como la pir mide es regular, aplicamos la f rmula:ATOTA L 12 p(a A) 12 (4 5) (2,8 8) 10 10,8 108 cm6 cm4 cm8 cm2,8 cm112027_U14 6/11/08 12:02 P gina 270 Calcula el rea de este tronco de pir tronco de pir mide es regular, por lo que podemos aplicar la f rmula del rea lateral.

2 ALATERAL 12 (p1 p2) A 12 (30 20) 8 12 50 8 200 cm2 ABASE GRANDE 12 pa 12 (6 5) 4,1 61,50 cm2 ABASE PEQUE A 12 pa 12 (4 5) 2,8 28 cm2 ATOTA L 200 61,50 28 289,5 cm2 Dibuja un cilindro de 4 cent metros de di metro y 6 cent metros de altura. Calcula su rea L 2 r h 2 r2 2 3,14 2 6 2 3,14 22 75,36 25,12 100,48 cm2El di metro de un cilindro mide 5 cent metros, y su altura, el triple del radio. Calcular la : 2,5 cmAltura: 3 2,5 7,5 cmALATERAL 2 r h 2 3,14 2,5 7,5 117,75 cm2Al girar el rect ngulo alrededor del lado ABgenera un cilindro, y al girar alrededor del lado ADgeneraotro cilindro. Tienen la misma rea? Compru balo calculando ambas generado alrededor del lado ABRadio:AD 5 cmAltura:AB 2 cmATOTA L 2 r h 2 r2 2 3,14 5 2 2 3,14 52 62,8 157 219,8 cm2 Cilindro generado alrededor del lado ADRadio:AB 2 cmAltura:AD 5 cmATOTA L 2 r h 2 r2 2 3,14 2 5 2 3,14 22 62,8 25,12 87,92 cm2 Ambos cilindros no tienen la misma rea.

3 El rea del primero es mayor que la del radio de un cono mide 2,5 cent metros, y la generatriz, 7. Calcula su rea L r g r2 3,14 2,5 7 3,14 72 54,95 153,86 208,81 cm2El di metro de un cono mide 12 cent metros, y la altura, 8. Calcula su rea : 6 cmGeneratriz: 62 8 2 36 6 4 100 10 cmATOTA L r g r2 3,14 6 10 3,14 62 188,4 113,04 301,44 cm8 cm4 cm2,8 cm4,1 cm6 cm4 cmCBDA2 cm5 cm112027_U14 6/11/08 12:02 P gina 271 Los radios de las bases de un tronco de cono miden 5 y 2 cent metros respectivamente, y la altura,4 cent metros. Calcula el rea total del tronco de : 42 ( 5 2) 2 16 9 25 5 cmATOTA L (r1 r2) g r21 r22 3,14 (5 2) 5 3,14 52 3,14 22 200,96 cm2 Calcula el rea de las esferas cuyo radio se ) 2 cmb) 4,75 dmc) 0,5 ma) Radio: 2 4 r2 4 3,14 22 50,24 cm2b) Radio: 4,75 dmA 4 r2 4 3,14 4,752 283,385 dm2c) Radio: 0,5 mA 4 r2 4 3,14 0,52 3,14 m2El di metro de una ensaladera semiesf rica mide 22 cent metros.

4 Calcula su : 22 2 11 cmSuperficie:A 12 (4 r2) 2 3,14 112 759,88 cm2La superficie de la ensaladera semiesf rica mide 759,88 di metro del planeta Marte mide 6 795 kil metros. Cu nto mide su superficie?Radio del planeta Marte: 6 795 2 3 397,5 kmSuperficie:A 4 r2 4 3,14 3 397,52 1444980158,5 km2 Calcula el di metro de las esferas cuya superficie es la que se ) 50 cm2b) 100 m2c) 1 dm2a) A 50 cm2A 4 r2 r 4A 4 530,1 4 3,98 1,99 cm d 3,98 cmb) 100 m2A 4 r2 r 4A 4 1030,1 4 7,96 2,82 m d 5,64 mc) 1 dm2A 4 r2 r 4A 4 13,1 4 0,0796 0,2821 dm d 0,56 dmExpresa estas cantidades en metros c ) 250 000 cm3 b) 500 cm3c) 50 hm3d) 0,5 km3a) 250 000 cm3 250 dm3 0,250 m3c) 50 hm3 50 000 dam3 50 000 000 m3b) 500 cm3 0,5 dm3 0,0005 m3d) 0,5 km3 500 hm3 500 000 dam3 500 000 000 m3 Expresa en cent metros c ) 3,5 m3b) 8 dm3c) 1,75 dm3d) 0,050 m3a) 3,5 m3 3500 dm3 3 500 000 cm3c) 1,75 dm3 1750 cm3b) 8 dm3 8 000 cm3d)

