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1 Chapitre6 Circuits RLCCe chapitre pr esente la r eponse naturelle et la r eponse echelon de Circuits qui contien-nent des inductances et des capacitances. Cependant, on etudie seulement des circuitsdans des configurations particuli`eres : circuit RLC parall`ele, et circuit RLC s de la solution des Circuits RLC, on obtient des equations diff erentielles de 2eordre. On pr esentera les solutions g en erales`a ces equations, afin de r esoudre le R eponse naturelle d un circuit RLC parall`eleLe circuit RLC parall`ele est donn e`a la figure R C iC + v iL iR circuit RLC parall`eleOn cherche la tensionven premier, puisque c est la m eme chose pour chaque compo-sante.

2 On fait la somme des courants au noeud sup +1L t0v d +I0+Cdvdt= 0( )1 CHAPITRE 6. Circuits RLCOn d erive cette equation par rapport`at, pour eliminer l int egrale :1 Rdvdt+vL+Cd2vdt2= 0( )On r earrange l equation pour mettre les d eriv ees en ordre d ecroissant :d2vdt2+1 RCdvdt+vLC= 0( )C est une equation diff erentielle du solution`a cette equation d epend des racines del equation caract eristique. Pour ob-tenir cette equation, on remplace :sn=dndtn( )L equation caract eristique est donc :s2+sRL+1LC= 0( )Les racines de cette equation sont :s1,2= 12RC (12RC)2 1LC( )ou,s1,2= 2 20( )o`u =12RC, 0=1 LC( )Selon la valeur des racines, la solution est diff 1 : 20< 2: r eponse sur-amortieDans ce cas-ci, la solution est :v(t) =A1es1t+A2es2t( )et on obtientA1etA2selon :v(0+) =A1+A2( )dv(0+)dt=iC(0+)C=s1A1+s2A2( )Gabriel Cormier2 GELE2112 CHAPITRE 6.

3 Circuits RLCCAS 2 : 20> 2: r eponse sous-amortieDans ce cas-ci, la solution est :v(t) =B1e tcos( dt) +B2e tsin( dt)( )o`u d= 20 2( )On obtientB1etB2selon :v(0+) =V0=B1( )dv(0+)dt=iC(0+)C= B1+ dB2( )CAS 3 : 20= 2: r eponse amortissement critiqueDans ce cas-ci, la solution est :v(t) =D1te t+D2e t( )On obtientD1etD2selon :v(0+) =V0=D2( )dv(0+)dt=iC(0+)C=D1 D2( )Exemple1 Pour le circuit de la figure suivante, o`u l on a les conditions initialesvC(0+) = 12V etiL(0+) = 30mA,50mH 200 F iC + v iL iR + vC 1. Calculer le courant initial dans chaque Cormier3 GELE2112 CHAPITRE 6. Circuits RLC2.

4 Calculer la valeur initiale Donner l expression dev(t).4. Donner l expression deiC(t),iL(t) etiR(t).1. L inductance s oppose`a une variation instantan ee de courant, donc :iL(0 ) =iL(0+) =iL(0) = 30 mALe condensateur ne permet pas une variation instantan ee de tension, alorsvC(0+) =vL(0+) =vR(0+) = 12 VLe courant initial dans la r esistance est alors :iR(0+) =VR(0+)R=12200= 60 mAEn appliquant la loi de Kirchhoffdes courants au noeud sup erieur, on peut calculer lecourant dans la capacitance :iC(0+) = iL(0+) iR(0+) = 90 mA2. PuisqueiC=Cdvdt,dvdt=iCC= 10 6= 450 kV/s3. On doit calculer les racines de l equation caract eristique : =12RC=12(200)( 10 6)= 12500 rad/s 0=1 LC=1 ( 10 6)( )= 10000 rad/sOn est donc dans la situation o`u 2> 20.

5 Les deux racines sont :s1= + 2 20= 5000 rad/s( )s2= 2 20= 20000 rad/s( )qui sont deux racines r eelles Cormier4 GELE2112 CHAPITRE 6. Circuits RLCIl faut trouver les (0+) =A1+A2= 12dv(0+)dt=iC(0+)C= 5000A1 20000A2= 450000On solutionne pour obtenirA1= 14 etA2= 26. La tension est :v(t) = 14e 5000t+ 26e 20000tV, t 0On peut v erifier la solution. Il faut quev(t= 0) =v(0+).v(0) = 14 + 26 = 12 XEt si on d erive,dv(0+)dt= 14( 5000) + 26( 20000) = 450000X4. On peut calculer les courants`a l aide de l equation de tensionv(t). Le courant dansla r esistance est :iR(t) =v(t)R= 5000t+ 20000tA,t 0Le courant dans la capacitance est.

