Geometría elemental www.librosmaravillosos.com Aleksei V ...

1 Geometr a V. Pogor lov1 Preparado por Patricio BarrosGeometr a V. Pogor lov2 Preparado por Patricio Barros ndicePrefacioPrimera parte. Planimetr a 1. Propiedades fundamentales de las figuras geom tricas 2. De c mo se estudian en la Geometr a las propiedades de las figuras 3. ngulos 4. Igualdad de los tri ngulos 5. Relaciones entre los ngulos y los lados del tri ngulo 6. Tri ngulos rect ngulos 7. Construcciones geom tricas 8. Rectas paralelas 9. Cuadril teros 10. Movimientos. Igualdad de figuras. 11. Circunferencia 12. Semejanza de los tri ngulos 13. Teorema de Pit goras y sus aplicaciones 14. Funciones trigonom tricas del ngulo. 15. Pol gonos 16. A reas de figuras 17. Longitud de la circunferencia.

2 Rea del c rculoSegunda parte. Estereometr a 18. Axiomas de la Estereometr a y algunos corolarios 19. Paralelismo de rectas y planos 20. Perpendicularidad de rectas y planos 21. ngulos entre rectas y planos 22. ngulos diedros, triedros y poliedros 23. Movimiento y otras transformaciones en el espacio 24. Poliedros 25. Elementos de delineaci n proyectiva 26. Vol menes de cuerpos simples 27. Cuerpos de revoluci nGeometr a V. Pogor lov3 Preparado por Patricio Barros 28. Vol menes de cuerpos de revoluci n 29. reas de superficies de revoluci n 30. Nociones de historia de la Geometr aGeometr a V. Pogor lov4 Preparado por Patricio BarrosPrefacioEn las etapas iniciales, la ense anza de la Geometr a tiene por objeto, adem s decomunicar a los alumnos los resultados geom tricos, darles a conocer el m todo conayuda del cual se obtienen esos resultados.

3 Sabido es que los resultadosgeom tricos (teoremas) son obtenidos por medio de razonamientos l gicos(demostraciones) arrancando de algunos planteamientos de partida (axiomas). Losrazonamientos l gicos son parte indispensable de todo saber. La Geometr a sedistingue por la claridad y la sencillez tanto en el enunciamiento del resultado comoen los planteamientos de arranque a partir de los cuales debe obtenerse eseresultado. De ah que la Geometr a nos brindo las mejores oportunidades paradesarrollar el pensamiento l gico en la ofrecer el curso presente partimos de que la tarea esencial de la ense anza de laGeometr a en la escuela consiste en ense ar al alumno a razonar l gicamente,argumentar sus afirmaciones y demostrarlas.

4 Muy pocos de los egresados de laescuela ser n matem ticos y mucho menos ge metras. Tambi n habr los que noutilicen ni una vez en su actividad pr ctica el teorema de Pit goras. Sin embargo,dif cilmente hall rase uno s lo que no deba razonar, analizar o experiencia secular de la ense anza de la Geometr a elemental desde los tiemposde Euclides prueba la eficiencia del sistema tradicional. Su perfeccionamiento,relacionado con el desarrollo general de la ciencia, no debe afectar, creemosnosotros, sus bases racionales y profundamente meditadas. Por eso, el curso queofrecemos, tradicional en esencia, se distingue s lo por una exposici n m s rigurosade la materia y cierta revaloraci n del significado de sus partes curso de Geometr a se basa en un sistema muy poco numeroso de hechosgeom tricos bien conocidos del alumno y asimilados en los grados primarios.

5 Estosistema de planteamientos de arranque , llamados m s adelanto axiomas, ha sidoseleccionado del previo an lisis minucioso del curso escolar de Geometr a tomandoen consideraci n los ^elementos de demostraciones exposici n comienza con la repetici n, t pica en la ense anza escolar, de loestudiado anteriormente. Por Jo menos, as ser considerado por el , nuestra meta aut ntica es distinta y m s profunda: introducir losconceptos y planteamientos de arranque fundamentales, es decir, los axiomas. LosGeometr a V. Pogor lov5 Preparado por Patricio Barrosaxiomas est n enunciados en forma de las propiedades fundamentales de lasfiguras geom tricas elementales compuestas de puntos y rectas.

