Análise de séries temporais - UFSC

1 INE 7001 An lise de S ries temporais 1. 4 - AN LISE DE S RIES temporais . S rie Temporal um conjunto de observa es sobre uma vari vel, ordenado no tempo , e registrado em per odos regulares. Podemos enumerar os seguintes exemplos de s ries temporais : temperaturas m ximas e m nimas di rias em uma cidade, vendas mensais de uma empresa, valores mensais do IPC-A, valores de fechamento di rios do IBOVESPA, resultado de um eletroencefalograma, gr fico de controle de um processo produtivo. A suposi o b sica que norteia a an lise de s ries temporais que h um sistema causal mais ou menos constante, relacionado com o tempo, que exerceu influ ncia sobre os dados no passado e pode continuar a faz -lo no futuro. Este sistema causal costuma atuar criando padr es n o aleat rios que podem ser detectados em um gr fico da s rie temporal, ou mediante algum outro processo estat stico. O objetivo da an lise de s ries temporais identificar padr es n o aleat rios na s rie temporal de uma vari vel de interesse, e a observa o deste comportamento passado pode permitir fazer previs es sobre o futuro, orientando a tomada de decis es.

2 Vamos ver alguns gr ficos de s ries temporais . Companhia a rea 700 700. 600 600. 500 500. N mero de passageiros 400 400. 300 300. 200 200. 100 100. 0 0. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150. Meses Figura 1 - N mero de passageiros transportados Que padr es n o aleat rios podemos identificar na Figura 1? - observe que h uma tend ncia crescente no n mero de passageiros transportados (ou pelo menos havia antes de 11 de setembro de ). - h uma sucess o regular de "picos e vales" no n mero de passageiros transportados, isso deve ser causado pelas oscila es devido a feriados, per odos de f rias escolares, etc., que est o geralmente relacionados s esta es do ano, e que se repetem todo ano (com maior ou menor intensidade). Em outras palavras, identificamos dois padr es que podem tornar a ocorrer no futuro: crescimento no n mero de passageiros transportados, flutua es sazonais. Tais padr es poderiam ser incorporados a um modelo estat stico, possibilitando fazer previs es que auxiliar o na tomada de decis es.

3 INE 7001 An lise de S ries temporais 2. Vamos observar mais um conjunto de dados, a produ o mensal de ve culos no Brasil entre janeiro de 1997 e dezembro de 2014. Produ o mensal de ve culos automotores no Brasil 400000. 350000. 300000. 250000. Ve culos produzidos 200000. 150000. 100000. 50000. 0. jul/1998. jul/2009. jan/1997. jul/1997. jan/1998. jan/1999. jul/1999. jan/2000. jul/2000. jan/2001. jul/2001. jan/2002. jul/2002. jan/2003. jul/2003. jan/2004. jul/2004. jan/2005. jul/2005. jan/2006. jul/2006. jan/2007. jul/2007. jan/2008. jul/2008. jan/2009. jan/2010. jul/2010. jan/2011. jul/2011. jan/2012. jul/2012. jan/2013. jul/2013. jan/2014. jul/2014. M s Figura 2 - S rie mensal da produ o de ve culos automotores no Brasil de janeiro de 1997 a dezembro de 2014. Fonte: adaptado pelo autor de Microsoft a partir de dados da ANFAVEA Associa o Nacional dos Fabricantes de Ve culos Automotores, dispon veis em , acessados em 13/11/2015. Quais padr es podem ser identificados na Figura 2?

