Goniometria - Zanichelli

1 GoniometriaSCHEDA DI APPROFONDIMENTOLa Goniometria studia la misurazione degli angolimettendoli in relazione con gli archi secondo un teorema della geometria esiste una pro-porzione diretta tra ampiezza di un angolo e lunghezza delrelativo la parte di piano delimitata da due semirette(lati) aventi la stessa origine (vertice).Gli angoli sono indicati con lettere dell'alfabeto greco minu-scolo ( , , ..) oppure con le lettere dei due lati (ab) oanche con le lettere di due punti sui lati separate dalla letteradel vertice (AOB).In realt due semi-rette con la stessaorigine dividono ilpiano in due parti;quindi con la nota-zione AOB si pu registrareun'ambiguit . Essascompare se usiamola definizione di an-golo angolo si dice orientato quando si sceglie un latocome origine e un senso di rotazione oraria positiva e ovviamente negativa quellaantioraria (vedi Nota bene).Per designare un angolo orientato si indica prima il latoorigine o il punto sul lato origine, in modo da chiarire il versodi rotazione, poi il vertice e l'altro lato (o il punto sull'altrolato).

2 1 Copyright 2014 Zanichelli Editore SpA, Bologna [5753]Questo file una estensione online dei corsi di disegno di Sergio SammaroneUNIT DI MISURA DEGLI ANGOLIR adianteIl radiante l'unit di misura prevista dal Sistema Interna-zionale (SI).Data una circonferenza, il radiante l'ampiezza di un angolosotteso da un arco di lunghezza pari al simbolo del radiante angolo giro viene misurato con il rapporto tra la lunghezzadella circonferenza e il suo raggio R cio Analogamente l'ampiezza dell'angolo piatto rad, mentrequella dell'angolo retto /2 al radiante, nei diversi settori scientifici sono impiegateanche le seguenti unit di sessagesimaleIl grado sessagesimale ampio 1/360 dell'angolo indicato dal simbolo .Quindi con questa unit di misura l'angolo giro ampio360 , l'angolo piatto 180 , l'angolo retto 90 .Sottomultipli del grado sessagesimale sono: il minuto di grado (') equivalente a 1 /60; il secondo di grado ('') equivalente a 1' esempio di designazione in gradi sessagesimale e suoisottomultipli: 55 24' 32''.

3 Grado sessadecimaleIl grado sessadecimale (termine ottenuto dalla fusione disessagesimale e decimale) costituito dal grado sessagesimaleper la parte intera e, separati dalla virgola, da sottomultiplidecimali (decimi, centesimi, millesimi).Un esempio di designazione in gradi sessadecimali: 55,409 .Grado centesimaleIl grado centesimale ha un'ampiezza di 1/100 di angolo retto;i suoi sottomultipli, separati con la virgola dalla parte intera,sono espressi in decimi, centesimi e del grado centesimale questa unit un angolo giro ampio 400 gon, mentrel'angolo piatto 200 esempio di designazione in gradi centesimali: 61, beneIn questa unit vengono presentati i concetti di Goniometria e trigonometria indispensabili per affrontare lo studio dellatopografia. Per tale ragione anche le convenzioni adottate saranno funzionali agli impieghi BAOBAO+BAO+Angolo designato come AOBA ngolo designato come BOABAOBAOGli angoli orientati possono avere ampiezzemaggiori di un angolo giro; per esempio nellafigura a fianco l'angolo ab pu essere conside-rato il frutto di due rotazioni complete pi unangolo e trigonometriarad = 2 rad = 6,28 rad2 RRnota beneIn ambito topografico si adotta la convenzione del verso orario comeverso positivo; invece in matematica viene assunto come positivo ilverso due convenzioni hanno origini storiche ormai lontane.