6 IC(t) =Cdv(t)dt= ( 10 6)(70000e 5000t 520000e 20000t)= 5000t 20000tA,t 0+Et dans l inductance, puisqueiL(t) = iR(t) iC(t),iL(t) = 5000t 20000tA,t 0On aurait aussi pu utiliser l int egrale pour calculeriL, mais c est plus peut v erifier les solutions, pour obtenir les m eme r eponses qu `a la question (0) = + = A = 60 mAXiC(0+) = = A = 90 mAXiL(0) = = A = 30 mAXExemple2 Pour le circuit de la figure suivante, o`u l on a les conditions initialesvC(0+) = 0V etiL(0+) = ,Gabriel Cormier5 GELE2112 CHAPITRE 6. Circuits RLC8H 20k F iC + v iL iR + vC 1. Calculer les racines de l equation caract Calculer la valeur initiale Donner l expression dev(t).

7 1. On calcule les coefficients : =12RC=12(20 103)( 10 6)= 200 rad/s 0=1 LC=1 (8)( 10 6)= 1000 rad/sOn est donc dans la situation o`u 20> 2. Les deux racines sont :s1= + 2 20= 200 + rad/s( )s2= 2 20= 200 rad/s( )Si les racines sont complexes, elles seront toujours conjugu ees (s2=s 1).2. La valeur initiale devestv(0+) =v(0) = 0V. Pour calculer la valeur initiale dedvdt, ona :dv(0+)dt=iC(0+)Cdonc il faut calculeriC(0+).Le courant initial dans la r esistance est :iR=v(0)R= 0 Donc le courant dans la capacitance est :iC(0+) = iL(0+) iR(0) = mAet alors,dv(0+)dt=iC(0+)C= 10 6= 98 kV/sGabriel Cormier6 GELE2112 CHAPITRE 6.

8 Circuits RLC3. Puisque 20> 2, la solution est :v(t) =B1e tcos( dt) +B2e tsin( dt)o`u d= 20 2= 10002 2002= rad/sOn trouveB1etB2selon :B1=v(0+) = 0iC(0+)C= B1+ dB2 98000 = B2 100 VLa tension est :v(t) = 100e 200tsin( ) V, t 0Le graphe de la tension est :0510152025 40 20020406080 Temps (ms)v(t) (V)Remarquer que la tension oscille, devenant m eme n egative, tout en s affaiblissant,`a causede l Cormier7 GELE2112 CHAPITRE 6. Circuits R eponse echelon d un circuit RLC parall`eleLe circuit RLC parall`ele est donn e`a la figure Lorsque l interrupteur est ouvert, lasourceISest subitement appliqu ee au R C iC + v iL iR IS t = 0 circuit RLC parall`ele, avec source echelonDans ce cas, la solution de la tension est du m eme type que celle pr esent ee avant, saufqu il y a un nouveau terme :x(t) =xf+xn(t)( )o`uxfest la valeur finale devoui, etxn(t) est la r eponse naturelle dex(t) (solutionsobtenue`a la section pr ec edente).

9 Exemple3 Pour le circuit de la figure suivante, l energie initiale est 400 25nF iC + v iL iR 24mA t = 0 1. Calculer la valeur initiale du courant dans l inductance,iL(0).2. Calculer la valeur initiale dediL(0) Calculer les racines de l equation caract Donner l expression du courantiL(t), pourt Puisque l energie initiale du circuit est nulle, le courant initial dans l inductance estnul (0) = 0 Gabriel Cormier8 GELE2112 CHAPITRE 6. Circuits RLC2. Puisque l energie initiale est nulle, la tension aux bornes de l inductance sera nulleaussi :vL(0+) = 0. On a la relation :vL(t) =Ldi(t)dt di(0)dt=vL(0)L= 03.

10 On calcule les coefficients, =12RC=12(400)(25 10 9)= 50000 rad/s 0=1 LC=1 ( )(25 10 9)= 40000 rad/sOn est donc dans la situation o`u 20< 2. Les deux racines sont :s1= + 2 20= 20000 rad/ss2= 2 20= 80000 rad/s4. La solution est de la forme :i(t) =If+in(t)o`uin(t) =A1es1t+A2es2tOn calculeA1etA2seloniL(0) =If+A1+A2= 0diL(0)dt=vL(0+)L= 20000A1 80000A2= 0La valeur finale du courant estIf=iL( ) = 24mA, puisque l inductance se com-porte comme un court- circuit . Tout le courant de la source passera dans l equations sont alors :0 = +A1+A20 = 20000A1 80000A2qu on solutionne pour obtenirA1= 32mA, etA2= expression du courant est :iL(t) = 24 32e 20000t+ 8e 80000tmA, t 0 Gabriel Cormier9 GELE2112 CHAPITRE 6.