appunti di fisica 1 queste note illustrano in forma ...

1 appunti di fisica 1basati su note di A. Agnesi e A. M. Malvezzigennaio 2010 Avvertenza: queste note illustrano in forma compatta e compiuta alcuniaspetti fondamentali e critici del corso. Esse non coprono in alcun modo latotalit dei temi affrontati durante le lezioni o le esercitazioni. Per questi aspettisi rimanda al programma ufficiale dei corsi di fisica abstract IntroduzioneI 1. calcolo vettorialevettore: insieme di tre entit - modulo (numero reale >0)- direzione- versoIl vettore non cambia al cambiare del punto di : a, a , a ; a = modulo di a; b = vettore di modulo unitario versore. Nei testi i vettori sono in grassetto, le quantit scalari (numeri) in carattere scrittura manuale si usa a oppure a per i vettori, caratteri normali per gli scalari: attenzione a non confondere vettori e scalari!propriet dei vettori:somma: c = a + b (propriet commutativa)moltiplicazione per un numero (scalare): b = q a =: b =q a se qr0 b =-q a se q<0edilversocambiaprodotto scalare: c = a b ; c = a b cos c un numero reale (e non un vettore).

2 C=a b;c= a b cos In particolare: a a = a 2Se = 2 allora c = a b = 0vale la propriet distributiva rispetto alla somma:a (b + c) = a b + a cabstract 3In particolare: a a = a 2Se = 2 allora c = a b = 0vale la propriet distributiva rispetto alla somma:a (b + c) = a b + a cprodotto vettoriale: c = a b = a fl b ; c si ottiene dalle seguenti regole: c = a b sin c a = c b = 0 quindi vale la regola del cavatappi per il verso di c, ovvero "a, b, e c sono ordinatamente congruenti ad una terna destrorsa di assi cartesiani " propriet : propriet distributiva rispetto alla sommaanticommutativit : a b = - b a a a = 0Se a b = 0 con a, b 0 allora a b = a b a ( b c ) = b (a c) - c ( a b) regola del triplo prodotto vettoriale a ( b + c ) = a b + a cI 2. rappresentazione dei vettoriLe propriet dei vettori sono indipendenti dal sistema di riferimento operazioni sui vettori dipendono per dal sistema di riferimento di riferimento cartesiano ortogonale Ad ogni asse si associa un versore i, j, k ordinatamente all'asse x, y, z.

3 I versori sono vettori amodulo unitario. i = j = k = ora un vettore a applicato all'origine O degli assi: siano , , e gli angoli che essoforma con gli assi x, y, e z, rispettivamente. Le componenti del vettore a lungo i tre assi sonodefinite dalle relazioni:a i = a cos = ax; b i = b cos = bx ; c i = c cos = cx .Allora, utilizzando le propriet dei vettori:a = a i i + a j j + a k k = ax i + ay j + az kLe propriet dei vettori sopra esposte si possono allora riscrivere in questa rappresentazione:moltiplicazione per uno scalare: q a = q (ax i + ay j + az k) =q ax i + q ay j + q az kprodotto scalare: a b = (ax i + ay j + az k) (bx i + by j + bz k) = axbx + ayby + azbz [gli altritermini sono nulli!]In particolare: a a = ax2 + ay2 + az2 = a 2 = a2 a rappresenta una quantit scalare,quindi non pu essere uguagliata ad un vettore a, per vettoriale: per i versori degli assi coordinate si ha: i j = k; j k = i ; k i = j.

4 Utilizzando queste relazioni si vede allora che:a b = (aybz - azby) i +(azbx - axbz) j + (axby - aybx) k = = det iaxbxjaybykazbz quest'ultima una rappresentazione formale dell'operazione 4 abstract ogni asse si associa un versore i, j, k ordinatamente all'asse x, y, z. I versori sono vettori amodulo unitario. i = j = k = ora un vettore a applicato all'origine O degli assi: siano , , e gli angoli che essoforma con gli assi x, y, e z, rispettivamente. Le componenti del vettore a lungo i tre assi sonodefinite dalle relazioni:a i = a cos = ax; b i = b cos = bx ; c i = c cos = cx .Allora, utilizzando le propriet dei vettori:a = a i i + a j j + a k k = ax i + ay j + az kLe propriet dei vettori sopra esposte si possono allora riscrivere in questa rappresentazione:moltiplicazione per uno scalare: q a = q (ax i + ay j + az k) =q ax i + q ay j + q az kprodotto scalare: a b = (ax i + ay j + az k) (bx i + by j + bz k) = axbx + ayby + azbz [gli altritermini sono nulli!]

