Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung

1 Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung Seite 1. Stand: 26. M rz 1999. Grundintegrale . 1. (1) 0 dx 0 C (8) sin x d x cos x C (15) 2 dx tanh x C. cosh x . 1 . 1. (2) 1 dx x C (9) 2 dx tan x C (16) 2 dx coth x C. cos x sinh x . n 1 arsinh x . n x 1 . 1 C. (3) x dx C (10) 2 dx cot x C (17) . 2. dx .. 2.. n 1.. sin x x . 1 ln x x . 1 C. f r n 1.. arcosh x C.. 1 .. 1 arcsin x C 1.. 1. (4) dx ln x C (11) . dx (18) . dx . ! x 2.. 2 2.. 1 x arccos x C 2 x 1 ln x x 1 C.. artanh x C . 1 1 x . ln C.. cx 1 cx .. 1 arctan x C 1.. 1 2 1 x (5) e dx e C (12) dx (19) dx .. 2 . 2 . c . 1 x arccot x C 2 1 x arcoth x C . 1 x 1 . ln C. 2 x 1 . x a . x . (6) a dx C (13) cosh x d x sinh x C. lna.

2 (7) cos x d x sin x C (14) sinh x d x cosh x C. Spezielle Substitutionen Partielle Integration / /. Integralform . Substitution u v' d x . uv 3. u' v d x . " #. (1) f ax b dx z $ ax % b & '. ( ( ) ) * + , - + , - (2) f x ' x dx z . x , - /. f' x 0. , - 0 1. , - (3) dx , - ln f x C z f x f x .. /. , 2 2 - (4) f x; a x dx x a sin z oder x a cos z 3. 2 .. /. , 2 2 - (5) f x; x a dx x a cosh z 3. 2.. /. , 2 1. 2 - (6) f x; x 2. a dx x . a sinh z Partialbruchzerlegung 1. evtl. Ausdividieren (bei unecht gebrochener Funktion). 2. Nullstellen des Nenners bestimmen 3. Ansatz der Partialbruchzerlegung: Fall 1: Alle Nenner - Nullstellen einfach und reell A1 A2 An , - P x , - 1 1 4 5. Q x x x1 x x2 x xn.

3 3 3. 6. Fall 2: Nenner - Nullstellen reell, aber nicht alle verschieden A1 A2 Am B1 B2 Bn 7 8. P x 7 8 9. 5 5 4 5 5 5 5 4 5. 2 m 2 n Q x x x1 x x x x2 x x 7 8 7 8 7 8 7 8. x x 6. 6. 1. 6. 1. 6. 6. 2. x 6 x2. Fall 3: Nenner - Nullstellen paarweise konjungiert komplex und einfach 5. Ax B * 2 : 7 8 7 8. 5 5. ;. 2 f r jedes Nullstellenpaar mit x x 1 x x 1 x a x 5 5. 6 6. 9. b x ax b Fall 4: Mehrfache komplexe Nullstellen im Nenner * *. A1 x < B1 C2 C2 Cm Cm B > ? >. * ? A. 2 ;. 2 <. > ? 2 <. >. * 2 ? < @ <. > ? m <. >. * m ? mit x = x1 x = x1 x < ax < b x < ax < b x = x1 x = x1 x = x1 x = x1. 4. Bestimmung der Koeffizienten A1, A2, .. 5. Integration Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung Seite 2.

4 Substitution f r bestimmte Integrale . x . x R e dx; z e 2 2.. x 2 2z 2z 1 z 1 z R sin x , cos x , tan x , cot x d x ; z tan ; d x d z ; sin x ; cos x 2 ; cot x ; tan x . 2 2 2 2. 2z . 1 . z z 1 1 z 1 z .. 2 2 . 1 z 1 1. R sin x , cos x d x ; z tan x ; d x 2 d z ; sin x . ; cos x ; tan x z ; cot x . 2.. 2 2. 1 . z 1 z 1 z . Einige besondere Integrale n 1. cx coscx n 1 sin . n n 2. (1) sin cx d x sin cx d x . cn n .. n 1. cos cx sincx n 1.. n n 2. (2) cos cx d x cos cx d x . cn n . n 1. tan cx . n n 2. (3) tan cx d x tan cx d x . c n 1. n 1. cot cx . n n 2. (4) cot cx d x cot cx d x . c n 1. (5). 1. sincx dx 1. c ln tan cx 2 b b 1 1. b cx b . (6) dx ln tan coscx c 2 4.. 1 coscx n 2 1.

5 Dx d x ; f r n . (7) n n 1 n 2 1. c n 1 sin cx n 1 sin cx .. sin cx .. 1 sin cx n 2 1 . (8) dx d x ; f r n 1.. n n 1 n 2. n . 1.. cos cx c n 1 cos cx cos cx .. n 1. sinh cx coshcx n 1.. n n 2. (9) sinh cx d x sinh cx d x ; f r n . 0.. cn n . n 1. sinh cx coshcx n 2. ! . n n 2. (10) sinh cx d x sinh cx d x ; f r n 0; n 1. ! . c n 1 n 1.. ". # $. n 1. cosh cx sinh cx n 1. '. % %. n n 2. (11) cosh cx d x cosh cx d x ; f r n 0. $. '. cn n & $ (. n 1. cosh cx sinh cx n 2. ). % %. n n 2. (12) cosh cx d x cosh cx d x ; f r n 0; n 1. *. ). + , c n 1 n 1. ". & $ $ # $. * *. n 1. tanh cx % ' %. n n 2. (13) tanh cx d x tanh cx d x ; f r n 1. '. + , c n 1. & $ * #. $. n 1. coth cx '. % %.