4 - observe que h uma tend ncia crescente no n mero de ve culos produzidos (come ando em cerca de 125000 em janeiro de 1997 e terminando em 200000 em dezembro de 2014);. - as flutua es (picos e vales) n o s o t o regulares quanto as identificadas na Figura 1;. - observa-se uma queda na produ o no m s de janeiro de 2009, em fins de 2008 a produ o mensal estava em torno de 300000 ve culos, e caiu para menos de 100000 naquele m s (provavelmente por causa da crise mundial no ltimo trimestre de 2008). Gr f ico de Controle p - amostras com 300 elementos .040157..017467. 1 5 10 15 20 25. Amostras Figura 3 - Gr fico de controle: fra o de defeituosos Na Figura 3 temos uma s rie temporal particular, trata-se de um gr fico de controle de fra o de defeituosos, bastante utilizado em Controle Estat stico da Qualidade para avaliar se um processo INE 7001 An lise de S ries temporais 3. produtivo est est vel, e, portanto, previs vel. Neste caso, n o queremos que haja padr es n o aleat rios, se eles existirem o processo est fora de controle estat stico, inst vel e imprevis vel, e n o podemos garantir a qualidade dos produtos resultantes: precisamos atuar sobre o processo e fazer as corre es necess rias.

5 Outro exemplo: Min rio de ferro 14000. 13000. 12000. 11000. 10000. 9000. 8000. jul/87. jul/91. mar/87. mar/90. mar/91. jul/89. jul/90. jan/87. nov/87. jul/88. set/88. jan/88. nov/88. set/89. jan/89. nov/89. nov/90. set/91. jan/91. nov/91. mai/87. mar/89. jan/90. mar/88. mai/88. mai/89. mai/91. mai/90. set/87. set/90. Meses Figura 4 - Produ o mensal de min rio de ferro no Brasil No caso da Figura 4 a s rie aparenta comportar-se de forma err tica. Em vermelho pode-se ver uma linha1 que possibilita identificar o n vel da produ o de min rio de ferro, uma tend ncia, que se situa entre 10000 e 12000 milhares de toneladas: neste caso n o h tend ncia crescente ou decrescente, mas poss vel identificar o comportamento de longo prazo da s rie. Aparentemente n o h varia es regulares, como no caso da Figura 1, que configurem sazonalidade. O problema fundamental utilizar um modelo que permita incluir os v rios tipos de padr es, possibilitando realizar previs es. O ponto de partida realizar a decomposi o da s rie em padr es.

6 - Modelo Cl ssico das S ries temporais Segundo o modelo cl ssico todas as s ries temporais s o compostas de quatro padr es: - tend ncia (T), que o comportamento de longo prazo da s rie, que pode ser causada pelo crescimento demogr fico, ou mudan a gradual de h bitos de consumo, ou qualquer outro aspecto que afete a vari vel de interesse no longo prazo;. - varia es c clicas ou ciclos (C), flutua es nos valores da vari vel com dura o superior a um ano, e que se repetem com certa periodicidade 2, que podem ser resultado de varia es da economia como per odos de crescimento ou recess o, ou fen menos clim ticos como o El Ni o (que se repete com periodicidade superior a um ano);. 1. Veremos posteriormente que se trata de uma m dia m vel. 2. Alguns autores n o incluem as varia es c clicas no modelo cl ssico da s rie temporal. INE 7001 An lise de S ries temporais 4. - varia es sazonais ou sazonalidade (S), flutua es nos valores da vari vel com dura o inferior a um ano, e que se repetem todos os anos, geralmente em fun o das esta es do ano (ou em fun o de feriados ou festas populares, ou por exig ncias legais, como o per odo para entrega da declara o de Imposto de Renda); se os dados forem registrados anualmente N O haver influ ncia da sazonalidade na s rie3.

7 - varia es irregulares (I), que s o as flutua es inexplic veis, resultado de fatos fortuitos e inesperados como cat strofes naturais, atentados terroristas como o de 11 de setembro de 2001, decis es intempestivas de governos, etc. Aqui importante salientar que nem sempre uma s rie temporal, mesmo que o modelo cl ssico seja considerado apropriado para analis -la, ir apresentar todos os componentes citados acima: - a s rie pode apresentar apenas varia es irregulares : n o se percebe comportamento crescente ou decrescente de longo prazo (tend ncia), ou flutua es sazonais ou c clicas (como as s ries da Figura 3 e da Figura 4). - a s rie pode apresentar apenas tend ncia e varia es irregulares4: n o s o identificadas flutua es sazonais ou c clicas, apenas o comportamento crescente/decrescente de longo prazo e as varia es aleat rias. - a s rie pode apresenta apenas varia es sazonais e irregulares : o comportamento de longo prazo da s rie aproximadamente constante, mas observam-se flutua es dentro dos per odos de um ano, que se repetem todos os anos.

