COURS DE MECANIQUE - perso.univ-lemans.fr

1 AVANT-PROPOS. COURS DE MECANIQUE . 2 me ann e A noter que la num rotation des paragraphes adopt e ici est calqu e sur celle du COURS oral afin de faciliter le suivi du COURS magistral, mais ne r pond pas aux normes de pr sentation usuelles d'un document crit. Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL. Chapitre 2. LIAISONS mecaniques - MODELISATION. Universit du Maine - UFR Sciences et Techniques Catherine Potel, Philippe Gatignol Universit du Maine, Le Mans Catherine Potel, Philippe Gatignol Universit du Maine, Le Mans Chapitre 2 Liaisons m caniques - mod lisation DEUST VAS 2 Chapitre 2 Liaisons m caniques - mod lisation DEUST VAS 2.

2 INTRODUCTION Cette derni re distinction d pend en g n ral de la mod lisation g om trique du syst me m canique : Un syst me m canique est en g n ral soumis un certain nombre d'actions tendant assurer son quilibre ou modifier son mouvement, par rapport un rep re d'observation. Si la roue d'une voiture est sch matis e par un disque ind formable, a). l'action de la chauss e s'exerce au point de contact I (figure ). I. A notre chelle habituelle, qui est celle de l' tude de la plupart des machines et m canismes, on peut distinguer deux types d'actions : Mais si l'on tient compte de l' crasement du pneu, l'action est r partie sur la surface de contact (figure ).

3 - les actions distance, telles que l'attraction de la Terre sur un satellite, ou tout b). simplement l'action de pesanteur la surface de la Terre, ou encore les actions magn tiques, Figure Repr sentation - les actions par contact dues la pr sence et au mouvement des objets avoisinants, li s Objet r el technologique l'objet tudi par des liaisons m caniques : action de la chauss e sur la roue par exemple, l'action de la L. Forme Position t Etape g om trique o Vecteurs, angles Rep rage spatial o chauss e sur les roues d'une t voiture, de la bielle sur le Fonctions vectorielles roue Caract risation Trajectoires vilebrequin (figure ).

4 Chauss e T Etape cin matique Champs de vitesses du mouvement Acc l ration Figure o Ces actions de contact peuvent aussi tre dues la pr sence et au mouvement d'un fluide dans t G om trie des masse lequel l'objet est situ : pouss e d'Archim de pour un poisson, r sistance de l'air pour un R partition Inertie M Etape cin tique avion, par exemple. de la masse El ments cin tiques (masse + vitesse). o Par ailleurs, pour un type comme pour l'autre, on peut distinguer les actions ponctuelles, qui t Lois physiques : s'exercent en un point pr cis du syst me, et les actions r parties sur un volume ou sur une Actions attraction des corps F Etape physique lectromagn tisme surface ( ventuellement le long d'une ligne, figure ).

5 Exerc es frottement Relier les actions au mouvement t Etape dynamique o Principe fondamenta Dynamique Statique Contact lin aire rectiligne Contact lin aire circulaire Figure Equations o Point mat riel Solide rigide Figure Catherine Potel - - Universit du Maine - Le Mans Catherine Potel - - Universit du Maine - Le Mans Chapitre 2 Liaisons m caniques - mod lisation DEUST VAS 2 Chapitre 2 Liaisons m caniques - mod lisation DEUST VAS 2. I EXEMPLE DU JOINT DE CARDAN II DEGRES DE LIBERTE. D finition : Un joint de cardan permet la transmission d'un mouvement de rotation 1 D composition du d placement d'un solide dans un rep re entre deux arbres concourants.

