DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof ...

1 DERIVATE DELLE FUNZIONI . esercizi proposti dal Prof. gianluigi trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se x, x1 sono due valori della variabile indipendente x, y = f (x2 ) e y1 = f (x1 ) le corrispondenti immagini, allora 4x = x1 x e detto incremento della variabile x, e 4y = y1 y = f (x1 ) f (x) = f (4x + x) f (x). e detto incremento della funzione. Il rapporto 4y 4x e detto rapporto incrementale della funzione. 0 dy Si chiama derivata della funzione f (x) rispetto alla variabile x, e si indica con y = dx , il limite, se esiste, del rapporto incrementale al tendere a zero dell'incremento della variabile x, cioe.

2 0 4y y = lim 4x 0 4x La grandezza algebrica della derivata esprime il coefficiente angolare della tangente nel punto x del grafico della funzione f (x). La derivata esprime la velocita di variazione della funzione nel punto considerato. Esempio. Trovare la derivata della funzione y = x2. Calcoliamo il rapporto incrementale 2 2. 4y f (x + 4x) f (x) (x + 4x) x2 2x4x + (4x). = = =. 4x 4x 4x 4x Calcoliamo il limite di tale rapporto 4y 4x (2x + 4x). lim = = 2x 4x 0 4x 4x Esercizio 1. Trovare l'incremento della funzione y = x2 corrispondente alla variazione dell'argomento: da x = 1 a x1 = 2: calcoliamo 4y 4y = 4 1 = 3.

3 Esercizio 2. Calcolare 4y per la funzione y = 3. x, se x = a e 4x = h Soluzione: sappiamo che 4y = y1 y, dove y1 e y sono le immagini di x1 e x. Troviamo x1. x1 = x + 4x = a + h pertanto . 3. y1 = a+h . 3. y = a da cui . 3. 4y = a+h 3. a RAPPORTO INCREMENTALE 3. Rapporto incrementale Esercizio 3. Calcolare l'incremento 4y ed il rapporto incrementale per le FUNZIONI : 1. y= (x2 2)2. per x = 1 e 4x = 0, 4: calcoliamo x1. 7. x1 = 1 + 0, 4 = 1, 4 =. 5. per cui 4y = 625 1 = 624. il rapporto incrementale sara . 4y 624. = 2 = 1560. 4x 5. Esercizio 4. Determinare 4y e il rapporto incrementale corrispondenti alle variazioni dell'argomento da x a x + 4x per le FUNZIONI : y = ax + b: 4y = y1 y = a (x + 4x) + b ax + b = a4x il rapporto incrementale sara.

4 4y a4x = =a 4x 4x y = x3 : 3. 4y = y1 y = (x + 4x) x3. 2 3. = 3x2 4x + 3x (4x) + (4x). il rapporto incrementale sara . 2 3. 4y 3x2 4x + 3x (4x) + (4x) 2. = = 3x2 + 3x4x + (4x). 4x 4x . y= x: p . 4y = y1 y = (x + 4x) x il rapporto incrementale sara . p . 4y (x + 4x) x =. 4x 4x razionalizzando il numeratore, si ottiene infine 4y (x + 4x) x 1. = p =p . 4x (x + 4x) + x 4x (x + 4x) + x y = ln x: 4y = y1 y = ln (x + 4x) ln x il rapporto incrementale sara . 4y ln (x + 4x) ln x =. 4x 4x applicando la proprieta dei logaritmi ln a ln b = ln ab , si ottiene .. x+4x 4x 4y ln x ln 1 + x = =. 4x 4x 4x Esercizio 5.

5 Data la funzione f (x) = 2x2 + 3x + 4, trova e semplifica ognuno dei seguenti: a) f (5 + h); b). f (2+h) f (2). h . RAPPORTO INCREMENTALE 4. Soluzione. a) Calcoliamo f (5 + h), ponendo di x = 5 + h; avremo 2. 2 (5 + h) + 3 (5 + h) + 4 = 50 + 20h + 2h2 + 15 + 3h = 2h2 + 23h + 65. b) calcoliamo il rapporto incrementale indicato f (2 + h) = 8 + 8h + 2h2 + 6 + 3h + 4 = 2h2 + 11h + 18 f (2) = 8 + 6 + 4 = 18. per cui f (2 + h) f (2) 8 + 11h + 2h2 . 1 18. h (2h + 11). = = = 2h + 11. h h h Esercizio 6. Determinare il coefficiente angolare della secante alla parabola y = 2x x2 se le ascisse dei punti di intersezione sono: x1 = 1 e x2 = 2: osserviamo la figura 4x = x2 x1 = 1 e 4y = y2 y1 = (4 4) (2 1) = 1; il coefficiente angolare e uguale alla tangente dell'angolo indicato in figura come , per cui 1.

