DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD - SERGAS

1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NDICEDISTRIBUCIONES DE LCULO DE n Uniforme discreta (a,b)..4 Distribuci n Binomial (n,p)..5 Distribuci n Hipergeom trica (N,R,n)..6 Distribuci n Geom trica (p)..7 Distribuci n Binomial negativa (r,p)..8 Distribuci n Poisson (lambda)..10 DISTRIBUCIONES n Uniforme (a,b)..12 Distribuci n Normal (Mu, Sigma)..14 Distribuci n Lognormal (Mu, Sigma)..16 Distribuci n Log stica (a, b)..17 Distribuci n Beta (p,q)..18 Distribuci n Gamma (a,p)..19 Distribuci n Exponencial (lambda)..21 Distribuci n Ji-cuadrado (n)..22 Distribuci n t de Student (n)..23 Distribuci n F de Snedecor (n,m)..24 GENERACI N DE n n Normal DE PROBABILIDADC LCULO DE PROBABILIDADESC onceptos generalesUno de los objetivos de la estad stica es el conocimiento cuantitativo de una determinada parcela de la realidad.

2 Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular objeto de estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre m s complejo y multiforme que cualquier modelo que se pueda construir. De todas formas, la formulaci n de modelos aceptados por las instituciones responsables y por los usuarios, permite obviar la existencia del error o distancia entre la realidad y el modelos te ricos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a (o incluyen en su formulaci n) funciones de PROBABILIDAD . La teor a de la PROBABILIDAD tiene su origen en el estudio de los juegos de azar, que impulsaron los primeros estudios sobre c lculo de probabilidades en el siglo XVI, aunque no es hasta el siglo XVIII cuando se aborda la PROBABILIDAD desde una perspectiva matem tica con la demostraci n de la ley d bil de los grandes n meros seg n la cual, al aumentar el n mero de pruebas, la frecuencia de un suceso tiende a aproximarse a un n mero fijo denominado PROBABILIDAD .

3 Este enfoque, denominado enfoque frecuentista, se modela matem ticamente en el siglo XX cuando Kolmogorov formula la teor a axiom tica de la probabilidad1. Dicha teor a define la PROBABILIDAD como una funci n que asigna a cada posible resultado de un experimento aleatorio un valor no negativo, de forma que se cumpla la propiedad aditiva. La definici n axiom tica establece las reglas que deben cumplir las probabilidades, aunque no asigna valores de los conceptos m s importantes de la teor a de probabilidades es el de variable aleatoria que, intuitivamente, puede definirse como cualquier caracter stica medible que toma diferentes valores con probabilidades determinadas. Toda variable aleatoria posee una distribuci n de PROBABILIDAD que describe su comportamiento (vale decir, que desagrega el 1 a lo largo de los valores posibles de la variable).

4 Si la variable es discreta, es decir, si toma valores aislados dentro de un intervalo, su distribuci n de PROBABILIDAD especifica todos los valores posibles de la variable junto con la PROBABILIDAD de que cada uno ocurra. En el caso continuo, es decir, cuando la variable puede tomar cualquier valor de un intervalo, la distribuci n de PROBABILIDAD permite determinar las probabilidades correspondientes a con subintervalos de valores. Una forma usual de describir la distribuci n de PROBABILIDAD de una variable aleatoria es mediante la denominada funci n de densidad, en tanto que lo que se conoce como funci n de distribuci n representa las probabilidades de las preocupaciones de los cient ficos ha sido construir modelos de DISTRIBUCIONES de PROBABILIDAD que pudieran representar el comportamiento te rico de diferentes fen menos aleatorios que aparec an en el mundo real.

5 La pretensi n de modelar lo observable ha constituido siempre una necesidad b sica para el cient fico emp rico, dado que a trav s de esas construcciones te ricas, los modelos, pod a experimentar sobre aquello que la realidad no le permit a. Por otra parte, un modelo resulta extremadamente til, siempre que se corresponda con la realidad que pretende representar o predecir, de manera que ponga de relieve las propiedades m s importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la simplificaci n que implica todo la pr ctica hay unas cuantas leyes de PROBABILIDAD te ricas, como son, por ejemplo, la ley binomial o la de Poisson para variables discretas o la ley normal para variables continuas, que sirven de modelo para representar las DISTRIBUCIONES emp ricas m s , por ejemplo, la variable talla de un reci n nacido puede tener valores entre 47 cm y 53 cm, pero no todos los valores tienen la misma PROBABILIDAD .