4 In topografia sullaconvenzione oraria basato il funzionamento di strumenti di il diverso orientamento influisce solo sulla definizione dellefunzioni goniometriche ma non sui loro valori o sulle altre DI APPROFONDIMENTOG oniometria e trigonometria2 Copyright 2014 Zanichelli Editore SpA, Bologna [5753]Questo file una estensione online dei corsi di disegno di Sergio SammaroneUnit RadianteGrado sessagesimaleGrado sessadecimaleGrado centesimaleAngologiro2 rad360 360 400 gonAngolopiatto rad180 180 200 gonAngoloretto /2 rad 90 90 100 gonSottomultiplimrad = 1/103 rad rad = 1/106 rad1 = 1/60 1 = 1/60 = 1/3600 0,1 = 1/10 0,01 = 1/100 cgon = 1/100 gonIndicazione5,1989 rad297 52 30 297,87503 330,9722 gonCONVERSIONE TRA DIVERSE UNIT DI MISURA DEGLI ANGOLID alle definizione delle diverse unit di misura si ricavano leseguenti proporzioni: : 180 = rad : : 90 = gon : 100 gon : 200 = rad : Tramite queste proporzioni si possono convertire le misureda un'unit all' di eseguire conversioni dei gradi sessagesimali sempre utile convertirli prima in gradi sessadecimali; a talescopo si convertono in gradi i primi e i secondi con le formuleriportate in grado sessagesimale al grado sessadecimaleGrado sessadecimale1' = 1/60 1'' = 1/3600 36 6' 18'' = 36 + 6/60 + 18/3600 = 36 + 0,1 + 0,005 = 36,105 FormuleEsempioDal radiante al grado sessadecimale e al centesimaleGrado sessadecimale rad.

5 180/ = /3 rad convertito ingradi sessadecimali /3 rad . 180/ = 60 Centesimale rad . 200/ = gon /3 rad convertito ingradi centesimali /3 rad . 200/ = 66,66 gonFormuleEsempioDal grado sessadecimale al centesimale e al radianteGrado centesimale . 10/9 = gon45 convertito in gradicentesimali 45 . 10/9 = /50 gonRadiante . /180 = rad45 convertito inradianti 45 . /180 = /4 radFormuleEsempioDal grado centesimale al sessadecimale e al radianteGrado sessadecimale gon . 9/10 = 300 gon convertito ingradi sessadecimali 300 gon . 9/10 = 270 Radiante gon . /200 = rad300 gon convertito inradianti 300 gon . /200 = 3/2 rad1530456075901051201351501651801952102 2524025527028530031533034536016,6633,335 0,0066,6683,33100,00116,66133,33150,0016 6,66183,33200,00216,66233,33250,00266,66 283,33300,00316,66333,33350,00366,66383, 33400,00 /12 /6 /4 /35 /12 /27 /122 /33 /45 /611 /12 13 /127 /65 /44 /317 /123 /219 /125 /37 /411 /623 /122 Confronto tra i valori di alcuni angoli nelle diverse unit GradosessadecimaleGradocentesimaleRadian teSCHEDA DI APPROFONDIMENTOG oniometria e trigonometria3 Copyright 2014 Zanichelli Editore SpA, Bologna [5753]Questo file una estensione online dei corsi di disegno di Sergio SammaroneFunzioni goniometricheCIRCONFERENZA GONIOMETRICALa circonferenza goniometrica una circonferenza diraggio unitario (R = 1) con centro nell'origine degli assicartesiani x e 'asse y l'origine degliangoli orientati, il cuiverso positivo quelloorario.

6 Il punto A sull'assey origine degli ogni arco della circon-ferenza associato unangolo e viceversa (corri-spondenza biunivoca); infigura ad corrispondeAB. quindi indifferenteparlare di angoli oppuredi archi precise relazioni agli angoli sono associati altri elementi:le funzioni = 1B OFUNZIONI SENO E COSENOA un angolo associatol'arco AB e quindi il puntoB, le cui coordinate hannocome valori le lunghezzedei segmenti BC e OC;dunque queste due lun-ghezze sono funzionedell'angolo .Si chiama seno ilrapporto tra BC e coseno il rapportotra OC e funzione seno dell'angolo indicata con sen , mentrecos indica il nella circonferenza goniometrica ha valore 1 e quindi lefunzioni seno e coseno hanno valore rispettivamente pari aBC e OC, cio le coordinate cartesiane del punto B, ovvero:sen = BC = BC = XBOB1cos = OC = OC = YBOB1nota beneLe definizioni di seno e coseno sono legate alla convenzione dell'angoloorientato (verso orario positivo) e all'assunzione dell'asse y come sono assunte convenzioni opposte (in ambito matematico) ledefinizioni delle funzioni sono comunque non influisce sui loro valori e sulle funzioni goniometriche, essendo rapporti tra grandezzeomogenee (lunghezze di segmenti)

