Introducci¶on a la Probabilidad - UV

1 introducci on a la ProbabilidadFrancisco Montes SuayDepartament d Estad stica i Investigaci o OperativaUniversitat de Val`enciaCopyrightc 2007 de Francisco MontesEste material puede distribuirse como el usuario desee sujeto a las siguientes debe alterarse y debe por tanto constar su est a permitido el uso total o parcial del documento como parte de otro distribuidocon fines d Estad stica i Investigaci o OperativaUniversitat de Val`encia46100-BurjassotSpain Indice general1. Espacio de Causalidad y aleatoriedad.

2 Experimento, resultado, espacio muestral y suceso .. Sucesos, conjuntos y - algebra de sucesos .. Probabilidad .. Propiedades de la Probabilidad .. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes .. Teorema de factorizaci on .. Teorema de la Probabilidad total .. Teorema de Bayes .. El teorema de Bayes en t erminos de apuestas (odds): el valor de la evidencia Independencia .. Independencia de clases de sucesos .. Probabilidades geom etricas .. La paradoja de Bertrand.

3 152. Variables y vectores introducci on .. Variable aleatoria .. Probabilidad inducida .. Funci on de distribuci on de Probabilidad .. Variable aleatoria discreta. Funci on de cuant a .. Algunos ejemplos de variables aleatorias discretas .. Variable aleatoria continua. Funci on de densidad de Probabilidad .. Algunos ejemplos de variables aleatorias continuas .. Vector aleatorio .. Probabilidad inducida .. Funciones de distribuci on conjunta y marginales .. Vector aleatorio discreto.

4 Funci on de cuant a conjunta .. Algunos ejemplos de vectores aleatorios discretos .. Vector aleatorio continuo. Funci on de densidad de Probabilidad conjunta . Algunos ejemplos de vectores aleatorios continuos .. Independencia de variables aleatorias .. La aguja de Buffon .. Distribuciones condicionadas .. Caso discreto .. Caso continuo .. Funci on de una o varias variables aleatorias .. 562 INDICE Caso univariante .. Caso multivariante .. 603. introducci on .. Esperanza de una variable aleatoria.

5 Momentos de una variable aleatoria .. Desigualdades .. Momentos de algunas variables aleatorias conocidas .. Esperanza de un vector aleatorio .. Momentos de un vector aleatorio .. Desigualdades .. Covarianza en algunos vectores aleatorios conocidos .. La distribuci on Normal multivariante .. Muestra aleatoria: media y varianza muestrales .. Esperanza condicionada .. El principio de los m nimos cuadrados .. 934. Convergencia de sucesiones de variables introducci on .. Tipos de convergencia.

6 Leyes de los Grandes N umeros .. Aplicaciones de la ley de los grandes n umeros .. Funci on caracter stica .. Funci on caracter stica e independencia .. Funciones caracter sticas de algunas distribuciones conocidas .. Teorema de inversi on. Unicidad .. Teorema de continuidad de L evy .. Teorema Central de L mite .. Una curiosa aplicaci on del TCL: estimaci on del valor de .. 1155. Simulaci on de variables introducci on .. Generaci on de n umeros aleatorios .. T ecnicas generales de simulaci on de variables aleatorias.

7 M etodo de la transformaci on inversa .. M etodo de aceptaci on-rechazo .. Simulaci on de variables aleatorias discretas .. 123 Cap tulo 1 Espacio de Causalidad y aleatoriedadA cualquiera que preguntemos cuanto tiempo tardar amos en recorrer los 350 kil ometros queseparan Valencia de Barcelona, si nos desplazamos con velocidad constante de 100 kms/hora,nos contestar a sin dudar que 3 horas y media. Su actitud ser a muy distinta si, previamente a sulanzamiento, le preguntamos por la cara que nos mostrar a un dado.

8 Se trata de dos fen omenosde naturaleza bien distinta,el primeropertenece a los que podemos denominardeterministas, aquellos en los quela relaci on causa-efecto aparece perfectamente determinada. En nuestro caso concreto, laconocida ecuaci one=v t, describe dicha relaci on,el segundopertenece a la categor a de los que denominamosaleatorios, que se caracte-rizan porque aun repitiendo en las mismas condiciones el experimento que lo produce, elresultado variar a de una repetici on a otra dentro de un conjunto de posibles Teor a de la Probabilidad pretende emular el trabajo que los f sicos y, en general, los cient fi-cos experimentales han llevado a cabo.

9 Para entender esta afirmaci on observemos que la ecuaci onanterior,e=v t, es un resultado experimental que debemos ver comoun modelo matem ati-coque, haciendo abstracci on del m ovil concreto y del medio en el que se desplaza, describela relaci on existente entre el espacio, el tiempo y la velocidad. La Teor a de la Probabilidadnos permitir a la obtenci on demodelos aleatorios o estoc asticosmediante los cuales podremosconocer, en t erminos de Probabilidad , el comportamiento de los fen omenos Experimento, resultado, espacio muestral y sucesoNuestro interlocutor s que ser a capaz de responder que el dado mostrar a una de sus caras.

10 Aligual que sabemos que la extracci on al azar de una carta de una baraja espa nola pertenecer a auno de los cuatro palos: oros, copas, espadas o bastos. Es decir, elexperimentoasociado a nuestrofen omeno aleatorio1da lugar a unresultado, , de entre un conjunto de posibles conjunto de posibles resultados recibe el nombre deespacio muestral, . Subconjuntos deresultados con una caracter stica com un reciben el nombre desucesos aleatorioso, simplemente,1 Una peque na disquisici on surge en este punto. La aleatoriedad puede ser inherente al fen omeno, lanzar undado, o venir inducida por el experimento, extracci on al azar de una carta.