Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Lernwerkstatt Mathematik Februar 2003 Seite 1 von 10 Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Das vorliegende Papier ist ein Diskussionspapier. Die Definitionen und Begrifflich-keiten sind den hinten genannten B chern entnommen Bei dem Vergleich der unterschiedlichen B cher stellt man fest, dass die Begriffe nicht einheitlich verwendet wurden. Daher wird hier nur ein Diskussionsvorlage ge-liefert. Durch die Bearbeitung k nnen sich Ver nderungen ergeben. Zwei grunds tzliche Verfahren In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind zwei unterschiedliche Vorgehens-weisen blich, die sich inhaltlich erg nzen. 1. Die statistische Auswertung eines Zufallsversuchs.

2 Uns kommt es oft so vor, dass die 6 beim W rfeln nicht so h ufig vorkommt, wie die an-deren Zahlen. Unsere Erwartung ver ndert die Sichtweise. In diesem Fall l sst sich mit einfachen Mitteln ein Zufallsversuch statistisch aus-werten. 2. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung l sst sich die Wahrschein-lichkeit eines Ereignisses dadurch bestimmen, dass man die Regeln und Gesetzm igkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwendet. Es sind einige Grundannahmen zu machen, auf deren Grundlage dann Schl sse gezogen werden k nnen. Diese Wahrscheinlichkeitsrechnung kommt ohne das Zufallsexperiment aus. Beim Werfen mit Schweinchen, Gogos, Legosteinen und Rei zwecken wei man nicht im Voraus, was herauskommt.

3 Es bedarf erst einer Versuchsreihe, um zu einer Hypothese zu kommen. Hier liegt in jedem Fall eine aposteriori-Wahrscheinlichkeit vor (a posteriori = aus der Erfahrung stammend). Bei Laplace-Versuchen sowie auch beim Kreiseln mit beliebigen Fl chen liegt dagegen eine apriori-Wahrscheinlichkeit vor (a priori = von vornherein). Hier lassen sich Annahmen treffen (etwa ber Gleich-verteilung von Fl chen bzw. ber den Vergleich von Fl chengr en). Absolute und relative H ufigkeiten Absolute und relative H ufigkeiten werden bei einem Zufallsexperiment er-fasst. Wird mit einem W rfel 30 mal gew rfelt und dabei erscheint 4 mal die Zahl 6, so bezeichnet man die absolute H ufigkeit mit Hn(a) in unserem Fall mit H30(6) = 4.

4 Absolute und relative H ufigkeiten werden blicherweise in Tabellen erfasst. Beim W rfeln interessiert man sich in der Regel f r das Auftreten einer Sechs. Die absoluten und relativen H ufigkeiten werden in der Tabelle erfasst. Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Lernwerkstatt Mathematik Februar 2003 Seite 2 von 10 Nummer W rfelergebnis Ereignis? Abs. H ufigkeit Relative H ufigkeit 1 3 Nein 0 0 von 1 0 2 4 Nein 0 0 von 2 0 3 1 Nein 0 0 von 3 0 4 6 Ja 1 1 von 4 0,25 5 4 Nein 1 1 von 5 0,2 Gesetz der gro en Zahlen Das Gesetz der gro en Zahlen bezieht sich auch wieder auf ein Zufallsexperi-ment und seine statistische Auswertung.

5 Im oberen Beispiel wurde 556 mal gew rfelt. Die Wahrscheinlichkeit, die man f r das Auftreten einer 6 beim W r-feln annehmen w rde, ist 1/6 . Mit dem oben beschriebenen Versuch erh lt man eine noch ungenaue Ann herung an die Wahrscheinlichkeit bei ange-nommener Gleichwahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Das Gesetz der gro en Zahlen besagt, dass man mit wachsendem n eine immer bessere Ann herung an die tats chliche Wahrscheinlichkeit erh lt. Diese Ann herung kann man graphisch darstellen. 00,10,20,30,40,50,6136711061411762112462 81316351386421456491526 Ergebnis, Ergebnisraum; Ereignis Mit einem W rfel kann ich die Augenzahlen 1,2,3,4,5 und 6 w rfeln. Mit jedem Wurf erhalte ich ein Ergebnis dieses Zufallsversuchs.

