Cours de mathématique Classe de 5ème - Sésamath

1 Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 119 CINQUIEME PARTIE LA SYMETRIE CENTRALE SYMETRIQUE D'UN POINT_____120 FIGURES SYMETRIQUES_____121 COMPARER LES DEUX SYMETRIES_____122 SYMETRIQUES DES DROITES_____126 SEGMENTS SYMETRIQUES; LE PARALLELOGRAMME_____128 CENTRE DE SYMETRIE D'UNE FIGURE_____129 VOCABULAIRE DES ANGLES_____134 PARALLELES COUPEES PAR UNE SECANTE_____136 ANGLES DANS LES TRIANGLES_____137 EXERCICES DE DEMONSTRATION_____142 LES ELEMENTS D'UNE PROPRIETE_____143 RECIPROQUE DE LA PROPRIETE DES ANGLES_____148 Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 120 31 Sym trique d'un point D finitions Rappel : Le milieu d'un segment est le point de ce segment situ gale distance des extr mit s. Deux points sont sym triques par rapport un point O si O est le milieu du segment form par ces deux points. Dans ce cas, on parle de sym trie centrale, de centre O. O est le centre de sym trie.

2 Construction O est le centre de sym trie, et on veut placer le sym trique B d'un point A donn . Avec la r gle gradu e : Tracer la demi-droite [AO) et mesurer AO. Placer B sur [AO) tel que OB = AO. Avec le compas et la r gle : Tracer le cercle de centre O passant par A. Tracer la droite (AO); elle recoupe le cercle en B. (Cette m thode vite d'avoir mesurer) Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 121 32 Figures sym triques La figure sym trique d'une figure donn e s'obtient en construisant le sym trique de chacun des points de la figure initiale. On verra par la suite comment on peut tracer rapidement les sym triques de certaines figures de base; on se contente ici de constater ce qui se passe lorsque l'on trace un grand nombre de points sym triques. C'est ce que l'on appelle une construction point par point. On constate que la figure sym trique obtenue est identique la figure initiale, mais a tourn autour du point O, le centre de sym trie.]]

3 On peut donc retenir que la sym trie centrale consiste faire tourner d'un demi-tour autour du centre de sym trie. O O Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 122 33 Comparer les deux sym tries On a tudi la sym trie axiale en Classe de sixi me, et on aborde ici la sym trie centrale. Il est n cessaire de bien voir tout de suite en quoi elles se ressemblent et pourquoi elles sont diff rentes. La sym trie axiale est d finie par rapport une droite.(l'axe de sym trie) La sym trie centrale est d finie par rapport un point (le centre de sym trie). Dans les deux cas, la figure sym trique est identique (superposable) la figure initiale. C'est dire que ces deux sym tries ne d forment pas les figures. Elles gardent la forme, et donc toutes les dimensions mesurables (les longueurs , les angles et les aires). On dit que les sym tries conservent les mesures. C'est d'ailleurs l'origine m me du mot sym trie qui signifie : m me mesure.

4 En revanche, ce qui est diff rent, c'est la disposition de la figure sym trique par rapport la figure initiale. Dans une sym trie axiale, on effectue un pliage le long de l'axe : la droite et la gauche sont invers es, alors que haut et bas sont conserv s. Dans une sym trie centrale, on tourne autour du centre : la droite et la gauche sont conserv es, alors que haut et bas sont invers s. Sym trie centrale Sym trie axiale O Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 123 EXERCICES Exercice 1 Imaginez que le rectangle ci-dessous est en papier calque. Si on le plie le long du double trait, combien de cases transparentes restera-t-il? Exercice 2 Reproduire le dessin suivant et construire les sym triques des points A, B, C et D par rapport (D); puis les sym triques des points A, B, C et D par rapport au point O. (D)DOCBA Exercice 3 Les points A et B sont sym triques par rapport la droite ( ) et par rapport au point O.

5 Indiquer la nature de O et de ( ), puis les placer sur le dessin. B A Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 124 Exercice 4 Construire deux droites (d) et (d') se coupant en O en faisant un angle de 60 . Placer un point M non situ sur (d) ou sur (d'). Construire le point N, sym trique de M par rapport (d), puis le point P, sym trique de N par rapport (d'). Comparer les longueurs OM et OP. Que peut-on en conclure pour les points M, O et P? Exercice 5 Reproduire le dessin ci-contre puis construire les sym triques des six points A, B, C, D, E, et F par rapport O. Exercice 6 Reproduire le dessin ci-dessous sur papier quadrill , puis construire le sym trique par rapport I de la zone sombre : FEDCBAO I Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 125 Exercice 7 Sur une feuille de papier calque pos e sur cette page, tracer main lev e les sym triques par rapport O de chacun des dessins suivants; puis v rifier l'exactitude des dessins en faisant pivoter le calque d'un demi tour autour du point O.