5 ]In particolare: a a = ax2 + ay2 + az2 = a 2 = a2 a rappresenta una quantit scalare,quindi non pu essere uguagliata ad un vettore a, per vettoriale: per i versori degli assi coordinate si ha: i j = k; j k = i ; k i = j .Utilizzando queste relazioni si vede allora che:a b = (aybz - azby) i +(azbx - axbz) j + (axby - aybx) k = = det iaxbxjaybykazbz quest'ultima una rappresentazione formale dell'operazione Coordinate cilindriche Il generico punto P identificato dal vettore x = OP che rappresentabile dalla terna di numeri( r, j, z) dove r 0 la distanza dall'origine della proiezione del punto P sul piano xy , z lacoordinata lungo l'asse z e j l'angolo tra la proiezione di x sul piano xy con il semiasse xpositivo. La relazione con le componenti cartesiane ortogonali : x = i r cos j + j r sin j + z k Coordinate sfericheIl vettore OP identificato anche dalla terna (r, J, j) con r 0.

6 R rappresenta in questo caso ladistanza di P dall' = OP = i r cosj sinJ + j r sinj sin J + k r cos JEsempi abstract 5Il vettore OP identificato anche dalla terna (r, J, j) con r 0. r rappresenta in questo caso ladistanza di P dall' = OP = i r cosj sinJ + j r sinj sin J + k r cos JEsempi 1. Vettore posizionePer definire la posizione di un oggetto puntiforme occorre un osservatore O dotato di unsistema di riferimento spaziale e temporale. Sia questo una terna di assi ortogonali ed un orolo-gio. La posizione dell' oggetto ad un istante temporale fissato allora determinata dal vet-toreOA = x. X dipende da O ed x la distanza tra O ed Vettore spostamentoL'oggetto si muova ora da A a B. Il vettore AB = a rappresenta lo spostamento dell'oggetto(non necessariamente la traiettoria seguita). a indipendente dal sistema di riferimento sistema di riferimento O, la nuova posizione dell'oggetto data da x1 = x + aII cinematicaII 1.

7 Moto rettilineo (grandezze scalari)Velocit istantanea: v(t) =limDt 0 DxDt con Dx = x(t+DtL-xHtLL (spostamento) e Dt (t) la posizione, nel sistema di riferimento scelto lungo l'asse del moto, del punto materialeall'istante di tempo t. Nel Sistema SI la velocit si esprime in media nell'intervallo Dt: <v> =DxDt Significato geometrico: si parte dalla legge oraria x = x(t)e si osserva che v(t) = dxHtLdt= tg J(t) con J(t) angolo che la tangente alla legge oraria forma conl'orizzontale. Si nota che dx e dt sono differenziali esatti (infinitesimi) mentre Dx e Dt sonoquantit istantanea: a(t) = limDt 0 DvDt = dvdt = d2 xdt2 [m/s2] variazione di velocit istantanea6 abstract istantanea: a(t) = limDt 0 DvDt = dvdt = d2 xdt2 [m/s2] variazione di velocit istantaneaAccelerazione media: <a> = DvDt con Dv = v(t + Dt)-v(t) variazione media della velocit in un intervallo di tempo finito DtInvertendo le relazioni precedenti si pu scrivere, tenendo a mente il significato di integrale: v(t) = v(t1L+ t1t2aHtL t ;x(t) = x(t1L + t1t2vHtL t [ ]esempi esempio numericoUn punto materiale abbia una legge del moto data da: x = 52 + 150 t - 32 t2 + 2 t3.)))

