Ioane Muni Toke Draft Version du 11 janvier 2011

1 Mod`eles stochastiques de taux d int er etsIoane Muni TokeDraftVersion du 11 janvier 2011 Ecole Centrale ParisOption Math ematiques Appliqu ees2 Table des mati`eres1 Concepts Taux de base spot .. D efinitions et notations des taux de base .. Conventions .. Taux spot de r ef erence dans la zone euro .. Structure par terme .. Taux `a terme (forward) .. Taux swap .. D efinition du contrat swap .. D efinition du taux swap .. Lien avec les taux forward simples .. Produits d eriv es simples .. Caps et floors .. Swaptions .. Evaluation par arbitrage dans un mod` ele de taux .. 152 Mod`eles de taux Le mod` ele de Vasicek .. D efinition du mod`ele et distribution du taux court .. Prix des obligations z ero-coupon .. Limites du mod` ele de Vasicek .. Le mod` ele de Cox-Ingersoll-Ross (CIR).

2 D efinition du mod`ele et distribution du taux court .. Prix des obligations z eros-coupon .. Prix d une option sur z ero-coupon .. Le mod` ele de Hull et White (ou Vasicek etendu) .. Prix d une option sur z ero-coupon .. Une remarque sur les mod`eles affines .. 283 Ecole Centrale ParisOption Math ematiques Appliqu ees3 Les mod`eles Quelques observations empiriques .. Les mod`eles taux longs - taux courts invalid es .. Un mod`ele gaussien `a deux facteurs .. 314 Le cadre Heath-Jarrow-Morton(HJM) D efinition du cadre .. Condition d absence d opportunit es d arbitrage .. Caract`ere markovien d un cadre HJM .. Lien avec les mod`eles affines .. Sp ecifications usuelles de volatilit e .. Volatilit e de type Ho & Lee .. Volatilit e de type Vasicek / Hull & White.

3 Evaluation d un caplet .. 405 Les mod`eles de march e La formule de Black .. Mod`eles de march e Libor .. D efinitions .. Volatilit e Libor, volatilit e z ero-coupon .. Evaluation des caplets .. Sp ecification des volatilit es Libor .. Dynamique des taux Libor forward sous une m ememesure .. La mesure spot Libor .. Le mod` ele de march e Swap .. 50A Formule de Feynman-Kac53B Changement de num eraire55C Sujet de Travaux Pratiques : Mod` ele de Hull & Construction de l arbre trinomial .. Calibration .. Questions .. 604 IntroductionCe document rassemble de br`eves notes de cours. Ces notes ne formentni un document d introduction `a la mod elisation math ematique destauxd int er et, ni un ouvrage de r ef erence sur les mod`eles stochastiques de ne sont qu un support `a l expos e de ces mod`eles en notes de cours sont egalement tr`es avares en informationspratiquessur les march es de taux.

4 Ces aspects seront abord es dans desconf erencesd edi ees, donn ees par des professionnels invit es `a l issue de ce cours th suppose le lecteur familier avec les notions de base sur les processusstochastiques et le calcul d It o, ainsi qu avec la th eorie de l evaluation pararbitrage et les mod`eles financiers classiques comme le mod` ele de Black &Scholes. Citons parmi les manuels de r ef erence sur ces sujets les ouvrages deLamberton & Lapeyre (1998) ou Shreve (2004). Des r ef erences plus g en eralessur le calcul stochastique, comme Karatzas & Shreve (2000) ou Oksendal(2003), sont parfois donn ees au fil du d eroulement de l expos e est tr`es classique. On commence pard ecriresimplement les produits de taux echang es sur les march es. L expos e desgrands types de mod elisation est ensuite (quasi-) d ebuteavec les mod`eles mono-factoriels, puis ayant expos e leurs avantages pra-tiques et leurs d efauts conceptuels, on d ecrit rapidement les mod`eles multi-factoriels d eriv es.

5 Un chapitre entier est ensuite consacr e aucadre HJM,dont le principe de mod elisation diff`ere assez nettement de celui des mod`elespr ec edents. Finalement, la derni`ere partie est consacr ee aux mod`eles de mar-ch es Libor les plus r pr esent expos e n est ainsi en rien original. Il s inspire tr`es largement deBrigo & Mercurio (2005), dont il suit de nombreux d eveloppements, et cetter ef erence n est certainement pas cit ee aussi souvent qu elle devrait l etre. Onne peut qu encourager le lecteur `a s y reporter pour approfondirce qui n estque survol e ici. D autres ouvrages de r ef erences sont donn es en Centrale ParisOption Math ematiques Appliqu ees6 chapitre 1 Concepts Taux de base spot D efinitions et notations des taux de baseL outil de base d un mod` ele de taux est l obligation z ero-coupon, produitfinancier versant 1 euro `a la maturit eT.

