Transcription of CAPITULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.
1 Cap. 3 MOVIMIENTO en dos dimensiones 75 CAPITULO 3. MOVIMIENTO EN DOS dimensiones . En general e1 MOVIMIENTO de los objetos verdaderos se realiza en el espacio real tridimensional. E1 MOVIMIENTO de una part cula que se realiza en un plano es un MOVIMIENTO en dos dimensiones , si el MOVIMIENTO se realiza en el espa-cio, se produce en tres dimensiones . En este cap tulo se estudia la cinem tica de una part cula que se mueve sobre un plano. Ejemplos de un MOVIMIENTO en dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota, un disco girando, el salto de un canguro, el MOVIMIENTO de planetas y sat lites, etc.
2 El MOVIMIENTO de los objetos que giran en una rbita cuya trayectoria es una circunferencia, se conoce como MOVIMIENTO circunferencial; es un caso de MOVIMIENTO en dos dimensiones , que tambi n es estudiado en este cap tulo. El vuelo de una mosca, el de un avi n o el MOVIMIENTO de las nubes se produce en tres dimensiones . DESCRIPCI N DEL MOVIMIENTO EN DOS dimensiones . Continuamos restringiendo el estudio del MOVIMIENTO al caso de una part cula que se mueve con aceleraci n constante, es decir que su magnitud y direc-ci n no cambian durante el MOVIMIENTO .
3 E1 vector posici n de una part cula que se mueve en el plano xy es una funci n del tiempo, se escribe como: jtyitxtr )( )()(+=r Por definici n, la velocidad de la part cula en MOVIMIENTO en el plano xy es, el cambio de posici n en el transcurso del tiempo y se puede determinar por: jvivjdtdyidtdxdtrdvyx +=+==rr es decir, j )t(vi )t(v)t(vyx+=r Cap. 3 MOVIMIENTO en dos dimensiones 76 donde vx y vy son las componentes de la velocidad en la direcci n x e y. Si la aceleraci n es constante, sus componentes ax en la direcci n x, y ay en la di-recci n y, tambi n lo son.
4 Aplicando las ecuaciones cinem ticas de la veloci-dad deducidas para el MOVIMIENTO en una dimensi n, independientemente en cada direcci n x e y, para una part cula que en el instante inicial to se mueve con velocidad inicial jvivvoyoxo rrr+= se obtienen las componentes de la velocidad en funci n del tiempo: )tt(avv)tt(avvoyoyyoxoxx += += reemplazando en la expresi n de )t(vr, se obtiene la velocidad en cualquier instante t: [][]))( () ()( )( )()(oyxoyoxoyoyoxoxttjaiajvivtvjttavitta vtv +++= ++ +=rr )tt(av)t(voo +=rrr ( ) De manera similar reemplazando las expresiones de la posici n en funci n del tiempo en cada direcci n x e y, para una part cula que en el instante inicial to se encuentra en la posici n inicial jyixrooo +=r se obtiene la posici n )t(rr de la part cula, en cualquier instante t: 2)(21)(oxooxottattvxx + += Cap.
5 3 MOVIMIENTO en dos dimensiones 772)(21)(oyooyottattvyy + += 2)(21)()(oooottattvrtr + +=rrrr ( ) Se concluye que el MOVIMIENTO bidimensional con aceleraci n constante es equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones x e y con aceleraciones constantes ax y ay. A esta propiedad se le llama principio de in-dependencia del MOVIMIENTO . MOVIMIENTO DE PROYECTILES. Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial ovr de direcci n arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano.
6 Si para esta forma com n de MOVIMIENTO se supone que: a) la aceleraci n de gravedad es constante en todo el MOVIMIENTO (aproximaci n v lida para el ca-so en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en MOVIMIENTO sea peque o comparado con el radio de la Tierra) y b) se desprecia el efecto de las mol cu-las de aire sobre el cuerpo (aproximaci n no muy buena para el caso en que la rapidez del cuerpo en MOVIMIENTO sea alta), entonces a este tipo de movimien-to se le llama MOVIMIENTO de proyectil y se produce en dos dimensiones . Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional como se ve en la figura , donde se dibuja la trayectoria de una part cula en MOVIMIENTO en dos di-mensiones, junto con los vectores velocidad y aceleraci n de gravedad.
7 Supo-niendo que en el instante inicial t = to el proyectil se encuentra en la posici n inicial (xo, yo) movi ndose con una velocidad inicial ovr que forma un ngulo con la horizontal, bajo la acci n de la aceleraci n de gravedad gr, las ecuacio-nes para la posici n del cuerpo en MOVIMIENTO en dos dimensiones , se pueden escribir, a partir de la ecuaci n general de posici n , para cada componente x e y por separado. Pero del gr fico (x, y) de la figura se pueden obtener las componentes de la velocidad inicial ovr, de magnitud vo, y las componentes de la aceleraci n ar de magnitud g: Cap.
8 3 MOVIMIENTO en dos dimensiones 78gaasenvvvvyxooyoox==== ,0, ,cos Figura Sistema de referencia para el MOVIMIENTO de un proyectil. Reemplazando en las componentes de la ecuaci n , se obtiene: 2)(21)()(cosooooooottgttsenvyyttvxx += += ( ) Para las componentes de la velocidad se obtiene: )(cosooyoxttgsenvvvv == ( ) Cap. 3 MOVIMIENTO en dos dimensiones 79 Como no hay aceleraci n en la direcci n horizontal x, la componente x de la velocidad es constante, y como la aceleraci n en la direcci n vertical y es g, las componentes de la posici n y de la velocidad en esa direcci n son id nti-cas a las ecuaciones para ca da libre, con = 90.
9 Entonces el MOVIMIENTO de proyectil se compone de la superposici n de un MOVIMIENTO en direcci n x con velocidad constante y un MOVIMIENTO en direcci n y de ca da libre: es el principio de superposici n del MOVIMIENTO . La ecuaci n de la trayectoria, esto es la curva geom trica que describe el cuerpo durante el MOVIMIENTO del proyectil, se puede obtener despejando el par metro t - to de la ecuaci n en x y reemplazando en la ecuaci n para y: 222cos)(21cos)(cosooooooooovxxgvxxsenvyy vxxtt += = 222)(cos2)(tanooooxxvgxxyy += ( ) que es la ecuaci n de una par bola, por lo tanto la trayectoria del proyectil es parab lica y queda totalmente conocida si se conoce vo y.
10 La velocidad del proyectil es siempre tangente a la trayectoria en cualquier instante, por lo que la direcci n y la magnitud de la velocidad en cualquier instante se puede cal-cular en forma geom trica de las ecuaciones: 22 ,tanyxxyvvvvv+== Ejemplo : Para un proyectil que se lanza en el instante inicial to = 0 desde el origen, con una velocidad inicial ovr formando un ngulo con la horizon-tal, calcular: a) la altura m xima, b) la distancia horizontal. Cap. 3 MOVIMIENTO en dos dimensiones 80 Soluci n: la situaci n se puede graficar en el esquema de la figura Figura Ejemplo 1.