6 Il est compos de deux chapes et d'un croisillon. z Remarque : on peut galement appeler "fourches" les chapes. Rz bg Un solide S en d placement quelconque dans l'espace Tz (S) r r r d affine est rep r par un rep re R = O, e x , e y , e z i C'est une cha ne ferm e quatre l ments (figure ): (figure ).. S0 : B ti (caisse de la voiture) ez Ty S1 bg : Fourche qui tourne 1 t = constante sans glisser (moteur de la voiture) Tx O.. ey y Son d placement peut se d composer, dans un ordre S2 : Croisillon avec deux axes de rotation ex Ry S3 bg : Fourche qui tourne 3 t 1 t (roues) bg Rx quelconque, en six d placements l mentaires qui sont : S' 0 : B ti x 1a et 3a : Arbres reli s Figure 1a 1 1 et 3 : Chapes ou fourches r d i r d i - Rotation R x autour de O, e x , rotation R y autour de O, e y , rotation R z autour de S0.

7 2 3 2 : Croisillon d r O, e z , i 1. O. 4 axes concourants en O. r d i r d i - Translation T x suivant O, e x , translation T y suivant O, e y , translation T z suivant . S' 0 chaque cardan peut tre mod lis . d r O, e z . i par 4 liaisons pivot d'axes 3a 3 Degr s de libert d'un solide (ddl) : par d finition, les ddl d'un solide sont ces d placements concourants. l mentaires Figure Dans l'espace : six ddl : trois rotations Montage deux joints simples (Figure ) trois translations 1 Dans le plan : trois ddl : une rotation 1a 2 3 deux translations S0. 1. O. 2 Degr s de libert d'une liaison - degr de liaison ' 3. 3a 3. 2'. d i d i Une liaison l mentaire entre deux solides S 1 et S 2 est cr e par le contact d'une surface 1'.

8 Associ e au solide dS i sur une surface associ e dS i . Pour caract riser la nature de leur 1 2. liaison, il faut tudier les les mouvements relatifs de dS i par rapport dS i . 1a'. 1 2. '1 S' 0 D finitions : Figure Le degr de libert (ddl) d'une liaison est le nombre de d placements l mentaires Le second joint corrige les irr gularit s de vitesse du premier joint en pr sentant le m me ind pendants autoris s par cette liaison. d faut, mais en sens oppos . La transmission est alors homocin tique : Par opposition, le degr de liaison (ddln) est le nombre de d placements l mentaires t , 1 (t ) = '1 (t ) . ( ) interdits. Catherine Potel - - Universit du Maine - Le Mans Catherine Potel - - Universit du Maine - Le Mans Chapitre 2 Liaisons m caniques - mod lisation DEUST VAS 2 Chapitre 2 Liaisons m caniques - mod lisation DEUST VAS 2.

9 Le degr de libert est donc une variable qui peut prendre deux tats auxquels on peut associer : le chiffre 0 lorsque le degr de libert est impossible. le chiffre 1 lorsque le degr de libert est possible. A un degr de libert supprim correspond un degr de liaison : degr de libert (ddl) + degr de liaison (ddln) = 6 . ( ). III MODELISATION DES LIAISONS BINAIRES PRINCIPALES. 1. Les onze liaisons binaires principales A chaque contact autorisant des d placements entre deux ensembles mat riels S 1 et S 2 , d i d i on d finit un rep re appel rep re local id al qui permet d'exprimer simplement les propri t s de contact. origine A : point privil gi de la g om trie de contact (appartient en g n ral un l ment de sym trie de la surface de contact).

10 Axe principal : axe de sym trie privil gi de la surface de contact, s'il existe. Les deux autres axes sont tels que le rep re soit orthonorm direct. Le tableau page suivante r sume les rotations (R) ou translations (T) permises pour les onze liaisons usuelles : - Liaison encastrement - Liaison pivot - Liaison glissi re - Liaison h lico dale - Liaison pivot glissant - Liaison sph rique doigt - Liaison rotule ou sph rique - Liaison appui plan - Liaison lin aire annulaire - Liaison lin aire rectiligne - Liaison ponctuelle Le nombre de 1 dans le tableau donne donc le nombre de degr s de libert de la liaison. ! La liaison h lico dale n'autorise qu'un seul degr de libert bien que le tableau comporte r deux "1".