6 M = tan = = 1. 1. Esercizio 7. La legge di moto di un punto e s = 2t2 + 3t + 5, con s in cm e t in s. Qual e la velocita media nell'intervallo di tempo compreso tra gli istanti t = 1 e t = 5? Soluzione: la velocita media per definizione e data dal rapporto 4s 4t , cioe il rapporto incrementale della legge oraria, vista come s = f (t). Calcoliamo i due incrementi (. 4s = s5 s1 = 50 + 15 + 5 2 3 5 = 60 m 4t = t5 t1 = 5 1 = 4 s il rapporto incrementale, e quindi la velocita media, sara . 4s 60 m m = = 15. 4t 4s s [il calcolo della velocita media corrisponde alla individuazione del coefficiente angolare della retta secante nei due punti assegnati, la curva che esprime la legge oraria.)]

7 4y 1. Esercizio 8. Determinare il rapporto 4x per la funzione y = x nel punto x = 2 per 4x = 0, 01. Soluzione Da 4x = e x = 2, si puo ottenere x1 = x + 4x = da cui 1 1 4y = =. 2 da cui 4y 1 50. = = = . 4x 0, 01 201. Esercizio 9. Un insegnante di matematica ha scoperto che, dopo aver dato al suo cane Django un nuovo tipo di cibo, il peso di Django comincio ad aumentare. Dopo x settimane col nuovo cibo, il peso di Django in kg era dato approssimativamente dato da w (x) = x + 40 per 0 x 6. Trova il tasso di cambiamento del peso di Django dopo x settimane. REGOLE PRINCIPALI DI CALCOLO DELLE DERIVATE 5.

8 Soluzione. Primo passo: w (x + h) = x + h + 40.. Secondo passo: w (x + h) w (x) = x + h + 40 ( x + 40) = x + h x . w(x+h) w(x) x+h x Terzo passo: h = h . Per poter dividere per h, moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per x + h+ x; cioe , razionalizzare il numeratore.. w (x + h) w (x) x+h x x+h+ x = =. h h x+h+ x x+h x h 1. = = . h x+h+ x h x+h+ x x+h+ x Quarto passo: 1 1. lim = . h 0 x+h+ x 2 x . Questo ci dice, ad esempio, che dopo 4 settimane, quando il peso di Django e w (4) = 4 + 40 = 42 kg, il suo kg peso sta aumentando ad una velocita di w0 (4) = 2 . 1. 4. = 41 sett . Limite del rapporto incrementale Esercizio 10.

9 Calcolare la derivata della funzione y = tan x Soluzione: la derivata e il limite del rapporto incrementale per 4x 0. Calcoliamo prima il rapporto incrementale 4y tan (x + 4x) tan x = =. 4x 4x sin(x+4x) sin x cos(x+4x) cos x = =. 4x sin x cos 4x+cos x sin 4x sin x cos x cos 4x sin x sin 4x cos x = =. 4x cos2 x sin 4x + sin2 x sin 4x = =. 4x cos x (cos x cos 4x sin x sin 4x). sin 4x =. 4x cos x (cos x cos 4x sin x sin 4x). calcoliamo il limite di tale rapporto sin 4x lim =. 4x 0 4x cos x (cos x cos 4x sin x sin 4x). sin 4x 1 1. lim =. 4x 0 4x cos x cos (x + 4x) cos2 x Regole principali di calcolo DELLE DERIVATE Tabella riassuntiva Se c e una costante e f (x) e g(x) sono le FUNZIONI derivabili, allora 0 0 0.

10 (c) = 0 (cf (x)) = cf (x). 0 0 0 0. (x) = 1 (f (x) g (x)) = f (x) g (x) + f (x) g (x). 0 0 0. 0 0 0. f (x). (f (x) g (x)) = f (x) g (x) g(x) = f (x)g(x) g (g(x))2. (x)f (x). Tavola DELLE DERIVATE DELLE FUNZIONI principali esercizi DI DERIVAZIONE 6. 0 0. 1. (xn ) = nxn 1 (arccos x) = 1 x 2. per |x| < 1. 0 1. 0. 1. ( x) = 2 x (arctan x) = 1+x2. 0 0. (sin x) = cos x (ax ) = ax ln a 0 0. (cos x) = sin x (ex ) = ex 0 1 0 1. (tan x) = (ln x) = x>0. cos2 x x 0 1 0 loga e (cot x) = 2 (loga x) =. 0. sin x x 1. (arcsin x) = 1 x 2. per |x| < 1. Regola di derivazione per le FUNZIONI composte Se y = f (z) ed z = g(x), cioe y = f [g(x)], dove le FUNZIONI f, g sono derivabili, allora dy dy dz =.