8 - quaisquer outras combina es poss veis. A decomposi o da s rie permitir identificar quais componentes est o atuando naquele conjunto em particular, al m de possibilitar obter ndices e/ou equa es para realizar previs es para per odos futuros da s rie. A quest o crucial do modelo cl ssico decidir como ser a equa o que relaciona as componentes com a vari vel. H duas op es: o modelo aditivo ou o modelo multiplicativo: - No modelo aditivo o valor da s rie (Y) ser o resultado da soma dos valores das componentes (que apresentam a mesma unidade da vari vel): Y=T+C+S+I ou Y = T + C + I (se os dados forem registrados anualmente). Nas previs es n o temos como incluir a componente irregular no modelo, pois ela resultado de fatos fortuitos, teoricamente imprevis veis. Todas as componentes t m a mesma unidade da s rie: se esta for em milh es de reais todas tamb m ter o tal unidade. - Pode ser usado tamb m o modelo multiplicativo, no qual o produto das componentes resultar na vari vel da s rie: Y=T C S I ou Y = T C I (se os dados forem registrados anualmente).

9 Novamente, n o inclu mos a componente irregular. H , por m, uma diferen a crucial: apenas a tend ncia tem a mesma unidade da vari vel. As demais componentes t m valores que modificam a tend ncia: assumem valores em torno de 1 (se maiores do que 1 aumentam a tend ncia, se menores diminuem a tend ncia, se exatamente iguais a 1 n o causam efeito). Na Figura 6 observe a escala vertical do gr fico das componentes c clicas, sazonais e irregulares : s o valores pr ximos de 1, enquanto a escala da Figura 5 tem a mesma escala para o valor original da s rie e a tend ncia (em milh es de d lares). Isso ocorreu porque decompusemos a s rie temporal usando um modelo multiplicativo. Chamando a vari vel de interesse de Y, a equa o de sua s rie temporal seria: Y = f(T,C,S,I). Podemos observar as componentes na Figura 5 e na Figura 6. 3. Pois n o ser poss vel observar se as flutua es se repetem sistematicamente dentro dos anos. 4. N o h como se livrar das varia es INE 7001 An lise de S ries temporais 5.

10 Vendas e tend ncia linear 1400. 1200. 1000. 800. Vendas Tend ncia 600. 400. 200. 0. janeiro-65 janeiro-70 janeiro-75 janeiro-80 janeiro-85 janeiro-90 janeiro-95 janeiro-00. Figura 5 - S rie original e tend ncia linear Na Figura 5 podemos observar uma s rie temporal de vendas (em milh es de d lares), e a tend ncia, no caso uma reta (tend ncia linear), que mostra um crescimento no longo prazo. Na Figura 6 podemos observar as tr s outras componentes. Observe que a cada 5 ou 6 anos ocorre um ciclo, uma mudan a nos valores da vari vel (a linha azul). H tamb m varia es sazonais, que se repetem todos os anos, devido provavelmente s esta es (a linha vermelha). Por fim, h varia es err ticas, que n o apresentam regularidade, mas que talvez se relacionem com eventos inesperados ocorridos no per odo, as varia es irregulares (linha verde). Varia es c clicas, sazonais e irregulares Ciclos Sazonais 1 irregulares janeiro-65 janeiro-70 janeiro-75 janeiro-80 janeiro-85 janeiro-90 janeiro-95 janeiro-00.