CALCOLO DEGLI INTEGRALI

1 CALCOLO DEGLI INTEGRALI . ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA. Parte 1. INTEGRALI INDEFINITI. 1. Integrazione diretta Principali regole di integrazione. 0.. (1) Se F (x) = f (x), allora f (x) dx = F (x) + C dove C e una costante arbitraria. (2) Af (x) dx = A f (x) dx dove A e una costante (3) [f 1 (x) f2 (x)] dx = f1 (x) dx f2 (x) dx . (4) Se f (x) dx = F (x) + C ed u = (x), allora f (u) du = F (u) + C. Tavola DEGLI INTEGRALI elementari (immediati). Ecco un elenco dx n n+1. = ln |x| + C, piu in generale x dx = xn+1 + C con n 6= 1.

2 F 0 (x). x dx 1 x f (x) dx = ln |f (x)| + C x2 +a2 = a arctan a + C. dx 1 a+x . dx = ln x + x2 + a + C. x2 a2 = 2a ln a x + C. x x x2 +a . a dx = lna a + C dx = arcsin xa + C = arccos x +C. x x a2 x2 a e dx = e + C sin xdx = cos xdx + C. dx cos dx xdx = sin x + C cos dx 2 x = tan x + C. x 2 x = cot x + C = ln tan +C. sin dx x . sin x 2. cos x = ln tan 2 + 4 +C. INTEGRALI risolvibili con le regole di integrazione e formule di integrazione.. Esercizio 1. 5a2 x6 dx =. 7. Soluzione. = 5a2 x6 dx = 5a2 x7 + C.. Esercizio 2. 6x2 + 8x + 3 dx =.

3 6x3 8x2 3x Soluzione. = 6x2 dx + 8xdx + 3dx = 3 + 2 + 1 + C = 2x3 + 4x2 + 3x + C.. Esercizio 3. [x (x + a) (x + b)] dx =. 3 x4 3 2. + (a + b) x3 + ab x2 + C.. Soluzione: = x + (a + b) x2 + abx dx = x3 dx + (a + b) x2 dx + ab xdx = 4. 2. Esercizio 4. a + bx3 dx =. 4 7. a2 + 2abx3 + b2 x6 dx = a2 dx + 2ab x3 dx + b2 x6 dx = a2 x + ab x2 + b2 x6 + C.. Soluzione: =.. Esercizio 5. 2pxdx =. 1 1 3. 2 3. Soluzione: = (2px) 2 dx = 2p x 2 dx = 2p x32 + C = 3 2px 2 +C. 2. dx Esercizio 6. =. n x 1. 1. x n +1 1 +1. Soluzione: = x n dx = n1. +1.

4 + C = n x n 1. n +C.. Esercizio 7. ( x + 1) (x x + 1) dx =. 1. CALCOLO DEGLI INTEGRALI 2. 3 1 1. 3 x2. 5. 5. Soluzione: = x 2 x + x 2 + x x 2 + 1 dx = x 2 dx + dx = 5 + x + C = 52 x 2 + x + C. 2. x2 + 1.. x2 2. Esercizio 8.. 3. dx =. x2. 2 10 4 2. 10 4 2 3 13. x4 x2 2 x 3 dx = x 3 x 3 2x 3 dx = x 3 dx x 3 dx 2 x 3 dx =.. Soluzione: = 13 x 3 . 3 73 1. 7x 6x + C 3. dx Esercizio 9. dx =. x2 + 7. Soluzione = 1 arctan x7 + C. 7. dx Esercizio 10. =. x2 10.. 1 x 10. Soluzione = 2 10. ln x+ 10. +C. dx . Esercizio 11. = . 4 + x2.. Soluzione = ln x + 4 + x2 + C.

5 Adx Esercizio 12. =. a x . dx d (a x) C. Soluzione. = a = a = a ln |a x| + a ln C = a ln a x a x a x dx Esercizio 13. =. 8 x2.. x 2. Soluzione = arcsin 2 2. + C = arcsin 4 +C.. 2 + x2 2 x2. Esercizio 14. dx =. 4 x4.. 2 . 2 . 2 . 2. Soluzione = 2+x dx 2 x dx = 2+x dx 2 x dx =. 4 x4 4 x4 2 x2 2+x2 2 x2 2+x2.. 1 1 x p = dx dx = arcsin ln 2 + x2 + C. 2 x2 2 + x2 2. x2 +1. Esercizio 15. x 1 =. (x+1)(x 1)+2 dx x2. Soluzione. = x 1 dx = (x + 1) dx + 2 x 1 = 2 + x + 2 ln |x 1|. : x2 +5x+7. Esercizio 16. x+3 dx =. Soluzione. Divido il numeratore della frazione per il denominatore mediante la procedura di divisione di due polinomi e ottengo x2 + 5x + 7 = (x + 3) (x + 2) + 1, per cui dx 2.