5 0,050 m3 50 dm3 50 000 cm3 Expresa en litros las siguientes cantidades:a) 1 200 cm3b) 0,25 m3c) 275 dm3d) 0,5 cm3a) 1200 cm3 1,200 dm3 1,200 Lc) 275 dm3 275 Lb) 0,25 m3 250 dm3 250 Ld) 0,5 cm3 0,000 5 dm3 0,000 5 6/11/08 12:02 P gina 272 Expresa en cent metros c bicos estas cantidades:a) 250 cLb) 2,5 Lc) 6500 mLa) 250 cL 2 500 mL 2 500 cm3b) 2,5 L 2 500 mL 2 500 cm3c) 6 500 mL 6 500 cm3 Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular, siendo el lado de su base 8 cent metros, la apo-tema 7 cent metros, y la altura del prisma 20 cent ABASE h p2 a h (8 62) 7 20 3360 cm3 Calcula el volumen del prisma de la ABASE alturaCon Pit goras obtenemos el otro cateto del tri ngulo de la base:102 62 a2 100 36 a2 a 64 8V 8 26 4 96 cm3 Calcula el volumen de estas pir mides, cuyas dimensiones vienen dadas en cent )b)a) La base es un tri ngulo rect ngulo:ABASE 42 3 6 cm2V 13 ABASE h 13 6 5 10 cm3b) La pir mide es regular, luego podemos calcular el rea de la base aplicando la f rmula:ABASE p2 a (2 62) 1,7 10,2 cm2V 13 ABASE h 13 10,2 5 17 cm3 Calcula el volumen del tronco de pir mide, cuyas medidas vienen dadas en cent de la pir mide total:V 13 ABASE h 13 p2 a h 13 (4 52) 2,7 11,5 103,5 cm3 Volumen de la pir mide deficiente:V 13 ABASE h 13 p2 a h 13 (1,6 52) 1,1 4,7 6,89 cm3 Volumen del tronco de pir mide:V 103,5 6,89 96,61 cm4 cm6 cm53421,75h1 = 4,7h2 = 11,541,61,12,7112027_U14 6/11/08 12.

6 02 P gina 273 Calcula el volumen de estos cilindros:a) r 5 cm; h 12 cmb) d 8 dm; h 1 ma) V r2 h 3,14 52 12 3,14 25 12 942 cm3b) Radio:r 8 2 4 dmAltura:h 1 m 10 dmV r2 h 3,14 42 10 3,14 16 10 502,4 dm3 Calcula el volumen de estos ) d 1 dm; h 2rb) d 12 cm; g 10 cma) Radio:r 1 2 0,5 dmAltura:h 2r 2 0,5 1 dmV 13 r2 h 13 3,14 0,52 1 13 3,14 0,25 1 0,26 dm3b) Radio:r 12 2 6 cmAltura:h g2 r 2 102 62 64 8 cmV 13 r2 h 13 3,14 62 8 13 3,14 36 8 301,44 cm3 Calcula el volumen en metros c bicos de una esfera cuyo di metro mide 100 cent : 100 cm 2 50 cm 0,5 mV 43 r3 43 3,14 0,53 43 3,14 0,125 0,523 m3La circunferencia de un bal n reglamentario de voleibol mide 65 cent metros. Calcula el volumen de dichobal de la circunferencia (m xima):l 2 r 65 r 26 5 66,258 10,35 cmV 43 r3 43 3,14 10,353 43 3,14 11 08,72 4 641,84 cm3En un recipiente con forma de prisma de base un cuadrado de 8 cent metros de lado y altura12 cent metros se introduce una bola de hierro de 8 cent metros de di metro.

7 Calcula el volumende agua necesario para llenar el ABASE h (8 8) 12 768 cm3 VBOLA DE HIERRO 43 r3 43 3,14 43 43 3,14 64 267,95 cm3 Cantidad de agua necesaria para llenar el recipiente:768 cm3 267,95 cm3 500,05 cm3 0,500 05 dm3 0,500 05 LSe necesitan aproximadamente 0,5 L, o sea, medio litro de que la masa de 1 cent metro c bico de hierro es 7,8 gramos, cu ntas bolas de hierro de2 cent metros de di metro necesitaremos reunir para completar una masa de 1 kilogramo?Volumen de una bola:Radio: 2 2 1V 43 r3 43 3,14 13 43 3,14 1 4,187 cm3 Masa de una bola de hierro:4,187 7,8 32,659 gramosN mero de bolas:1000 32,659 30,62Es necesario reunir aproximadamente 30 6/11/08 12:02 P gina 274 PROBLEMAS PROPUESTOSEl volumen del cuerpo de la figura es de 135 cent metros c bicos.

