ECUACIÓN GENERAL DE UNA ELIPSE - Portal Académico CCH

1 Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 28 ECUACI N GENERAL DE UNA ELIPSE Hasta aqu hemos presentado las ecuaciones de elipses en la forma que lla-mamos ordinaria, donde los cuadrados de los binomios se quedan indicados. Esta forma nos fue muy til para identificar con rapidez los valores de par -metros a y b, as como las coordenadas del centro (h, k). Ahora obtendremos la llamada forma GENERAL de la ecuaci n de la ELIPSE , desarrollando los cuadrados indicados en la forma ordinaria y reagrupando algu-nos t rminos. Para la ELIPSE horizontal con centro C(h, k) 1)()(2222 bkyahx Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores, desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos t rminos semejantes e igua-lamos a cero, obtenemos la ecuaci n: 022222222222222 bakahbkyahxbyaxb En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla as : 022 FEyDxCyAx, que es la buscada ecuaci n GENERAL de una elip-se horizontal con centro C(h, k).

2 Para la ELIPSE vertical con centro C(h, k) 1)()(2222 akybhx. Siguiendo el mismo proceso algebraico que para la ELIPSE horizontal, llegamos a la ecuaci n: 022222222222222 bakbhakybhxaybxa En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla as : 022 FEyDxCyAx, que es la ecuaci n GENERAL de una ELIPSE vertical con centro C(h, k). De lo anterior se puede concluir que la ecuaci n de una ELIPSE con centro en un punto cualquiera y ejes paralelos a los coordenados, siempre puede expresar-se en la forma GENERAL : 4 - 29 Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 022 FEyDxCyAx Donde los coeficientes A y C ser n diferentes de cero y del mismo signo. Sugerencias para quien imparte el curso Recomendamos preguntar a los alumnos c mo distinguir, si la ELIPSE es horizontal o vertical teniendo solamente la ecuaci n en su forma GENERAL .

3 Dependiendo de las combinaciones de valores con los otros coeficientes, la ecuaci n GENERAL podr a representar s lo un punto o ning n lugar geom trico real. Inversamente: una ecuaci n de segundo grado que carece del t rmino xy, en la que los coeficientes de los t rminos en x2 y y2 tienen el mismo signo, representa una ELIPSE con ejes paralelos a los ejes coordenados, un punto o ning n lugar geom trico real. Expresar en forma GENERAL cada una de las siguientes ecuacio-nes dadas en forma ordinaria. 1. 149)2(36)5(22 yx 2. 17)4(16)1(22 yx 3. 164)3(2522 yx Intentemos el problema inverso. C mo expresar en forma ordinaria la ecuaci n de una ELIPSE dada en forma GENERAL ? Ejercicio 1 Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 30 Dada la ecuaci n 22494054145 0xyxy , Indicar de qu curva se trata, obtener sus elementos y graficarla Expres mosla en forma ordinaria, de manera que podamos obtener m s in-formaci n sobre esta posible ELIPSE (centro, focos, v rtices, etc.)

4 , para lograrlo rea-liza el procedimiento siguiente: 1. Dejar en el primer miembro los t rminos que tienen x y los que tienen y, agrup ndolos seg n la variable. 22440954145xxyy 2. Factorizar el 4 para los t rminos en x y el 9 para los de y 224(10 ) 9(6 )145xxyx 3. Completar trinomios cuadrados perfectos dentro de cada par ntesis, su-mando lo que sea necesario a ambos miembros de la igualdad 224(1025) 9(69)145 100 81xxyx 4. Factorizar los trinomios cuadrados perfectos, como binomios al cuadrado y reducir t rminos semejantes 224(5)9(3)36xy 5. Dividir la ecuaci n entre 36, obteniendo 2253194xy As , llegamos a una ecuaci n con la que estamos m s familiarizados. De qu curva se trata, es horizontal o vertical?

5 Dar las coordenadas del centro, el valor de cada una de las constantes a, b y c, las coordenadas de los fo-cos, de los v rtices, la excentricidad, la longitud de los ejes mayor, menor y del lado recto. La ELIPSE es horizontal. Ejemplo 5 4 - 31 Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas Las coordenadas del centro son 5, 3C . El valor de cada una de las constantes es 3,2,9 45abc Las coordenadas de los focos son 55, 3 55, 3Fy F Las coordenadas de los v rtices son 8, 3 2, 3Vy V La excentricidad es 53e La longitud del lado recto es 83 Y su gr fica es: Hagamos las transformaciones algebraicas necesarias para llevar esta ecua-ci n GENERAL a la forma ordinaria.

