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1 Bac S Antilles Guyane 2014 Correction EXERCICE I. UN TROU NOIR AU CENTRE DE LA galaxie (5 points) 1. Mise en vidence de l existence du trou noir. L nonc de la premi re loi de Kepler, appel e aussi loi des orbites, est Dans un r f rentiel h liocentrique, la trajectoire du centre d une plan te est une ellipse dont le centre du Soleil est l un des foyers. On peut l adapter la situation pr sent e ici : Dans le r f rentiel du trou noir, la trajectoire du centre de l toile S2 est une ellipse dont le centre du trou noir est l un des foyers. Ainsi la forme elliptique de la trajectoire de l toile S2 a permis de justifier l existence d un trou noir au centre de la galaxie . La lumi re de l toile S2 est d grad e lors de son passage travers l atmosph re terrestre, son image est d form e. Sans l optique adaptative, il serait difficile de localiser correctement l toile S2 et sa trajectoire serait d termin e trop approximativement pour mettre en vidence la pr sence du trou noir.

2 2. N cessit d une toile guide laser pour tudier la trajectoire de S2. La lumi re issue de l toile guide laser subit les m mes turbulences que la lumi re issue de l objet observ (l toile S2). En comparant la lumi re mise par le laser et la lumi re mise en retour par les atomes de sodium on obtient des informations sur les turbulences. Ainsi on peut corriger l onde issue de l objet observ . La lumi re du laser est monochromatique, sa longueur d onde est adapt e pour exciter les atomes de sodium. De plus cette lumi re est directive, elle est concentr e sur une zone de l espace relativement troite, l toile guide sera ainsi une source de lumi re quasiment ponctuelle. Ce qui permet de mieux d terminer les turbulences. La longueur d onde du laser doit tre identique celle de la lumi re mise lors de la transition entre deux niveaux d nergie de l atome de sodium.

3 Elle doit tre gale 589 nm, comme le montre le tableau de donn es. Cette longueur d onde correspond des photons dont l nergie permet d exciter les atomes de sodium de la m sosph re, en effet un atome est capable d absorber des photons de m me nergie que ceux qu il est capable d mettre. Excitation des atomes de sodium mission de lumi re lors de la de la m sosph re d sexcitation des atomes de sodium gr ce aux photons mis par le laser. de l toile guide. Les niveaux d nergie d un atome sont quantifi s, ils poss dent des valeurs bien d termin es. Ils sont s par s par une nergie E = E2 E1 = .h c E = ,,, = 3481996 626 103 00 103 37 10589 10 J = 2,11 eV 3. Estimation de la masse du trou noir. Trajectoire simplifi e de l toile S2 T = Trou noir Rayon de la trajectoire S2T = r En utilisant la deuxi me loi de Kepler Le rayon vecteur 2 S T orient du trou noir T l toile S2 balaye des surfaces gales pendant des intervalles de temps gaux , on d montre que ce mouvement circulaire se produit vitesse constante v.

4 Dans ce cas le vecteur acc l ration de l toile S2 a pour expression =2. vanr en d finissant le vecteur unitaire =22 S TnS T. On applique la deuxi me loi de Newton au syst me { toile S2} de masse m dans le r f rentiel du trou noir suppos galil en. On consid re que l toile S2 est soumise uniquement la force d attraction gravitationnelle du trou noir not e F. F = m. a M mGnr = m . 2. vnr Alors mGr = m . 2vr = On retrouve l expression propos e : =.MvGr. L toile S2 parcourt son orbite de longueur L = 2 .r en une dur e de r volution T. =2 .rvT donc T = 2 .rv ===222223224 .4 .4 ..rrrTG MvG Mr =32 ..rTG M =2324 ..rTG M donc =2324 ..rMG T Il faut convertir les heures-lumi re en m tres et la p riode en secondes. ()() = 3282114132 3600 3,00 106,67 1015,2 365,25 24 3600M = 7,45 1036 kg a v a v a v T S2 S2 Avec une calculatrice TI, on tape : Le document 1 annonce que le trou noir a une masse de 3 4 millions de masse solaire.

5 Calculons le rapport SMM = 36307,4530112555 102,0 10= 3,7 106 La valeur de la masse M du trou noir est coh rente puisqu elle vaut 3,7 millions de fois la masse solaire.