8 Calcula el rea 5 cubos iguales de arista a; por tanto, el volumen de cada cubo es: 135 5 27 el volumen de un cubo es V a3; 27 a3;a 327 3 cm. rea de la figura:A (9 3 3 3) 2 (3 3 2) 4 9 3 3 3 3 72 72 27 27 198 cm2 Queremos hacer un tetra brikde base cuadrada de 6 cent metros de lado y con capacidad de mediolitro. Cu nto cart n necesitamos?0,5 litros 500 cm3V ABASE h 500 6 6 h 500 36 h h 53060 13,89 cmLa altura del tetra brikes aproximadamente de 14 rea total que necesitamos es: 6 4 14 2 6 6 336 72 408 LCULO MENTALC alcula el rea de los cubos cuyas aristas miden lo ) 1 cm b) 2 cmc) 10 cmd) 12 ma) A 6 a2 6 12 6 cm2b) A 6 a2 6 22 6 4 24 cm2c) A 6 a2 6 102 6 100 600 cm2d) A 6 a2 6 0,52 6 0,25 1,5 m2 Expresa las siguientes cantidades en cent metros c ) 7 dm3f) 2 000 mm3b) 0,3 dm3g) 10 dm3c) 0,001 dm3h) 1 dam3d) 1,5 m3i) 0,001 dm3e) 0,001 m3j) 0,001 dam3a) 7 dm3 7 000 cm3f) 2 000 mm3 2 cm3b) 0,3 dm3 300 cm3g) 10 dm3 10 000 cm3c) 0,001 dm3 1 cm3h) 1 dam3 1 000 000 000 cm3d) 1,5 m3 1 500 000 cm3i) 0,001 dm3 1 cm3e) 0,001 m3 1000 cm3j) 0,001 dam3 1 000 000 cm3 Calcula el rea lateral de los prismas regulares hexagonales, sabiendo el lado de la base y la altura )

9 L 5 cmh 3 cmc) l 2 cmh 10 cmb) l 1 cmh 1 cmd) l 1,5 cmh 9 cmAplicamos la f rmula:ALATERAL p h:a) 90 cm2b) 6 cm2c) 120 cm2d) 81 6/11/08 12:02 P gina 275 Expresa los siguientes vol menes en ) 2 dm3c) 0,5 dm3e) 2 000 000 mm3g) 0,005 m3b) 600 dm3d) 10 dam3f) 1 500 cm3h) 0,000 005 hm3a) 2 dm3 2 Le) 2 000 000 mm3 2 Lb) 600 dm3 600 Lf) 1 500 cm3 1,5 Lc) 0,5 dm3 0,5 Lg) 0,005 m3 5 Ld) 10 dam3 10 000 000 dm3 10 000 000 Lh) 0,000 005 hm3 5 000 LCalcula la capacidad en litros de los cubos cuyas aristas tienen las siguientes ) 1 dmc) 0,5 dme) 3 damg) 0,1 mb) 10 cmd) 2 dmf) 2 mh) 0,001 dama) 1 dm 1 dm3 1 Le) 3 dam 27 dam3 27 000 000 Lb) 10 cm 1000 cm3 1 dm3 1 Lf) 2 m 8 m3 8000 dm3 8000 Lc) 0,5 dm 0,125 dm3 0,125 Lg) 0,1 m 0,001 m3 1 dm3 1 Ld) 2 dm 8 dm3 8 Lh)

10 0,001 dam 0,1dm 0,001 dm3 0,001 LEl rea de la base de un dep sito cil ndrico es aproximadamente 0,8 metros cuadrados. Calcula su ca-pacidad en litros, redondeando la altura, dada a continuaci n, a las ) 10,2 dmb) 8,8 dmc) 10,7 dmd) 9,9 dmTenemos en cuenta la f rmula V ABASE h, y la relaci n 0,8 m2 80 ) 80 10 800 dm3 800 Lc) 80 11 880 dm3 880 Lb) 80 9 720 dm3 720 Ld) 80 10 800 dm3 800 LEJERCICIOS PARA ENTRENARSE rea de los prismasCalcula el rea total de los prismas representados en las )b)c)d)a) El prisma es un 2ab 2bc 2ac 2 2,4 7,4 2 11,5 7,4 2 2,4 11,5 260,92 cm2b) El prisma es un 6 a2 6 2,52 6 6,25 37,5 cm2c) Hipotenusa del tri ngulo rect ngulo:c 32 4 2 25 5 cmALATERAL p h (3 4 5) 4 12 4 48 cm2 ABASES 2 12 3 4 12 cm2 ATOTA L 48 12 60 cm2d) Altura del tri ngulo de la base.