Diseño por bloques aleatorizados completos - UC3M

1 Dise o por bloques aleatorizadoscompletosIntroducci nAl estudiar la influencia de un factor sobre una variable cuantitativa es frecuente queaparezcan otras variables o factores que tambi n influyen y que deben ser estas variables se las denomina variablesbloque, y se caracterizan por(i)No son el motivo del estudio sino que aparecen de forma natural y obligada en elmismo.(ii)Se asume que no tienen interacci n con el factor en quieren determinar las necesidades energ ticas de una persona cuando anda,come o hace deporte. Supongamos que se tienen 10 personas para realizar el experimentoy se considera como variable respuesta o cuantitativa, el n mero de calor as consumidaspor segundo. Los resultados var an seg n el individuo considerado. Aqu , el factor es laactividad realizada, con 3 posibles niveles: andar, comer o hacer a cada una de las personas se le asigna una actividad distinta puede ser que lavariabilidad observada entre las distintas actividades sea debida a las diferencias entrelos propios individuos.

2 Una posible soluci n es que cada uno de los individuos realice lastres actividades. De este modo, la variable bloque es eltipo de personay cada uno de cada bloque (persona) se le aplican los 3 niveles del factor por orden aleatorio:1 Persona 1 Persona 2 Persona 10CG AAA GGC CObservacionesUna variable bloque no presenta interacci n con los factores en modelo se dice que es debloques aleatorizados completoscuando en cada bloque sepresentan todos los posibles tratamientos (o un m ltiplo de ese n mero) y dentro de cadabloque se asignan los tratamientos de forma ocasiones no se pueden asignar todos los tratamientos sobre cada bloque, de modoque se tienen los dise os porbloques aleatorizados que el n mero de unidades experimentales para cada bloque coincide conel n mero de tratamientos, esto es, hay una observaci n para cada cruce de los nivelesdel factor y del bloque.

3 La variable respuestaYpuede depender de un primer factor deinter s (A) y de la variable bloque (B). El modelo es:Yij= + i+ j+ ijparai=1,..,ayj=1,..,b,siendo: el efecto medio global iel efecto incremental sobre la media causado por el nivelidel factorA jel efecto incremental sobre la media causado por el niveljdel bloqueB ijel t rmino de a suponer queaXi=1 i=bXj=1 j=0El problema consiste en comparar las medias de los tratamientos, esto esH0 1= 2= = aH1 i6= ji6=jlo cual es equivalente aH0 i=0H1 j6=0 jSe consideran las siguientes hip tesis sobre el modelo: Normalidad: ijsigue una distribuci n normal. Esto es equivalente a queYijsigueuna distribuci n normal. Linealidad:E( ij)=0. Esto es equivalente a queE(Yij)= + i+ j. Homocedasticidad:Var( ij)= 2. Esto es equivalente a queVar(Yij)= 2. Independencia: ijson independientes entre s.

4 Esto es equivalente a queYijsonindependientes entre s .Estimaci n de los par metrosSe estiman por el m todo de los m nimos calculam n , i, j =m naXi=1bXj=1 yij i j 2sujeto aaXi=1 i=bXj=1 j=03Se tiene = 2aXi=1bXj=1 yij i j =0= aXi=1bXj=1yij ab =0= =1abaXi=1bXj=1yijk= y Paraifijado i= 2bXj=1 yij i j =0= bXj=1yij b b i=0= i=1bbXj=1yij y = yi y An logamente, parajfijado, j= y j y As , yij= y +( yi y )+( y j y )== yi + y j y El n mero de par metros a estimar en total es1+(a 1) + (b 1) =a+b 1 Como el n mero total de observaciones esN=ab,entonces el n mero de grados delibertad esab a b+1=(a 1)(b 1)4De este modo, comoSCE=aXi=1bXj=1(yij yij)2=aXi=1bXj=1(yij ( yi + y j y ))2==aXi=1bXj=1(yij yi y j+ y )2,entonceslaestimadelavarianzatotales 2=1(a 1)(b 1)aXi=1bXj=1(yij yi y j+ y )

5 N de la suma de cuadradosDescomponemos la variabilidad total de la siguiente forma:SCT=SCA+SCB+SCEsiendoSCT=aXi=1bXj= 1(yij y )2=aXi=1bXj=1y2ij N y2 ==aXi=1bXj=1y2ij y2 N Suma de cuadrados total SCA=baXi=1( yi y )2=baXi=1 y2i N y2 ==1baXi=1y2i y2 N Suma de cuadrados explicada debido al factor A SCB=abXj=1( y j y )2=abXj=1 y2 j N y2 ==1abXj=1y2 j y2 N Suma de cuadrados explicada debido al bloque SCE=aXi=1bXj=1(yij yi y j+ y )2=SCT SCA SCB Suma de cuadrados residual 5Se puede demostrar queE SCAa 1 = 2+bPai=1 2ia 1E SCBb 1 = 2+aPbi=1 2jb 1E SCE(a 1)(b 1) = 2De este modo, se puede considerar el estad sticoF0=MCAMCE=SCAa 1 SCE(a 1)(b 1)de modo que siH0es cierta,F0se distribuye como una F de Snedecor,Fa 1,(a 1)(b 1), ,de manera que se rechaza laH0siF0>Fa 1,(a 1)(b 1), Se podr a plantear contrastar la igualdad entre los bloques , aunque hacer esto est encontra de la suposici n previa: si se ha considerado un dise o por bloques es porque estosinfluyen en el se considerase un estad stico de la formaF0=MCBMCE=SCBb 1 SCE(a 1)(b 1)aparecer an dificultades te ricas dado que la aleatorizaci n s lo se realiza dentro de tabla de an lisis de la varianza queda como:F.

