Introduction au Calcul des Probabilit´es

1 Universit e des Sciences et Technologies de de Math ematiques Pures et Appliqu eesB at. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq CedexIntroduction auCalcul des Probabilit esProbabilit es `a Bac+2 et plus si affinit es..Charles SUQUETDEUG MIAS 2 et MASS 22002 2003 Table des mati`eres1 Espaces Probabilis Introduction .. Ev enements.. La probabilit e comme fonction d ensembles.. Exemples.. Remarques sur le choix d un mod`ele.. Exercices..182 Conditionnement et ind Probabilit es conditionnelles.. Introduction .. Propri et es.. Quelques exemples.. Ind ependance.. Ind ependance de deux ev enements.. Ind ependance mutuelle.. Epreuves r ep et ees.. Exercices..393 Variables al eatoires discr` Introduction .

2 G en eralit es.. Variable al eatoire discr`ete.. Loi d une variable al eatoire discr`ete.. Fonction de r epartition.. Lois discr`etes classiques.. Lois de Bernoulli.. Loi uniforme sur un ensemble fini de r eels.. Lois binomiales.. Lois hyperg eom etriques.. Lois g eom etriques.. Lois de Poisson.. Sur le caract`ere universel de la loi de Poisson.. Exercices..654 Vecteurs al eatoires Introduction .. Vecteurs al eatoires.. Variables al eatoires ind ependantes.. Exercices..815 Moments des v. a. discr` Esp erance.. Moments d ordrer.. Variance.. Covariance.. Exercices..1076 Loi des grands Deux modes de convergence.. Loi faible des grands nombres.. Estimation d une proportion inconnue.

3 Convergence presque s ure des fr equences.. Discussion.. Exercices..1337 Approximation La courbe en cloche.. Etude graphique.. Le th eor`eme de De Moivre-Laplace.. Preuve du th eor`eme de De Moivre-Laplace.. Evaluation asymptotique deb(k, n, p).. Sommes de Riemann.. Vitesse de convergence.. Exercices..1628 Variables al eatoires r Sortie du cadre discret.. Notion de variable al eatoire r eelle.. Variables `a densit e.. Densit e.. Moments des variables `a densit e.. Lois `a densit e classiques.. Lois uniformes.. Lois exponentielles.. Lois gaussiennes.. Exercices..187iiA Ensembles et d G en eralit es.. Ensembles finis..193iiiivIntroductionIssu du cours de Probabilit es en DEUG MASS et MIAS, ce documents adresse `a un public vari e.

4 Les etudiants de DEUG pourront y trouver uner edaction d etaill ee de toutes les questions abord ees en cours. Quelques d eve-loppements vont au-del`a du strict programme et sont susceptibles d int eresserdes lecteurs curieux ou plus avanc es. Les outils math ematiques utilis es restentn eanmoins strictement dans le cadre du premier tome1est consacr e `a ce que l on appelle lesprobabilit es dis-cr`etes. Par rapport aux rudiments de Calcul des probabilit es enseign es au lyc ee,l innovation est la prise en compte de l infini. Cette notion s introduit tr`es na-turellement en Calcul des probabilit es, par exemple d`es qu il s agit de mod eliserdes temps d attente. On ne peut pas etudier avec un espace de cardinal finiune exp erience al eatoire aussi simple que : on lance un d e jusqu `a la premi`ereobtention d un six.

5 Nous nous posons donc la question de la d efinition et del etude des probabilit es sur desunivers infinis. Il est possible au niveau duDEUG de faire une th eorie assez rigoureuse si l on veut bien faire l impasse surles probl`emes de construction (ou d existence) de tels espaces probabilis es infiniscapables de mod eliser correctement les exp eriences al eatoires envisag principal outil math ematique utilis e est celui dess eries. Il permet une etude classique assez compl`ete des variables al eatoires discr`etes. Cette etuded ebouche sur deux grands th eor`emes de convergence de la th eorie des proba-bilit es : la loi des grands nombres et la convergence vers une loi gaussiennequi sont discut es dans des cas simples dans les deux derniers chapitres.

