CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS

1 CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS . I. D finitions. DEFINITION 32 : ESPACE euclidien . Un espace euclidien est un espace vectoriel r el de dimension finie muni d'une forme bilin aire sym trique d finie positive. On la note ( ) ( | ) et on l'appelle produit scalaire. PROPOSITION 32 : INEGALITE DE CAUCHY-SCHARWZ. Soit ( ) un espace euclidien 1) ,( | ) ( ) ( ). 2) On a galit ssi x et y colin aires. Exemple : 1) avec ( | ) o ( ) ( ). 2) Sur ( )( ) ( ). On note (espace euclidien ), ( ) on l'appelle la norme de x. Rmq : i) est vraie si ( ) r el positif. PREUVE: i. ( ) ( | ) ( ) ( ). comme , ( ). donc ( ) c'est- -dire ( | ) ( ) ( ).

2 (( | ) ( ) ( )) donc ( | ) ( ) ( ). si ( ). ( | ) ( ). implique ( ) constante et donc( | ) et l'in galit voulue est vidente. ii. R ciproquement, si ( | ) ( ) ( ). Si ( ) x et y Si ( ) ( ) donc ; ( ). ( ). PROPOSITION 33 : INEGALITE MINKWOSKI. Soit ( ) un espace euclidien alors . CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS . PREUVE: On montre ( ) ( ( ) ( )). PROPOSITION 34 : Si q positive alors ( ). PREUVE: On sait d j que ( ) ( ). Prenons ( ) alors ( ). On utilise l'in galit de Cauchy-Schwarz ( ) ( ) ( ) ici donc ( ) donc ( ). II. Orthogonalit , bases orthonormales. E espace euclidien ( | ) est non d g n r e. Rappel : 1) (Rem : sont orthogonaux).

3 2) ( ). 3) . 4) ( ). ( ). DEFINITION 33 : BASE ORTHONORMALE. On appelle une base ( ) de E orthonormale si elle est orthogonale et ( ). PROPOSITION 35 : Toute espace euclidien a une base orthonormale 1) Proc d d'orthonormalisation de Gramm-Schmidt ( ) base de E. On fabrique une nouvelle base par r currence de la fa on suivante : .. ( | ). o .. 2. CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS . 2) Projections et sym trie orthogonales. DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE. F ss-ev de E. La projection orthogonale par rapport F, c'est la projection sur F parall lement .. ( ). ( ) ( ) ( ). c'est- -dire l'application : ( ).

4 DEFINITION 35 : LA SYMETRIE ORTHOGONALE. La sym trie orthogonale par rapport F c'est l'application ( ) ( ). PROPOSITION 36 : ( ) base orthogonale de F alors ( | ).. et ( | ).. PREUVE: ( | ) ( | ). 1) Si , alors .. ( | ). Si alors ( ) .. 2) M me m thode en posant alors ( ) et alors ( ) . Rmq : Dans une base orthogonale ( | ) . ( | ) . THEOREME 37 : ( ) base de E. Il existe une base orthogonale ( ) de E et ( ) ( ). 3. CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS . PREUVE: .. ( ).. ( ) ( ).. donc On aura ( ) ( ). n g n ral ( ) ( ). ( ) est orthogonale et ( ) ( ). ( ) ( ).. DEFINITION 36 : MINEURS PRINCIPAUX. A=( ). , mineur principal de A est d fini par (( ) ).

5 PROPOSITION 37 : GRAMM-SCHMIDT. E : espace euclidien , A matrice de ( | ) dans une base ( ). Alors il existe une base ( ) tel que : 1) ( ) orthogonale 2) ( ) ( ). La matrice associ e q est diagonale ( ) autrement dit . EXEMPLE IMPORTANT DE PROJECTION ET SYMETRIE ORTHOGONALE. Si F est une droite ( ) ou un hyperplan( ) Soit ( ). Soit H un hyperplan, ( ). ( | ) ( | ). ( ) ( ) ( ) ( ).. ( ). ( | ) ( | ). ( ) ( ) ( ( ) ( )).. 4. CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS . 3) Matrices orthogonales E espace euclidien ( ) base orthogonale ( ). ( ) une autre base orthonormale Soit O la matrice de passage de ( ) ( ) . ( ) ( ).