6 1 MCA=SCAa 1F0=MCAMCEF actorBloqueSCBb 1 MCB=SCBb 1 ResidualSCE(a 1)(b 1)MCE=SCE(a 1)(b 1)TotalSCTab realiza un experimento para determinar el efecto de cuatro sustancias qu mi-cas diferentes sobre la resistencia de una tela. Las sustancias se emplean como parte delproceso terminal de planchado permanente. Para ello, se escogen cinco muestras de telay se aplica un dise o aleatorizado por bloques completos mediante la prueba de cadasustancia en un orden aleatorio sobre cada una de las muestras de tela. Se probar ladiferencia en las medias utilizando para ello el an lisis de la varianza con =0, aparecen a continuaci \Muestra12345 Media11,31,60,51,21,1 y1 =1,1422,22,40,42,01,8 y2 =1,7631,81,70,61,51,3 y3 =1,3843,94,42,04,13,4 y4 =3,56 Media y 1=2,3 y 2=2,53 y 3=0,88 y 4=2,2 y 5=1,9 y =1,96El factor de inter s es la sustancia qu mica, con cuatro niveles y el factor bloque es lamuestra de tela, con cinco niveles.

7 Entoncesa=4,b=5yn= sumas de cuadrados son:SCT=aXi=1bXj=1y2ij n y2 =1,32+1,62+ +4,12+3,42 20 1,962=25,69 SCA=baXi=1 y2i n y2 =5(1,142+1,762+1,382+3,562) 20 1,962=18,04 SCB=abXj=1 y2 j n y2 =4(2,32+2,532+0,882+2,22+1,92) 20 1,962=6,69 SCE=SCT SCA SCB=25,69 18,04 6,69 = 0,96La tabla ANOVA ,12;0,01=5,9526,existe una diferencia significativa en las sustancias qu micasen cuanto al efecto que tienen sobre la resistencia promedio de la nSi las medias de los tratamientos son diferentes entre s se pueden considerar los testsde comparaciones m ltiples y de rangos estudentizados, que se vieron para el modelounifactorial general. Se ha de reemplazar el n mero de r plicas por nivel del factor (n)por el n mero de bloques (b).A su vez, los grados de libertad del error han de cambiarse de(N a)en el casogeneral a(a 1)(b 1).

8 8 Cuadrados latinosEn principio, un modelo completo con tres factores y todas las posibles interaccionesser a:yijk= + i+ j+ k+( )ij+( )ik+( )jk+( )ijk+ ijkparai=1,..,a,j=1,..,byk=1,..,K;siendo ijk N(0, 2) problema reside en que s lo se dispone de(a b K)observaciones para estimar(a b K+1)par posibles soluciones son:1. Prescindir de alguna interacci n, es decir, simplificar el Replicar el experimento aunque, a veces, no es posible obtener tantas Construir un dise o decuadrados aplicar un dise o de cuadrados latinos cuando: Hay tres factores El n mero de niveles es el mismo para cada factor, es decira=b=k No se esperan interacciones entre los factoresEl dise o por cuadrados latinos trata de sacar el m ximo de informaci n con el m nimode observaciones. La idea es que cada nivel del factor aparezca una vez con cada uno de losniveles de las otras variables.

9 Adem s, han de cumplirse las condiciones de normalidad,homocedasticidad, independencia y falta de interacci o y construcci n de un cuadrado latinoSe parte de un factor y dos variables bloque, de modo que el n mero de niveles delfactor y el de las variables bloque sea cada combinaci n de los niveles de los bloques se le asigna un solo nivel del factor,de modo que cada uno de estos niveles aparece una y s lo una vez en cadafila y en cadacolumna. De este modo,(i)Se toma un cuadrado latino al azar de una tabla, o se genera por medio de unprograma.(ii)Se toman tres permutaciones al azar de los n meros1,2,..,I(iii)Con la primera permutaci n se aleatorizan las columnas, con la segunda lasfilas ycon la tercera los realiza un experimento para comparar 4 procesos de fabricaci n. Se supone queinfluye tanto el momento del d a como el d a de la semana en que se realiza.

10 Entonces, seconsideran las siguientes Cada d a se divide en 4 periodos distintos de 6 horas cada uno (de 0 6, de 6 12, de12 18, 18 24).2. Losd aqueseconsideransonL,M, Como factor se toma el proceso de fabricaci n con cuatro niveles:P1,P2, al azar un cuadrado latinoABCDBCDACDABDABC10De las4! = 24posibles permutaciones, se eligen las siguientes:(1,3,4,2)(3,2,1,4)(4,3,2,1)as ignando, entonces, Mfila 1 12 18fila 2 6 12fila 3 0 6fila 4 18 24 Letra AP4 Letra BP3 Letra CP2 Letra DP1 Queda el siguiente cuadrado latinoLXJM12 18P4P3P2P16 12P3P2P1P40 6P2P1P4P318 24P1P4P3P2que, reordenando, queda comoLMXJ0 6P2P3P1P46 12P3P4P2P112 18P4P1P3P218 24P1P2P4P3 Las ventaja que presenta el dise o latino es que permite estudiar el efecto de un factory dos variables bloque conIniveles cada uno de ellos y conI2unidades experimentales,en lugar deI3unidades experimentales.