6 Porque las m s frecuentes son las tallas pr ximas a los 50 cm. En este caso la ley normal se adapta satisfactoriamente a la distribuci n de PROBABILIDAD emp rica, que se obtendr a con una muestra grande de ofrece, en este m dulo, procedimientos usuales para calcular probabilidades y sus inversas, para un conjunto bastante amplio de funciones de distribuci n, discretas y continuas, que son habituales en el proceso de modelaci n. Por ejemplo, el conjunto de DISTRIBUCIONES pertenecientes a la familia exponencial es de uso frecuente en metodolog as como el an lisis de supervivencia o el Modelo Lineal Generalizado. Otras DISTRIBUCIONES son comunes y habituales en el campo de actuaci n de disciplinas tales como la econom a, la biolog a, la opci n elegida es el c lculo de una PROBABILIDAD dado un punto x de la distribuci n, se presentan en todos los casos dos resultados: la PROBABILIDAD acumulada hasta ese punto, o la PROBABILIDAD de que la variable tome valores inferiores o iguales a x (cola izquierda) y la PROBABILIDAD de valores superiores a x (cola derecha).

7 En el caso continuo, la PROBABILIDAD de que la variable sea igual a cualquier punto es igual a cero; por tanto, no influye en las colas el hecho de incluir o excluir el punto x. Hay un tercer resultado que el programa presenta s lo para las DISTRIBUCIONES continuas sim tricas (normal, log stica y t de Student): la PROBABILIDAD de dos colas, es decir, la PROBABILIDAD que queda a ambos lados del intervalo (-x, x) (x, -x), seg n el punto sea positivo o negativo, , los resultados de Epidat incluyen la media y la varianza de la correspondiente distribuci n, as como la mediana y/o la moda en el caso de las DISTRIBUCIONES tambi n ofrece la posibilidad de representar, gr ficamente, las funciones de distribuci n y DISCRETASLas DISTRIBUCIONES discretas incluidas en el m dulo de C lculo de probabilidades son.

8 Uniforme discreta Binomial Hipergeom trica Geom trica Binomial Negativa PoissonDistribuci n Uniforme discreta (a,b)Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valores distintos con la misma PROBABILIDAD cada uno de ellos. Un caso particular de esta distribuci n, que es la que se incluye en este m dulo de Epidat , ocurre cuando los valores son enteros consecutivos. Esta distribuci n asigna igual PROBABILIDAD a todos los valores enteros entre el l mite inferior y el l mite superior que definen el recorrido de la variable. Si la variable puede tomar valores entre a y b, debe ocurrir que b sea mayor que a, y la variable toma los valores enteros empezando por a, a+1, a+2, etc. hasta el valor m ximo b.

9 Por ejemplo, cuando se observa el n mero obtenido tras el lanzamiento de un dado perfecto, los valores posibles 4siguen una distribuci n uniforme discreta en {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y la PROBABILIDAD de cada cara es 1 :x: a, a+1, a+2, .., b, n meros enterosPar metros:a: m nimo, a enterob: m ximo, b entero con a < bEjercicioEl temario de un examen para un proceso selectivo contiene 50 temas, de los cuales se elegir uno por sorteo. Si una persona no ha estudiado los 15 ltimos temas Cu l es la PROBABILIDAD de que apruebe el examen?La variable que representa el n mero del tema seleccionado para el examen sigue una distribuci n uniforme con par metros a=1 y b=50. La persona aprueba el examen si le toca un tema del 1 al 35; por tanto, la PROBABILIDAD que se pide es la cola a la izquierda de 35.

10 Para obtener los resultados en Epidat basta con proporcionarle los par metros de la distribuci n, y seleccionar calcular probabilidades para el punto con Epidat lculo de probabilidades. DISTRIBUCIONES discretasUniforme discreta (a,b)a : M nimo 1b : M ximo 50 Punto K 35 PROBABILIDAD Pr[X=k] 0,0200 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,7000 Cola Derecha Pr[X>k] 0,3000 Media 25,5000 Varianza 208,2500La persona tiene una PROBABILIDAD de aprobar igual a 0, n Binomial (n,p)La distribuci n binomial es una distribuci n discreta muy importante que surge en muchas aplicaciones bioestad distribuci n aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como xito o fracaso.