8 Con riferi-mento ai grafici qui sotto, la velocit media tra gli istanti di tempo 6 e .6 rappresentata dallapendenza del segmento AC rispetto all'orizzontale: <v>AC = = [unit didistanzaunit ditempo] =tg JAC. Similmente <v>AB= [unit didistanzaunit ditempo]. La velocit istantanea in A, v(t0) =limB->AxHBL-xHALt1-t0 = 114 [unit di velocit ]246810ttempo, , moto rettilineo uniformev = v0=costante; quindidvdt= 0 l'accelerazione del punto materiale nulla: a = 0abstract 7legge oraria: x(t) = x0 + v0 t ; moto rettilineo uniformemente acceleratoa = a0 = costante; dalle [ ] si ha v(t) = v(t1L+ 0taHuL u = v0 + a0 t , essendo v0 la veloc-it iniziale al tempo t = 0. Con una ulteriore integrazione si ottiene la legge oraria: x(t) = x0 + 0tvHqL q = x0 + v0 t +12a0t2 [ ]con x0 la posizione iniziale lungo l'asse del moto. A volte utile avere una relazione tra v e x: dalla definizione di a = dvdt=dvdx dxdt=dvdxv si ottienea dx = v dv ovvero, integrando a x = 12v2nel caso di moto uniformemente accelerato, essando a = a0 = costante: a0 Dx = 12(vf2-vi2) convf e vi velocit finale ed iniziale, 2.)

9 Moto nel pianoLe osservabili fisiche introdotte (posizione, spostamento, velocit , accelerazione) assumonocarattere vettoriale e si ottengono quindi generalizzando i concetti esposti due dimensioni, la legge del moto in coordinate cartesiane data dalla composizione deidue moti lungo x ed y: x(t) = x(t)i+yHtL j quindi il vettore velocit v(t) =dxdti +dydtj = vxi +vyj Da questa definizione segue che il vettore velocit sempre tangente alla traiettoria del puntomateriale. Infatti vx/vy = dy/dx che l'inclinazione della retta tangente alla traiettoria. Ilcaso delle coordinate cilindriche e sferiche pu essere ridotto al caso cartesiano: v(t) =dHrcosJLdti+ dHrsinJLdtj + z k abstract moto dei proiettiliIl moto dei corpi sotto l'influsso della gravit terrestre descritto (cfr. III) da un vettore acceler-azione g = - g j diretto verso il basso. g vale in media m s-2. Se un corpo viene lanciatodall'origine degli assi con velocit v0 nella direzione che forma un angolo rispetto allaorizzontaleSi ha: a(t) = - g tj; v(t) = v0 + 0tgHt'L t'=v0+gt = (v0 cos ) i + (v0 sin - g t) j da cui,integrando una seconda volta rispetto a t:x(t) = (v0 t cos ) i + (v0 t sin - 12g t2) j La massima altezza raggiunta si ha per vy(tB) = 0 ovvero per v0sin - gtB = 0 fi tB =v0 sin gBH = y(tB) = (v0 tB sin - 12g tB2) = Hv0 sin L22 gLa gittata si ottiene imponendo che y(t) = 0: fi t = 0 e tA =2v0 sin g= 2 tB; x(tA) = v02 sin2 g massima per = 3.

10 Rappresentazione del moto riferita alla traiettoriaSiintroduconodueversoritangen tiHut HtLL eperpendicolariHun HtLL allatraiettorias HtL lalunghezzadeltrattoditraiettoriadall' origineAalpuntoPraggiuntoall' siscrive:abstract 9v HtL=v HtLut HtLconv HtL= ds HtL dt=velocit ' accelerazionesar datada:a(t) = ddt@vHtLDut HtL + v (t) ddt@ut HtLD. Risulta che ddt@ut HtLD perpendicolare a ut HtL poich ddt[ut HtL ut HtL] = ddt[1] = 0 = 2 ut HtL ddtut HtL .Questo appare anche geometricamente andando a considerare la differenza tra v (t + dt) e v(t) in pi : dut = un HtL d = un HtL dsr; e dut/dt = un HtLdsrdt = un HtL v(t) / r ; da questo siottienea(t) = ddt@vHtLDut HtL + v (t) ddt@ut HtLD = ddt@vHtLDut HtL + un HtL v2 / r L'accelerazione istantanea costituita da due termini: il primo dovuto alla variazione delmodulo della velocit (accelerazione tangenziale), il secondo dovuto alla variazione di direzi-one del vettore velocit ed orientata verso l'interno della traiettoria (accelerazione centripeta).