6 On noteraP(t,T) son prix `a la datet [0,T]. A partir de ce prix de l obligation z ero-coupon on peut d efinirplusieurs types de taux :D efinition appelle taux d int er et instantan e contin ument compos ela quantit eR(t,T) d efinie parR(t,T) = lnP(t,T)T t.( )R(t,T) est parfois dit taux z ero-coupon : c est le taux continu constantsur la p eriode [t,T] tel queP(t,T) =e R(t,T)(T t).( )D efinition appelle taux d int er et simplement compos e la quantit eL(t,T) d efinie parL(t,T) =1 P(t,T)P(t,T)(T t).( )L(t,T) le taux simple constant tel queP(t,T) =11 +L(t,T)(T t).( )Les taux interbancaires de type Euribor et Libor sont d efinis de la sorte. Parabus de langage, on appellera souvent dans la suite taux Libor n importequel taux de composition Centrale ParisOption Math ematiques Appliqu eesD efinition appelle taux d int er et compos e annuellement la quantit eY(t,T) d efinie parY(t,T) =1P(t,T)1/(T t) 1.

7 ( )Y(t,T) est aussi appel e taux actuariel et v erifieP(t,T) =1(1 +Y(t,T))(T t).( )D efinition appelle taux court (ou taux instantan e) la limite de tousces taux lorsqueTtend verst. On la noter(t). ConventionsLes d efinitions pr ec edentes montrent que le temps restant `amaturit eT test une grandeur essentielle pour la mod elisation de taux d int er erentes conventions sont utilis ees sur les march es de taux afin que tous lesintervenants mesurent cette quantit e de la m eme mani`ere. Les conventionsles plus courantes sont les suivantes : Actuel/365: une ann ee compte 365 jours, Actuel/360: une ann ee compte 360 jours, 30/360: une ann ee compte 360 jours et un mois 30 plus de d etails voir Brigo & Mercurio (2005, Definitions ). Taux spot de r ef erence dans la zone euroDeux taux de r ef erence sont publi es quotidiennement dans la zone sont des taux interbancaires calcul es `a partir de taux effectivement pra-tiqu es par un panel de grandes banques europ premier taux de r ef erence est baptis e EONIA pour Euro OverNightIndex Average.

8 C est une moyenne pond er ee des taux de toutes les transac-tions de pr et jusqu au lendemain ouvr e, initi ees au sein de la zoneeuro parles banques du panel. La convention de l EONIA est Actuel/360 et ilestcalcul e `a 3 d ecimales. Le taux est publi e chaque soir entre 18h45 et 19h00(CET) ,consult e au 22 novembre Muni TokeMod`eles stochastiques de taux d int er ets1 % %2 % %3 % %4 % %5 % %6 % Historique du taux de r ef erence Euribor 1 an. Source desdonn ees : 14 d ecembre second taux de r ef erence est baptis e Euribor, pour EuroInterbankOffered Rate . Le taux Euribor est publi e pour les trois maturit es hebdo-madaires de une semaine `a trois semaines, et les douze maturit es mensuellesde un mois `a un an. Pour le calcul des taux Euribor, on regroupe pour chaquematurit e les cotations propos ees sur le march e interbancaire par les banquesdu panel, et on retire des ces donn ees les 15% des taux les plus hauts etles 15% les plus bas.

9 Le taux publi e est la moyenne `a trois d ecimalesdel echantillon final. Les taux Euribor sont publi es chaque matin `a 11 heures(CET) figure pr esente l historique du cours de l Euribor 1 an, de la cr eationdu taux de r ef erence au 14 d ecembre Structure par termeOn appellecourbe des tauxoustructure par terme des tauxla fonctionassociant `a une maturit eTun tauxR,LouY. De telles courbes sont con-struites `a partir des prix d obligations observ es sur les march es etudi courbe de r ef erence est la courbe dite z ero-coupon . Les z , con-sult e le 22 novembre Centrale ParisOption Math ematiques Appliqu Courbes de taux z ero-coupon des obligations d Etat danoisespour l ann ee 1998. Tir e de Danish Government Borrowing and Debt 1998 ,Danmarks National Bank, 1999. etant des instruments th eoriques (ou tr`es peu liquides s ils existent), on re-construit cette courbe `a partir des obligations r eelles (couponn ees) echang eessur les march es.

10 Les probl ematiques essentiellement rencontr ees lors de cettereconstruction sont le stripping des obligations ( le calcul th eorique duz ero-coupon `a partir d une obligation couponn ee) et le lissage dela courbeobtenue (utilisation fr equente de splines). Un exemple pratique derecon-struction se trouve dans l ouvrage de Martellini & Priaulet (2000, Chapitre6, sections 1 et 2).La figure reproduit `a titre d illustration les courbes de taux z ero-coupon obtenues pour diff erentes journ ees de 1998 `a partir des obligations del Etat danois. On note la vari et e des formes observ ees (concavit e/convexit e). Taux `a terme (forward)On appelleforward rate agreement(FRA), de nominalN, d expirationTet de maturit eS, un contrat qui donne `a son souscripteur un versement `a ladateSau taux fixe (simplement compos e)Kpour la p eriode [T,S] contrele paiement `a cette m eme dateSd un taux variableL(T,S) fix e enTpourcette m eme p eriode [T,S].