6 1. x2 12x + 8y2 16y = 36 2. (x2 - 12x) + 8 (y2 2y) = 36 Ejemplo 6 Dada la ecuaci n x2 + 8y2 12x 16y 36 = 0, encontrar todas las caracter sticas de la curva que representa. Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 32 3. Completando los trinomios cuadrados perfectos. (x2 - 12x + 36) + 8 (y2 2y + 1) = 36 + (36) + 8 (1) 4. Factorizando: ( x - 6)2 + 8 (y - 1)2 = 80 5. Dividiendo entre 80: 8080801880622 yx Esta ecuaci n puede escribirse en la forma con la que estamos m s familia-rizados: 110180622 yx a) De qu curva se trata? b) Es horizontal o vertical? Es horizontal c) Las coordenadas del centro son C 6,1C d) El valor de cada una de las constantes es: 80,10,ab 80 1070c e) Las coordenadas de los focos son 670,1 670,1Fy F f) Las coordenadas de los v rtices son 680,1 680,1Vy V.

7 G) La excentricidad es 7080e . h) La longitud de los ejes es: eje mayor =2 80 , eje menor =2 10 y i) La longitud del lado recto es 2080 Y su gr fica se muestra enseguida: 4 - 33 Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas Expres mosla en forma ordinaria, de manera que podamos obtener m s in-formaci n sobre esta ELIPSE (centro, focos, v rtices, etc.). 1. Dejamos en el primer miembro los t rminos que tienen x y los que tienen y, agru-p ndolos seg n la variable: 49x2 196x + 25y2 - 300y = 129. 2. Factorizamos el 49 para los t rminos en x y el 25 para los de y: 224942512129xxyy . 3. Completamos trinomios cuadrados perfectos dentro de cada par ntesis, sumando lo que sea necesario a ambos miembros de la igualdad: 224944251236129 49(4) 25(36)xxyy 4.

8 Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos, como binomios al cua-drado y reduciendo t rminos semejantes: 224922561225xy 5. Dividimos entre 1225 toda la ecuaci n: 224922561225122512251225xy 6. Reduciendo las fracciones: 222612549xy Ejemplo 7 Dada la ecuaci n de segundo grado, en dos variables y sin t rmino en xy: ,realizar lo siguien-te: a)Identificar el tipo y posici n de la curva. b)Obtener las coordenadas del centro, de los fo-cos y de los v rtices. c)Escribir las longitudes de los ejes y del lado recto. d)Calcular la excentricidad de la curva. Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas 4 - 34 Observamos que se trata de una ELIPSE y es vertical Las coordenadas del centro son: 2, 6C El valor de cada uno de los par metros 7,5,49 2524abc Las coordenadas de los focos son 2, 624 2, 624Fy F Los v rtices son los puntos 2,1 2, 13Vy V b) La excentricidad es 247e.

9 C) La longitud de los ejes el mayor mide 14 y el menor 10 d) La longitud del lado recto es 507 Y su gr fica es: 1. 100x2 + 49y2 + 200x 686y 2399 = 0 2. x2 + 4y2 10x + 16y 7 = 0 3. y2 + 25x2 + 12y 150x 214 = 0 4. x2 + 81y2 + 162y = 0 Para cada una de las ecuaciones anteriores: a) Identificar el tipo y posici n de la curva. b) Obtener las coordenadas del centro, de los focos y de los v rtices. c) Escribir las longitudes de sus ejes ( mayor y menor) y su lado recto. d) Calcular la excentricidad. Ejercicio 2 Llevar a la forma ordinaria cada una de las siguientes ecuaciones dadas en forma GENERAL : 4 - 35 Unidad 4 ELIPSE , Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas La intenci n de esta secci n se alcanzar plenamente s lo si reflexionamos detenidamente cada una de las ideas incluidas en los problemas, la forma en que se relacionan los conceptos que maneja cada ejercicio con los desarrollos te ricos que hemos efectuado.

10 Una figura te ser de mucha utilidad en cada caso. 1. La distancia m nima del planeta Mercurio al Sol es 45 052 000 km y su ex-centricidad es 51 e. a) Calcular la distancia m xima de Mercurio al Sol. b) Comparar la diferencia entre las distancias m xima y m nima de Mercurio al Sol con la misma diferencia de la Tierra al Sol, expresarlas en porcentaje. 2. Dos v rtices de un tri ngulo son los puntos A(5,0) y B(-5,0), si el tercer v r-tice puede moverse en el plano por todas las posiciones posibles, siempre que el per metro del tri ngulo sea 26 unidades, qu lugar geom trico describe el tercer v rtice?. Obtener su ecuaci n. 3. Un arco de forma semiel ptica subtiende un claro de 104 m. Si la altura del arco es de 15 metros a una distancia de 4 m medida desde un extremo, cu l es su altura m xima?