7 , sono numeri infine che il triangolo OBC un triangolo rettangolo,sulla base del teorema di Pitagora si ottiene cheBC2 + OC2 = OB2 = 12 = 1da cui si ricava la prima relazione fondamentale della goniometriasen2 + cos2 = 1 AyxR = 1B OCVolendo rappresentare graficamente le variazioni delle fun-zioni seno e coseno, su una coppia di assi cartesiani si possonoriportare sull'asse x i valori degli angoli e sull'asse y i valoridella funzione curva che rappresenta la funzione seno ha una formaspecifica chiamata sinusoide, mentre detta cosinusoidequella del 30 45 60 90 180 270 360 01/22/23/210 10 Coseno13/22/21/20 101 Dalle precedenti osserva-zioni e mediante relazio-ni geometriche si posso-no facilmente calcolarei valori delle funzioni se-no e coseno di angoliparticolarmente impor-tanti, detti angoli notevoli(v. tabella a fianco).yxAO CBVARIAZIONE DELLE FUNZIONI SENO E COSENOS tudiando le variazioni di seno e coseno al variare dell'angolo , si pu notare che.

8 YxOA B Cquando = 0 (0 gon) si verificache A B C equindisen 0 = BC = 0cos 0 = OC = 1quando = 90 (100 gon) si veri-fica che O C equindisen 90 = BC = 1cos 90 = OC = 0quando = 180 (200 gon) si veri-fica che B C equindisen 180 = BC = 0cos 180 = OC = 1quando = 270 (300 gon) si veri-fica che O C equindisen 270 = BC = 1cos 270 = OC = 0quando = 360 (400 gon) si ripe-tono i valori di 0 e quindisen 360 = BC = 0cos 360 = OC = 1per > 360 si ri-petono periodica-mente gli stessivalori precedenti,sempre compresitra 1 e CyxAO CB0 90 180 270 360 1 1 CosinusoideOxy0 90 180 270 360 1 1 SinusoideOxySCHEDA DI APPROFONDIMENTOG oniometria e trigonometria4 Copyright 2014 Zanichelli Editore SpA, Bologna [5753]Questo file una estensione online dei corsi di disegno di Sergio SammaroneFUNZIONI TANGENTE E COTANGENTEIn una circonferenza go-niometrica si traccia latangente geometrica peril punto A, origine degliarchi e degli angoli, e sitrova T, intersezione conla prosecuzione del raggioOB.

9 Il segmento AT funzione dell'angolo ;questa funzione goni-metrica prende il nomedi chiama tangente di un angolo l'ascissa del puntod'intersezione tra la tangente geometrica alla circonfe-renza goniometrica nel punto di origine degli angoli eil lato terminale dell'angolo = 1B OCTLa tangente di un angolo viene indicata con tg .Osservando la figura si pu notare che i triangoli OCB e OATsono simili, pertanto tra i loro lati sussiste la proporzioneAT : CB = OA : OCSostituendo in essa le funzioni goniometriche gi note si hatg : sen = 1 : cos e quinditg = sen che la seconda relazione fondamentale della Se nella precedente figuraaggiungiamo la tangentegeometrica per il puntoD (estremo del primoquadrante), possiamoindividuare il punto E suOT (lato terminaledell'angolo ).Il segmento DE an-ch'esso funzione di , ed chiamato cotangente di un angolo l'ordinata del puntod'intersezione tra la tangente geometrica alla circonfe-renza goniometrica nell'estremo del primo quadrante eil lato terminale dell'angolo cotangente di un angolo viene indicata con cotg.

10 Osservando la figura si pu notare che i triangoli ODE e OATsono simili, pertanto tra i loro lati sussiste la proporzione:DE : OA = OD : OTSostituendo in essa le funzioni goniometriche gi note, si hamemoNella circonferenza goniometrica gli assi carte-siani dividono il piano in quattro quadranti,indicati come in figura a 3 1 4 AB TEyxR = 1 ODnota beneAnche le definizioni di tangente e cotangente sono legate alla convenzionedell'angolo orientato (verso orario positivo) e all'assunzione dell'asse y sono assunte convenzioni opposte (in ambito matematico) ledefinizioni delle funzioni sono invertite, senza che ci influisca sui lorovalori e sulle = tg cos cotg = sen da cuiVARIAZIONE DELLE FUNZIONI TANGENTE E COTANGENTES tudiando le variazioni di tangente e cotangente al variaredell'angolo , si pu notare che:Volendo rappresentare graficamente le variazioni delle fun-zioni tangente e cotangente, su una coppia di assi cartesianisi possono riportare sull'asse x i valori degli angoli e sull'assey i valori della funzione curva che rappresenta la funzione tangente chiamatatangentoide, mentre detta cotangentoide quella della precedenti osserva-zioni e mediante relazio-ni con le funzioni senoe coseno, calcolare i va-lori delle funzioni tan-gente e cotangente di an-goli notevoli (v.)