6 Exercice 8 Sur la figure ci-dessous, retrouver les paires de points sym triques par rapport I, en expliquant la m thode la plus rapide. O O O Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 126 34 Sym triques des droites Propri t : La sym trie conserve l'alignement. C'est dire que lorsque des points sont align s, leurs sym triques sont galement align s. On dit aussi : L'image d'une droite par une sym trie est une droite. Cette propri t d coule du constat que l'on a fait que la sym trie ne d formait pas les figures. Propri t : Deux droites sym triques sont parall les ou confondues. En g n ral, (D) et sa sym trique (D') sont parall les Elles sont confondues si le centre de sym trie est situ sur la droite Propri t : La sym trie conserve le parall lisme. C'est dire que lorsque des droites sont parall les, leurs sym triques sont galement parall les. Propri t :La sym trique d'une demi-droite est une demi-droite parall le dont l'origine est le sym trique de l'origine de la demi-droite initiale.

7 Propri t :Le sym trique d'un angle est un angle dont le sommet est le sym trique du sommet de l'angle initial, et dont les c t s sont parall les aux c t s de l'angle Propri t : La sym trie conserve les angles. C'est dire que des angles sym triques sont gaux. cons quence : O (D) (D') O (D) O Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 127 Propri t : La sym trie conserve l'orthogonalit . C'est dire que lorsque des droites sont perpendiculaires, leurs sym triques sont galement perpendiculaires. (D) (d); (D') sym trique de (D) par rapport I (d') sym trique de (d) par rapport I. Donc (D') (d'). (D) (D') (d') (d) I Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 128 35 Segments sym triques; le parall logramme Le sym trique d'un segment est le segment dont les extr mit s sont les sym triques du segment initial. A' est le sym trique de A et B' est le sym trique de B, donc [A'B'] est le sym trique de [AB].

8 D s que l'on trace le sym trique d'un segment, on voit appara tre deux autres segments sym triques. Sur la figure ci-dessus, [A'B'] est le sym trique de [AB], mais on a galement deux autres segments sym triques : [AB'] et [A'B]. La figure ainsi form e par ces quatre points A, B , A' et B' est donc un quadrilat re dont les c t s sont des segments sym triques, c'est dire des parties de droites sym triques donc parall les. Ce quadrilat re ayant ses c t s parall les deux deux, c'est un parall logramme. On peut donc donner une nouvelle d finition du parall logramme : D finition : Un parall logramme est un quadrilat re qui a un centre de sym trie. Cette d finition ne vient pas annuler la premi re d finition donn e en sixi me, mais en pr sente un autre aspect. Une autre mani re de dire que les segments sont sym triques par rapport au m me point consiste rappeler que ce point est le milieu des segments form s par deux points sym triques.

9 Ces segments sont les diagonales du parall logramme. La d finition donn e ci-dessus peut donc s' noncer d'une mani re quivalente : Un parall logramme est un quadrilat re dont les diagonales ont le m me milieu. B' A O B A' Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 129 36 Centre de sym trie d'une figure D finition : Lorsqu'une figure se superpose avec sa sym trique par rapport un point O, on dit que O est le centre de sym trie de la figure. Quelques figures simples ont un centre de sym trie bien connu : Le milieu d'un segment est le centre de sym trie de ce segment; Le centre d'un cercle ou d'un disque est centre de sym trie. Le point d'intersection des diagonales d'un parall logramme est centre de sym trie. Pour une droite, il y a une infinit de centres de sym trie, et c'est le seul cas o cela se produit. En effet, la droite tant illimit e, chaque point de la droite est un centre de sym trie.

10 En revanche, une figure simple comme le triangle n'a pas de centre de sym trie. Mais bien d'autres figures plus complexes ont un centre de sym trie. Par exemple : Cours de math matique Classe de 5 me La sym trie centrale Page 130 EXERCICES Exercice 1 A B C D E I G K H F J A B C D E I G K H F J Les deux figures sont sym triques par rapport I. Compl ter les phrases suivantes : Le sym trique du point A est .. Le sym trique du point B est .. Le sym trique du point C est .. Le sym trique du point D est .. Le sym trique du point K est .. crire cinq galit s de longueurs . crire cinq galit s d'angles. Citer les paires de droites parall les. Que peut-on dire de F si on sait que E est le milieu de [BC]? Exercice 2 Tracer un segment [AB] de 6 cm. On appelle [A'B'] le sym trique de [AB] par rapport un point S. Construire [A'B'] dans chacun des cas suivants : S, A et B ne sont pas align s. S est un point de [AB] avec SA SB.