6 Die Menge {1,2,3,4,5,6} bilden zusammen den Ergebnisraum. Den Ergebnisraum bezeichnet man auch als Stichprobenraum und k rzt ihn mit S ab. Man kann aber verschiedene Ergebnisse dieses Zufallsversuchs zusammen-fassen und ein Ereignis definieren. Das Ereignis beschreibt also die Erwar-tungshaltung desjenigen, der den Zufallsversuch durchf hrt. Ein Ereignis l sst sich also fast beliebig formulieren: E1: Zahl 6 oder Zahl 3 E2: ungerade Zahl E3: Zahl gr er 4 E4: gerade Zahl E5: Zahl gr er 9 Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Lernwerkstatt Mathematik Februar 2003 Seite 3 von 10 Ein Ergebnis kann ein Ereignis sein. Es kann aber auch sein, dass mehrere Ergeb-nisse zu einem Ereignis zusammengefasst werden.

7 Zum Ereignis geh rt immer ein Gegenereignis. Von einem Gegenergebnis zu sprechen ist ziemlich unsinnig . Wenn in einer Schublade sechs blaue, zehn schwarze, drei wei e und f nf graue einzelne Socken liegen, so betr gt der Ergebnisraum 24 Socken. Die einzelne Socke wird mit der Wahrscheinlichkeit 124 herausgenommen. Das ist ein Ergebnis. Da ich aber nicht mit einer einzelnen Socke losspazieren will (meine Erwartungshaltung) und au erdem Wert auf ein gleiches Paar lege, w re ein Ereignis "zwei gleichfarbige Socken". Laplace-Wahrscheinlichkeit Von einem Laplace-Experiment spricht man, wenn die Ergebnisse alle gleich-wahrscheinlich sind. Diese Gleichwahrscheinlichkeit bestimmt man durch die geometrische Anordnung des Zufallsger ts.

8 Als Gegenbeispiel sei die Rei zwecke genannt. Das Fallen der Rei zwecke auf die beiden unter-schiedlichen Seiten wird nicht mit der gleichen relativen H ufigkeit auftreten. Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit einem Zahlenwert zwischen Null und Eins beschrieben. Der Zahlenwert Null beschreibt das unm gliche Ereignis, der Zahlenwert Eins die Gewissheit. In unserem Beispiel wir warten auf das W rfelergebnis 6 ist die Wahr-scheinlichkeit 1/6. ()EAnzahl der zum Ereignis E geh renden ErgebnissePESA nzahl aller m glichen Ergebnisse== P steht f r probability E beschreibt ein Ereignis S ist der Stichprobenraum, die Menge aller Ergebnisse In der Schule reicht bis Klasse 8 m glicherweise diese an mathe live (6;8) angelegte Darstellungsweise.

9 Welchen Sinn macht es, in der Formel mit Betragszeichen zu hantieren? Anzahl der g nstigen ErgebnisseAnzahl der m glichen Ergebnisse Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Lernwerkstatt Mathematik Februar 2003 Seite 4 von 10 Gegenwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und seine Gegenwahrscheinlich-keit E erg nzen sich zum Zahlenwert 1. () () 1() 1 ()PE PEPEPE+== Die Gegenwahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses an. Weil die Chance aus meinem oben angegebenen Sockensortiment die gleiche Farbe zu ziehen bei ca. 26 % liegt, sollte ich lieber das Licht anmachen. In ungef hr drei von vier F llen tritt das Gegenereignis ein ("zwei verschiedenfarbige Socken").

10 Die Gegenwahrscheinlichkeit betr gt also ca. 74 %. Erwartungswert Unter Zufallsgr en versteht man die Zahlenwerte, die den Ergebnissen ei-nes Zufallsversuches zugeordnet werden. Werden die Zufallsgr en mit ihren Wahrscheinlichkeiten multipliziert, so hei t die Summe dieser Produkte Er-wartungswert des Zufallsversuches. Nur bei bestimmten Versuchen ist es sinnvoll, von einem Erwartungswert zu spre-chen. In der Regel geschieht dies, wenn man ein Gewinnspiel beschreibt. Das Auf-treten eines oder mehrerer Ereignisse wird dann mit einem Gewinn verkn pft. Neh-men wir an, man w rfelt mit einem W rfel und erh lt beim Auftreten einer 1 und einer 6 jeweils 10 Cent. Mindestens 50 Prozent der Einnahmen aus diesem Gl ckspiel sollen wieder ausgezahlt werden.