6 Alors . PROPOSITION 38 : On a quivalence pour ( ). 1) . 2). 3) est la matrice de passage d'une base orthonormale dans une autre. DEFINITION 37 : MATRICES ORTHOGONALES. On dit que ( ) est orthogonale si elle satisfait une des conditions 1), 2) ou 3). On note ( ) l'ensemble des matrices orthogonales. PROPOSITION 39 : ( ) est un sous-groupe de ( ). PREUVE: ( ). 1) ( ) . 2) ( ). 3) ( ). ( ). PROPOSITION 40 : FACTORISATION. Soit ( ). Il existe une matrice triangulaire sup rieure R et une matrice orthogonale Q telles que PREUVE: On introduit un espace euclidien de dimension n et une base orthogonale pour le produit scalaire de E.

7 Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de . On applique Gramm- Schmidt la base on obtient une base orthonormale . Soit T la matrice de passage de , elle est triangulaire sup rieure ( ). } ( ) ( ). ( ). 5. CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS . ( ) ( ). ( ). ( ). oit la matrice de passage de , donc orthogonale. III. adjoint d'un endomorphisme. E espace euclidien , u un endomorphisme de E. ( ) ( | ( )). C'est une application bilin aire. PROPOSITION 41 : ( ) ( ). L'application ( ). ( ) ( | ( )). est un isomorphisme. PREUVE: B base de E. A la matrice du produit scalaire de E dans cette base. Soit et leurs coordonn es dans B et M la matrice de u dans B.

8 Alors ( ) ( | ( )) s' crit ( ) ( ). L'application s' crit matriciellement ( ) ( ). A est inversible donc est un isomorphisme. Rmq : Si B est orthonormale, . Les matrices de u et de ( ) ( | ( )) sont les m mes. Si ( ) on dira que u est l'endomorphisme associ e b, ( ) ( | ( )). DEFINITION 38 : adjoint . Soit ( ). L'endomorphisme associ ( ) ( | ( )) est not est appel adjoint de u. ( ( )| ) ( | ( )). 6. CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS . Rmq : ( ) ( | ( )) est sym trique ssi ( ) ( | ( )) est antisym trique ssi DEFINITION 39 : YM TRI ,ANTI YM TRI , NORMALIT D L' adjoint . Soit ( ). On dit que u est sym trique si On dit que u est antisym trique si On dit que u est normal si On dit que u est orthogonal si PREUVE: Si , ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| ).

9 ( | ) ( ( )| ) ( | ( )) ( ( )| ( )). donc ( ). Rmq : 1) Les endomorphismes sym triques ou antisym triques sont normaux. 2) ( ) tel que , ( | ( )) ( ( )| ). , ( ( )| ( )) ( | ). DEFINITION 40 : adjoint POSITIF, NEGATIF, DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF. Soit ( ) sym trique. On dit que u est d fini positif (resp positif, d f n gatif, n gatif). si ( ) ( | ( )) est d fini positive (resp positive, d f n gative, n gative). PROPOSITION 42 : Soit ( ) sym trique, repr sent e par une matrice A dans une base orthonormale. Alors A est d finie positive (resp positive, d f n gative, n gative) ssi u est d finie positive (resp positive, d f n gative, n gative).

10 DEFINITION 41 : AUTOMORPHISME ORTHGONAL. ( ) ( | ) ( ( )| ( )). PROPRI T D L' adjoint : muni d'une base orthonorm e B. ( ) ( ). PREUVE: ( ) ( | ( )). ( ) ( ( )| ). ( ) ( ) ( ). Soit M matrice de u A matrice de ( | ). 7. CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS . ( | ( )) ( ( )| ). ( ) ( ( )| ). ( ) ( ). ( ). CORROLAIRE: Les endomorphismes sym triques de E sont ceux dont la matrice dans une base orthonorm e est sym trique. PROPRIETES 45: L'adjonction est une anti-involution c'est- -dire elle satisfait : 1) ( ). 2) est une application lin aire de ( ) ( ). 3) ( ) ( ). 4) ( ) ( ). PREUVE: 1) ( | ( )) ( | ) ( ( )| ). 2) ( |( )( )) ( | ( )) ( | ( )) ( ( )| ) ( ( )| ) (( )( )| ).