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1 Circuits RC, RL, RLC par Gilbert Gastebois1. Oscillations libres amorties dans un circuit quation diff rentielle du + Ri + q/C = 0Ld q/dt + Rdq/dt + q/C = 0d q/dt + R/Ldq/dt + q/LC = 0On pose 1/LC = 02 et R/L = d q/dt + dq/dt + 02 q = Solution de l' quation diff rentielle. On cherche une solution du type q = a e t 2 a e t + a e t + 02 a e t = 0 2 + + 02 = 0 1 = - /2 + ( 2/4 - 02 )1/2 2 = - /2 - ( 2/4 - 02 )1/2 Solution ap riodique > 2 0 . > 2 0 donc 1 et 2 sont r = C uc = a exp( 1t) + b exp( 2t)i = 1a exp( 1t) + 2 b exp( 2t)Conditions initiales : A t = 0 U = E => q0 = CE et i = 0 On pose ' = ( 2/4 02 )1/2 1 = - /2 + ' et 2 = - /2 - 'CE = a + b0 = 1a + 2 b d'o a = 2 CE /( 2 1) = 0,5 CE ( ' + /2) / 'b = 1 CE /( 1 2) = 0,5 CE ( ' /2) / ' En rempla ant et en d veloppant les quations de q et i, on obtient :q = CE e - /2 t (ch( 't) + /(2 ') sh( 't))uc = E e - /2 t (ch( 't) + /(2 ') sh( 't))i = CE e - /2 t ( ' /(4 ')) sh( 't)) Solution oscillatoire amortie pseudo-p riodique < 2 0.

2 < 2 0 donc 1 et 2 sont complexes. 1 = - /2 + j ( 02 - 2/4)1/2 = - /2 + j ' ( On pose ( 02 - 2/4)1/2 = ' ) 2 = - /2 - j ( 02 - 2/4)1/2 = - /2 - j 'q = a e - /2 t + j ' t + b e - /2 t - j ' tq = e - /2 t ( a e j ' t + b e- j ' t )a = ar + j ai b = br - j biq = e - /2 t ( (ar + j ai ) ( cos( 't) + j sin( 't)) + (br + j bi )( cos( 't) - j sin( 't)) )q = e - /2 t ( (ar + br ) (cos( 't) + (bi - ai ) (sin( 't)) + j ((ar - br )(sin( 't) + (ai + bi )cos( 't)))q est r el donc la partie imaginaire est nulle donc ar - br = 0 et ai + bi = 0, donc ar = br et ai = - bi donc b = a* ( valeur conjugu e de a )))

3 Q = e- /2 t ( a e j ' t + a* e - j ' t)En prenant la partie r elle, on obtient :q = C uc = e - /2 t (A cos( ' t) + B sin( ' t))i = e - /2 t ((B ' - A/2) cos( ' t) - (A ' + B/2) sin( ' t)) Conditions initiales : A t = 0 U = E => q0 = CE et i = 0CE = A 0 = B ' - A/2 donc B ' = A/2 = CE/(2 ') q = CE e - /2 t (cos( ' t) + /(2 ') sin( ' t))uc = E e - /2 t (cos( ' t) + /(2 ') sin( ' t))i = - CE e - /2 t ( ' + /(4 ')) sin( ' t) Solution ap riodique critique = 2 0 . ' = 0 - /2 = 0 ou = 2 0 solution oscillante : q = CE e - /2 t (cos( ' t) + /2/ ' sin( ' t))On fait tendre ' vers 0 donc /2 sin( ' t)/ ' tend vers /2 't/ ' = /2 t La solution g n rale est doncq = (A + Bt) exp(- 0t) i = ((B - 0A) - 0Bt) exp(- 0t)Conditions initiales : A t = 0 U = E => q0 = CE et i = 0q = CE (1 + 0 t) exp(- 0 t)uc= E (1 + 0 t) exp(- 0 t)i = - CE 02 t exp(- 0 t) Solution non amortie.

4 Si R = 0, il reste d q/dt + q/LC = 0dont la solution est sinuso dale : q = Qm sin( 0 t + ) avec 0 = (1/LC)1/2 et T0 = 2 / 0 = 2 (LC)1/2uc = Qm sin( 0 t + ) = Qm/C sin( 0 t + ) = Um sin( 0 t + ) i = dq/dt = Qm 0 cos( 0 t + ) = C Um 0 cos( 0 t + ) = Im cos( 0 t + ) Conditions initiales : A t = 0, i = I0 et uc = U0uc = Um sin = U0i = C Um 0 cos = I0 tan = sin /cos = C 0 U0/I0 Um = U0/sin Exemple : A t = 0, i = 0 et uc = E, on obtient uc = E sin( 0 t + /2 ) = E cos( 0 t) , solution que l'on retrouve en faisant = 0 dans la solution pseudop riodique correspondant aux m mes conditions initiales : uc = E e - /2 t (cos( ' t) + /2 ' sin( ' t)) 2.

5 circuit RC quation diff rentielle du + q/C = URdq/dt + q/C = URC dq/dt + q = Solution de l' = CA e - t/RC + CUuc = A e - t/RC + UCharge du condensateur : U = E Conditions initiales : A t = 0 u = 00 = A + E donc A = -Eu c= E ( 1 - e - t/RC )D charge du condensateur : U = 0 Conditions initiales : A t = 0 u = EE = Auc = E e - t/RC Constante de temps = RC 3. circuit RL quation diff rentielle du + Ri = UL/R di/dt + i = Solution de l' = A e - R/L t + U/R tablissement du courant : U = E Conditions initiales : A t = 0 i = 00 = A + E/R donc A = -E/Ri = E/R ( 1 - e - R/L t ) Rupture du courant : U = 0 Conditions initiales : A t = 0 i = E/RE/R = Ai = E/R e - R/L t Constante de temps = L/R