3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE

1 1 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE Definici n de funci n vectorial de una VARIABLE real, dominio y graficaci L mites y Derivaci n de FUNCIONES VECTORIALES y sus Integraci n de FUNCIONES Longitud de Vector tangente, normal y 2 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Definici n de funci n vectorial de una VARIABLE real, dominio y graficaci n. Una funci n vectorial es una funci n que transforma un n mero real en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son FUNCIONES llamadas FUNCIONES componentes de VARIABLE real del par metro t. As , se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La funci n vectorial tambi n se puede encontrar representada como ( ). Por tanto, se llama funci n vectorial a cualquier funci n de la forma: =.

2 = , , .. DOMINIO El dominio de una funci n vectorial est dado por la intersecci n de los dominios de cada una de las FUNCIONES componentes, es decir: = 1 , 2 , 3 .. = 1 2 3 .. REPRESENTACI N GR FICA La representaci n grafica de una funci n vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la funci n para toda t que pertenece al dominio de la funci n. Un punto de la curva C tiene la representaci n cartesiana (x,y,z) donde: = 1 = 2( ) = 3( ) Las cuales se llaman ecuaciones parametricas de C. Al asignar n meros reales a t se elimina el par metro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C. 3 L mites y continuidad. L MITE DE UNA FUNCI N VECTORIAL Dada una funci n vectorial =( , , ( ) lim = lim ,lim ,lim = Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector ( ) se acerca m s y m s al vector.)

3 Para que exista el l mite de la funci n, debe existir el l mite de cada una de las FUNCIONES componentes. CONTINUIDAD Sea : . es continua en a s y s lo si: - Existe el vector - Existe el lim - lim = Teorema: Una funci n con valores VECTORIALES r(t) es continua en t = a si y s lo si sus FUNCIONES componentes f ,g y h son continuas en t = a. Derivaci n de FUNCIONES VECTORIALES y sus propiedades. Sea la funci n vectorial entonces diremos que es la derivada de dicha funci n y se define mediante: ( )=lim 0 + ( ) Para valores cualesquiera de t para los que existe el l mite. Cuando el l mite existe para t = a se dice que es derivable en t = a.

4 Teorema Sea una funci n vectorial y supongamos que sus FUNCIONES componentes f ,g y h son todas derivables para alg n valor de t, entonces es derivable en ese valor de t y su derivada est dada por: =( , , ( )) PROPIEDADES Supongamos que r(t) y s(t) son FUNCIONES VECTORIALES derivables, que f(t) es una funci n escalar tambi n derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces: 4 Cuando una funci n vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector ( ) se le llama vector de posici n de la curva y a los vectores ( ) y ( ) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleraci n. De modo que la rapidez en un instante t es , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector.

5 Al vector ( ) tambi n se le llama vector tangente a la curva ( ) en t, y el vector = ( )| |, Integraci n de FUNCIONES VECTORIALES . La funci n vectorial ( ) es una antiderivada de la funci n vectorial ( ), siempre y cuando = ( ) INTEGRAL INDEFINIDA Si ( ) es cualquier antiderivada de ( ), la integral indefinida de esta se define como ( ) = + Donde c es un vector constante arbitrario. INTEGRAL DEFINIDA Para la funci n vectorial ( ), se define la integral definida de la misma ( ) = ( , , ) = ( ) , ( ) , ( ) 5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow) Supongamos que ( ) es una antiderivada de ( ) en el intervalo [a,b] diremos: ( ) = ( ) Longitud de arco Teorema.

6 Si C es la gr fica de un funci n F en un intervalo [a,b] y si F es continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y = 1+[ ] = 1+( )2 Ejemplo: Encuentre la longitud de la parte de la par bola con ecuaci n =4 2 que est en la parte superior del eje x. Soluci n: La curva que se desea determinar es la grafica de = , | =4 2, [ 2,2] Como =4 2, = 2 , vemos que F es continua en [-2,2]; por tanto se puede aplicar el teorema anterior y tenemos: = 1+4 22 2 =2 17+12ln( 17+4) Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuaci n: = = ( )2+( )2 ( , ) ( , ) La formula anterior sugiere que si la curva C tiene la representaci n param trica = , = , [ 1, 2] Donde = 1 , = 2 , = 1 , = 2 , , = = , : = [ ]2+[ ]2 2 1 La formula anterior se puede aplicar para cuando la ecuaci n de la curva est dada por una funci n vectorial, por lo que, la longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la f rmula.

7 , , = | | = ( )2+ ( )2+ ( )2 6 Vector tangente, normal y binormal VECTOR TANGENTE Como ya lo vimos anteriormente, al vector ( ) tambi n se le llama vector tangente a la curva ( ) en t, =( , , ( )) y el vector = ( )| |, VECTOR NORMAL = ( ) ( )=[ ] ( )| | VECTOR BINORMAL = = | | Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre s , juntos forman un sistema de referencia m vil conocido como Triedro de Fr net-Serret. Curvatura Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva est parametrizada por la longitud de arco, que llamamos s.

8 En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variaci n del vector tangente respecto a la longitud de arco. = La curvatura viene a medir como se tuerce la curva respecto de su longitud. Esta definici n es bastante intuitiva, pero no es f cil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como = ; = ( ) ( ) ( ) 3 Si la curva est en el espacio, tambi n se retuerce y para medir esto de define a la torsi n T como =det ( , , ) ( ) ( ) 7 Aplicaciones EN ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Para determinar completamente una funci n vectorial necesitamos calcular tanto su rotacional como su divergencia, adem s de las condiciones de contorno. Por ello las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) se expresan en t rminos de la divergencia y el rotacional de los campos el ctrico y magn tico.

9 Empezaremos calculando la divergencia del campo magn tico a trav s de la ley de Biot-Savart: El integrando de esta ecuaci n puede descomponerse seg n las reglas del c lculo vectorial en la forma: donde los dos t rminos dan un resultado nulo. Por lo tanto se obtiene: que constituye una de las leyes generales del Electromagnetismo que establece que el campo de inducci n magn tica es solenoidal, es decir tiene divergencia nula en todos los puntos. Esto significa dicho campo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tanto, como resaltaremos posteriormente, las l neas de fuerza del campo magn tico siempre son cerradas. Los polos magn ticos, equivalentes en este caso a las cargas el ctricas, no existen independientemente; siempre que hay un polo Norte ha de aparecer un polo Sur. Otra de las implicaciones del car cter solenoidal del campo de inducci n es la de que existe una funci n vectorial de la que deriva: puesto que para cualquier vector A.

10 Este vector as definido recibe el nombre de potencial vector, y su unidad en el es el Wb/m. Al igual de lo que ocurre en el caso del potencial electrost tico V, el potencial vector no est 8 un vocamente determinado puesto que si le a ade cualquier magnitud vectorial de rotacional nulo se llega al mismo campo magn tico B. EN EL C LCULO DE MOVIMIENTO DE UNA PROYECTIL Cuando se lanza un objeto en presencia solamente de un campo gravitatorio , como el de la tierra, se observa que dicho objeto se eleva, alcanza una determinada altura y cae. Las ecuaciones VECTORIALES que describen este tipo de movimientos son: Este movimiento ocurre en un plano y para su estudio se puede descomponer en un movimiento en la direcci n horizontal y otro en la direcci n vertical. En la direcci n horizontal, el movimiento es uniforme con velocidad constante y las ecuaciones que lo describen son: donde 0 es la componente horizontal de la posici n inicial y es la componente horizontal del vector velocidad inicial.