6 = (x+3)(x+2)+1. x+3 dx = (x + 2) dx + x+3 = x2 + 2x + ln |x + 3|. x4 +x2 +1. Esercizio 17. x 1 dx =. CALCOLO DEGLI INTEGRALI 3. Soluzione. Divido il numeratore della frazione per il denominatore mediante la procedura di divisione di due polinomi e ottengo x4 + x2 + 1 = (x 1) x3 + x2 + 2x + 2 + 3 = (x 1) (x + 1) x2 + 2 + 3, per cui (x 1)(x+1)(x2 +2)+3 3 dx 4 3. = x4 + x3 + x2 + 2x + 3 ln |x 1|.. = x 1 dx = x + x2 + 2x + 2 dx + 3 x 1. x Esercizio 18. (x+1)2. dx =. x+1 1. x+1. 1. dx 2 1. Soluzione. = (x+1)2. dx = (x+1)2. dx (x+1)2.

7 Dx = (x+1) (x + 1) dx = ln |x + 1| + x+1.. Esercizio 19. bdx =. 1 x 12 . Soluzione. = b (1 x) d (1 x) = 2b 1 x . Esercizio 20. a bxdx =. 1 3. Soluzione. = 1b 2. (a bx) 2 d (a bx) = 3b (a b) 2.. x+ln x Esercizio 21. x dx =.. x 1 . Soluzione. = x dx + ln x x dx = x 2 dx + ln xd (ln x) = 2 x + 1. 2 ln2 x1. dx Esercizio 22. = 3x2 +5 =.. 2 3.. Soluzione. = 1. 3. dx x2 + 53. = 3 5. arctan 35 x dx Esercizio 23. 7x2 8 =.. x 2 72 . Soluzione. = 1 dx = 1. 7. ln = 1. ln 7x 2 2. 7 x2 87 7 16 x+ 2 72 16 7x+2 2. x2. Esercizio 24. x2 +2 dx =. x2 +2 2.

8 Dx Soluzione. = dx 2 =x 2 arctan x2. x2 +2 dx = x2 +2 2.. Esercizio 25. tan2 xdx =. 1.. Soluzione: applicando la formula goniometrica, = cosx 1 dx = tan x x + C.. Esercizio 26. 3x ex =. x (3e). x (3e). x Soluzione: = (3e) dx = +C = +C. ln 3e 1 + ln 3. 1d (ln x) = dx x CALCOLO DEGLI INTEGRALI 4.. Integrazione per introduzione sotto il segno di differenziale. La regola 4), se f (x) dx = F (x)+C e du = (x). allora f (u) du = F (u) + C estende notevolmente la tavola DEGLI INTEGRALI elementari, in quanto essa rimane valida anche nel caso in cui la variabile indipendente sia una funzione derivabile.

9 In particolare 1. dx 1 12 1 (5x 2) 2 2 . = (5x 2) d (5x 2) = 1 +C = 5x 2 + C. 5x 2 5 5 2. 5. cio equivale anche ad operare la sostituzione 5x 2 = u, da cui, differenziando, 5dx = du.. 2x + 3. Esercizio 27. dx =. 2x + 1. Soluzione: riscriviamo il numeratore come 2x + 3 = 2x + 1 + 2, avremo . 2 2dx d (2x + 1). = 1+ dx = dx + =x+ = x + ln (2x + 1) + C. 2x + 1 2x + 1 2x + 1. 1 3x Esercizio 28. =. 3 + 2x . 1 3x 1 x 1 3 x + 32 32. Soluzione: = dx dx = ln |2x + 3| 3 dx = 2 ln |2x + 3| dx =. 2x + 3 2x + 3 2 2 x + 23 2 x + 32.. 1 3 9 1 1 3 9 3 11 3.

10 = ln |2x + 3| dx + 3 dx = 2 ln |2x + 3| 2 x + 4 ln x + 2 = 4 ln |3 + 2x| 2 x + C. 2 2 4 x+ 2. x2 + 1. Esercizio 29. dx =. x 1.. x2 1 + 2 (x 1) (x + 1) dx x2. Soluzione: = dx = dx + 2 = (x + 1) dx + 2 ln |x 1| = + x + 2 ln |x 1| + C. x 1 x 1 x 1 2. x2 + 5x + 7. Esercizio 30. dx =. x+3. x2 + 6x + 9 x 2 (x + 3)2 x+3 1 dx x2. Soluzione: = dx = dx dx = (x + 3) dx dx+ = + 2x + ln |x + 3. x+3 x+3 x+3 x+3 2. x Esercizio 31. 2 dx =. (x + 1).. x+1 1 2 1. Soluzione: = 2 dx 2 dx = ln |x + 1| (x + 1) dx = ln |x + 1| . x+1. +C. (x + 1) (x + 1).