BAC S 2013 ANTILLES GUYANE SESSION DE …

1 BAC S 2013 ANTILLES GUYANE SESSION DE REMPLACEMENT EXERCICE 3 - DE HUBBLE JAMES WEBB - 5 POINTS Document 1 : Points de Lagrange Document 2 : Positions des points de Lagrange sur l'axe Soleil-Terre Positions des points L1 L3 sur l'axe Soleil-Terre D s 1923, Hermann Oberth mentionne l'int r t d'un t lescope spatial. En effet, un t lescope terrestre re oit des radiations filtr es par l'atmosph re terrestre qui absorbe des radiations lectromagn tiques dans le domaine de l'infrarouge notamment. Par ailleurs un t lescope spatial n'est pas sensible aux turbulences atmosph riques. Le t lescope spatial Hubble, du nom de l'astronome am ricain Edwin Hubble, a t lanc en 1990. Celui-ci souffrait au d part d'un d faut de courbure du miroir, non d tect avant la mise en orbite, qui provoquait des images floues. Apr s modification gr ce une mission spatiale, Hubble put enfin fournir ses premi res images de l'Univers dans le domaine du spectre ultraviolet, visible et proche infrarouge.

2 Le t lescope Hubble, d'une masse m = 11 tonnes, est positionn sur une orbite basse une altitude quasi constante h = 600 km de la surface de la Terre. Le t lescope spatial James Webb, du nom d'un administrateur de la NASA, doit succ der au t lescope Hubble en 2018. Il sera lanc par une fus e Ariane 5. Le t lescope spatial James Webb, d'une masse de 6200 kg, sera en orbite une distance proche de 1,5 millions de kilom tres de la Terre en un point d nomm point de Lagrange L2 (voir documents 1 3). D'apr s , et En m canique c leste, il est un sujet qui a passionn de nombreux math maticiens : c'est le probl me dit des trois corps . Joseph-Louis Lagrange tudia le cas d'un petit corps, de masse n gligeable, soumis l'attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, une plan te. II d couvrit qu'il existait des positions d' quilibre pour le petit corps. Un point de Lagrange (il en existe 5, not s L1 L5) est une position de l'espace o les champs de gravit de deux corps tr s massifs en orbite l'un autour de l'autre fournissent exactement la force centrip te requise pour que ce point de l'espace accompagne simultan ment la rotation des deux corps.

3 Dans le cas o les deux corps sont en orbite circulaire, ces points repr sentent les endroits o un troisi me corps de masse n gligeable resterait immobile par rapport aux deux autres : il accompagnerait la m me vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravit commun sans que sa position par rapport eux n' volue. La sonde d'observation SoHO, destin e observer le Soleil, a par exemple t plac e au point L1. Document 3 : Positions des cinq points de Lagrange dans le plan de l' cliptique Positions des 5 points de Lagrange Les deux parties sont ind pendantes 1. Premi re partie : tude de l'orbite du t lescope spatial Hubble On tudie le syst me {t lescope spatial Hubble} dans le r f rentiel g ocentrique en n gligeant l'interaction gravitationnelle du Soleil avec le t lescope. Quelle est la trajectoire du t lescope Hubble dans ce r f rentiel ? partir de la deuxi me loi de Newton, montrer que, dans l'approximation d'une trajectoire circulaire, le mouvement du t lescope Hubble est uniforme.

4 Montrer que l'expression de la valeur de la vitesse v du satellite dans le r f rentiel g ocentrique est : .TTG MvRh=+. tablir l'expression de sa p riode de r volution T en fonction de RT, h et v. Rappeler la troisi me loi de Kepler. Montrer que dans le cas du t lescope spatial Hubble on a la relation : .223TT4rG M = o r = RT + h repr sente la distance entre le centre de la Terre et le t lescope spatial. Calculer la p riode de r volution T du t lescope spatial Hubble, exprim e en minutes. Donn es : Constante de gravitation universelle : G = 6,67 x 10 11 2 Masse du Soleil : MS = 1,99 x 1030 kg Masse de la Terre : MT = 5,97 x 1024 kg Distance moyenne Soleil-Terre : d = 149,6 x 106 km quivaut 1 UA (unit astronomique) Rayon de la Terre : RT = 6370 km Dur e d'une ann e terrestre : 365,25 jours 2. Deuxi me partie : tude de la mise en orbite du t lescope spatial James Webb Le t lescope spatial James Webb sera mis en orbite par le lanceur europ en Ariane 5 depuis la base de lancement situ e Kourou en GUYANE .

5 Dans cette partie on tudie tout d'abord le syst me {Ariane 5} (incluant tout son quipement y compris le t lescope) dans le r f rentiel terrestre que l'on suppose galil en pendant la dur e de l' tude. Initialement le syst me {Ariane 5} est situ sur sa base de lancement. Le rep re d'espace choisi est un axe vertical Oz orient vers le haut. L'origine O est initialement confondue avec le centre d'inertie de la fus e de sorte que z(0) = z0 = 0. Lors de son d collage, la fus e Ariane 5 et son quipement poss dent une masse totale proche de M = 780 tonnes. La valeur F de la force de pouss e g n r e par ses propulseurs est de l'ordre de 14,0 x 106 N. D terminer la valeur P du poids de la fus e Ariane 5 au moment de son d collage. Donn e : g = 9,8 -2(intensit de la pesanteur). D duire de la deuxi me loi de Newton l'expression de la coordonn e aZ du vecteur acc l ration a du lanceur Ariane 5 au moment de son d collage en fonction de M, F et g.

6 L'acc l ration reste constante si l'on peut n gliger les forces de frottement fluide et si le champ de gravitation reste constant. On montre que l'altitude z(t) du lanceur Ariane 5 est alors donn e par la relation : z(t)=12.(FM g).t2 Calculer la valeur de l'altitude z du lanceur Ariane 5 au bout de 10 s dans ces conditions. En r alit , l'altitude d'Ariane 5 est nettement plus faible au bout de 10 s. Proposer une explication nerg tique. On envisage pr sent le cas o le t lescope James Webb aura atteint le point de Lagrange L2. Pourquoi le point L2 a-t-il t choisi pour l'orbite du t lescope James Webb plut t que le point L1, alors qu'il est envisageable de placer plusieurs satellites au m me point de Lagrange ?