6 Estos axiomas sonsencillos y naturales. Hay casos en que los axiomas son enunciados m sampliamente que exigir a la cuesti n para evitar preguntas y confusiones. Porejemplo, decimos que existen puntos que se hallan en una recta dada y puntos queno se hallan en dicha recta. En realidad, nos bastar a la exigencia de dos puntos enla recta y un punto fuera de la peculiaridad distintiva de nuestra axiom tica son los axiomas de la medici n delos segmentos y los ngulos. Estos axiomas nos brindan ventajas met dicassubstanciales. En primer lugar, eludimos el escollo de introducir la medida para lossegmentos y los ngulos. Sabido es que la soluci n de este problema, dada laconstrucci n axiom tica de la geometr a, no es nada sencilla y requiero el empleode medios inasequibles para el alumno por su profundidad.

7 Segundo, a trav s de losaxiomas de la medici n incorporamos la Aritm tica cursada ya para entonces con locual se ensancha notablemente el arsenal de medios utilizados en la demostraci ngeom , los axiomas de la medici n de los segmentos y los ngulos requierenla definici n correspondiente de los conceptos de la igualdad de los segmentos y los ngulos. Llamamos iguales a los segmentos de longitud id ntica. Por extra o queparezca, la mayor a de las personas consideran los segmentos iguales precisamenteen este caso, aunque la igualdad de los segmentos se define en la escuela a trav sde la superposici n. Por ello, nuestra definici n de la igualdad de los segmentostambi n es natural desde este punto de vista.

8 En nuestra exposici n, lasuperposici n y el movimiento en general son conceptos derivados y s lo losintroducimos a mediados del segundo par grafo se inicia con una definici n tan precisa de los conceptosaxioma, teorema y demostraci n que nos permite dar siempre una respuesta netaal por qu en cada punto de las demostraciones. Por otra parte, tenemos elderecho moral de plantear ese por qu al alumno y de exigirle una respuesta. Elconcepto de la demostraci n es ilustrado con ejemplos sencillos de an el orden tradicional de distribuci n del material. Por eso consagramosGeometr a V. Pogor lov6 Preparado por Patricio Barrosel 3 a los ngulos.

9 En este par grafo las demostraciones de los teoremas sonsencillas y naturales. Se basan en los axiomas de la medici n y de la construcci nde los par grafo siguiente se dedica a la igualdad de los tri ngulos. Su contenido escorriente y las demostraciones sencillas e irreprochables. En t rminos generales, lasdemostraciones empleadas no contienen, en cuanto a la idea, nada nuevo. Son bienconocidas. Sin embargo, gracias a la formulaci n precisa de los planteamientos dearranque, logramos con unas cuantas pinceladas hacer estas demostracionesabsolutamente irreprochables. Estas pinceladas se refieren en la mayor a de loscasos a las propiedades de la posici n rec proca de los puntos en la recta y de losrayos en el haz.

10 Dentro de las matem ticas en general, y de las matem ticasmodernas en particular, la relaci n de orden desempe a tanto papel como larelaci n de equivalencia. Por eso, tambi n desde este punto de vista es convenientedesarrollar este concepto en las figuras geom tricas el 5 y el 6 son tratadas las cuestiones tradicionales: propiedad del nguloexterior del tri ngulo, relaci n entre los lados del tri ngulo y los ngulos opuestos,desigualdad triangular, la perpendicular y la oblicua. Termina cada par grafo connumerosas preguntas de repaso y ejercicios. Las preguntas de repaso comprendenla definici n de los conceptos y la demostraci n de los teoremas as como de loscorolarios que de ellos se desprenden.