6 N n 2. (14) coth cx d x coth cx d x ; f r n 1. '. + , c n 1. & $ * #. $. 1 1 cx b b %. (15) dx ln tanh sinhcx c 2. &. %. 1 2 cx (16) dx arctan e coshcx c &. Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung Seite 3. Stand: 26. M rz 1999. Winkelfunktionen sin cos tan cot tan x 1.. 2. sin x 1 cos x .. 2.. 2. 1 tan x 1 cot x . 1 cot x . 2. cos x 1 sin x .. 2.. 2. 1 tan x 1 cot x .. 2. sin x 1 cos x . 1. tan x . 1 sin x . 2 cos x cot x . 2. 1 sin x . cos x 1. cot x . sin x 1 cos x . 2 tan x Arcusfunktionen arcsin arccos arctan arccot x arcsin x arccos x arctan 2.. 2.. 1 x . x arccos x arcsin x arccot . 2. 2.. 1 . x x arctan x arcsin . 2. arccot x 2.. 1 . x x arccot x arccos . 2. arctan x 2.

7 1 . x Hyperbelfunktionen sinh cosh tanh coth tanh x 1.. 2. sinh x cosh x 1 . 2.. 2. 1 tanh x coth x 1 .. 1 coth x . 2. cosh x sinh x . 1 . 2.. 2. 1 tanh x . coth x . 1.. 2. sinh x cosh x 1 . 1. tanh x . sinh x 2. 1 cosh x coth x . 2. sinh x 1 . cosh x 1. coth x . sinh x cosh x 2. 1 tanh x Areafunktionen arsinh arcosh artanh arcoth 2. x x 1.. 2 . arsinh x arcosh x 1 artanh arcoth . 2 x . x 1.. 2. 2 x 1 x arcosh x arsinh x 1 artanh arcoth x 2.. x 1. x 1 1. artanh x arsinh arcosh arcoth 2 2 x . 1 x 1 x 1 x 1. arcoth x arsinh arcosh artanh 2 2 x .. x 1 . x 1. Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung Seite 4. Reihen Integralkriterium von C'auchy Fourier - Integral .. 2.. a n ; an 0 az.

8 F t cos z t dt ; z T.. n 1 . 1. a1 a2 a3 monoton fallende Glieder $. 2. %.. & ' & '. bz ! ". F t sin z t dt ; z T. ( .. 2. an f n . # $. az . 2 2. ! & ' & ' * & '. A z " ). a z b z ; tan ". A ist konvergent bz +.. an ! n 1. f x dx .. 1 . an ist divergent & '. /. , & ' * & '. - n . 1. F t ". a z cos z t ! b z sin z t ! dz 0.. Fourier /. 0 1 2 0 1 0 0 1 1.. F t A z sin z t 3 4 z dz Koeffizienten bei gerader Funktion f x f . x 0.. ungerader Funktion f x f . x Restglied nach Lagrange b b 8 9. n 1. x x0. : < =. 7. n 1 8 8 9 9. Rn f x0 v x x0 ; x x x0 ; 0 1; so w hlen, da das Restglied m gl. gro wird : 8 9. 1 n 1 ! > A B C B. ; 7 ? 6. 5. ;. Differientialgleichungen 1. Ordnung Trennung der Variablen Implizite Differentialgleichungen E F G E F K L.

9 Form: y' f 1 x f 2 y D. : f x , y' 0 ; y kommt nicht explizit vor N. dy H. E F. H. E F. dy J. Ansatz: y' ; f1 x d x f2 y d y Ansatz: y' p dy p dx dx N N N. dx D D. K L J. dx K L J K L. x p ' p dx p ' p dp dp N Q N Q N Q. Homogene Differentialgleichungen y E F. dy p ' p dp K L. Form: y' f N Q. x D. O. K L. y p ' p dp y N Q. Ansatz: Substituieren mit u x K L. D. : f y , y' N 0 ; x kommt nicht explizit vor dy du dy y u x; x u J S T U S T. D. dx D. dx I. Ansatz: y' p y p dy ' p dp dx N N N R V R. S T. dy U. W. ' p dx x dp R. Exakte Differentialgleichungen V. dp V. p E F J K L K L. Form: y' f x , y P x, y d x D M Q x, y d y N 0 S T S T. Ergebnis: Parameterdarstellung: x p ; y p Exakt, wenn: P y Qx N.

10 Lineare Differentialgleichungen O. J K L K L K L. F x, y N c N P x, y d x M g y S T. O. K L K L. Form: y' f x y 0 X V. N Q x, y d y M h x Z. [ \. f x dx J. c F1 x N. K L. M F2 x , y K L. M F3 y K L. L sung: y V ce Y. Substitution Inhomogene Differentialgleichungen ^ _ ^ _. Form: y' f a x N. K. M by M c L. Form: y' f x y g x ] `. c d Z. Z. b [ \. [ \. f x dx f x dx K L. u' a ^ _. J. du J. Ansatz: e c g x e dx Ansatz: u ax by c a b y' y'. P. a ]. dx b N M M N M N. K L. u' a K L. y' u f ax by c P. N. b N N M M. Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung Seite 5. Stand: 26. M rz 1999. Differentialgleichungen 2. Ordnung 2. Ordnung 1. Ordnung . : y'' f x .. Ansatz: y' f x dx c1 ; y f x dx c1 dx c2.]