6 Nousavons choisi de donner autant que possible des d emonstrations de ces th eor`emesdans ces cas particuliers. Ces d emonstrations sont instructives en elles-m emeset peuvent etre consid er ees comme une Introduction au cours de Licence. Uneautre particularit e de ce document est la discussion sur les questions de vitessede convergence `a propos des approximations (par une loi de Poisson ou parune loi de Gauss). Trop souvent on trouve `a ce sujet dans la litt erature desrecettes qui, donn ees sans justification, ressemblent plus `a de la cuisine2qu `ades math chapitre contient une section d exercices qui suit autant que possible1Y en aura-t-il un deuxi`eme ?2Il y a souvent de bonnes raisons cach ees derri`ere une recette qui peut para tre arbitraire.

7 Vl ordre d exposition du cours3. Certains sont des applications directes du coursou des sujets d examen ou de , d autres des approfondissements. Leur niveaude difficult e n a volontairement pas et e indiqu e a priori. De m eme, on ne trouverapas dans cette Introduction de plan de lecture d etaill e pour chaque DEUG. Detelles indications pourront etre donn ees en cours ou en TD, mais je n ai passouhait e cloisonner a priori une curiosit e qui, pour un scientifique, est tout lecontraire d un vilain d efaut..Je remercie tous les coll`egues qui m ont aid e directement ou indirectement`a r ediger ce polycopi e et plus particuli`erement MauriceChamontin, SylvieRoellyet Marie-ClaudeVianoavec qui j ai fait equipe en DEUG MASS etMIAS.

8 Il va de soi qu ils ne portent aucune responsabilit e pour les quelquesd ebordements auxquels j ai pu me laisser aller ni pour les quelques fautes4quel on ne manquera pas de trouver dans cette premi`ere edition5(septembre 1996).Comme pr evu ci-dessus, le deuxi`eme tome n a toujours pas et e ecrit et uncertain nombre d erreurs ont et e d etect ees dans la premi`ere edition et corrig eesdans la deuxi`eme6(septembre 1997). Je remercie tous ceux qui m en ont si-gnal e et plus particuli`erement les etudiants de l amphith e atre de DEUG MASS96 97 pour leur vigilance. Merci egalement `a MichelLifshitspour ses pr eci-sions sur l historique du th eor`eme de De Moivre-Laplace, `a YouriDavydovetMyriamFradonpour d utiles discussions ainsi qu `a tous les charg es de TD deprobabilit es en DEUG MIAS pour leur participation but not least,merci `a DanielFlipoqui avec patience et disponibilit e m a fait b en eficier deses comp etences d expert dans le traitement de texte scientifique LATEX 2.

9 Les troisi`eme et quatri`eme editions de ce polycopi e (septembre 1998 et 1999),ont b en efici e des amendements et corrections sugg er es par MyriamFradon,JeanneDevolderet AnnePhilippe. C est pour moi un plaisir de les enremercier cinqui`eme edition (septembre 2000) de ce polycopi e s est enrichie (alour-die ?) d un chapitre sur les variables al eatoires r eelles qui s est substitu e `a lapromesse electorale d un deuxi`eme tome. Le titre a chang e en cons sixi`eme edition (septembre 2001) comprend quelques exercices suppl e-mentaires. La septi`eme est inchang ee, sauf la correction d un quarantaine (sic)de fautes de frappe ou d orthographe. La plupart m ont et e signal ees par DenisBitouz ede l Universit e du Littoral que je remercie pour sa lecture document est disponible sur Internet, au format PDF, `a l adresse suivantehttp d Ascq, septembre exercices ne se substituent pas aux s eances de TD et `a leurs fiches d exercices mieuxadapt ees `a chacun des publics concern le nombre suit une loi de anticip es `a tout lecteur qui m aidera `a r eduire le param`etre de ladite loipour la prochaine ne pr etend pas en etre exempte.

10 Voir une mod 1 Espaces Probabilis IntroductionLa th eorie des probabilit es fournit des mod`eles math ematiques permettantl etude d exp eriences dont le r esultat ne peut etre pr evu avec une totale certi-tude. En voici quelques exemples :Exp erienceR esultat observableLancer d un d eUn entierk {1, .. ,6}Pr el`evement denobjets en sortieNombre d objets d efectueuxd une cha ne de productiondans l echantillonQuestionnaire `a 100 questionsSuite de 100 r eponsesbinaires {oui,non}100 Lancer d une pi`ece jusqu `a laUn entierk N: le tempspremi`ere obtention de piled attente du premier succ`esMise en service d une ampouleDur ee de vieT RLancer d une fl echette sur une ciblePoint d impactMouvement d un grain de pollenUne fonction continue.