MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA) - …

1 MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA) Universit d Orl ans Site Value-at-Risk Sous la Direction de Christophe Hurlin Ann e Universitaire 2006-2007 MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e (ESA) Universit d Orl ans Facult de Droit, d Economie et de Gestion Bureau A 224 Rue de Blois BP 6739 45067 Orl ans Cedex 2 Site Value-at-Risk. MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e 1 MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e Universit d Orl ans Site Value-at-Risk Fiche 1. D finition de la Value-at-Risk La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour la premi re fois dans le secteur de l'assurance. A la fin des ann es 1980, la banque Bankers Trust fut l une des premi res institutions utiliser cette notion sur les march s financiers aux Etats-Unis, mais c est principalement la banque JP Morgan qui dans les ann es 90 a popularis e ce concept notamment gr ce son syst me RiskMetrics (pour un historique complet de la notion de Value-at-Risk et de sa diffusion se reporter au livre de Dowd, 2005).

2 La Value-at-Risk est ensuite devenue, en moins d une dizaine d ann es, une mesure de r f rence du risque sur les march s financiers, consacr e notamment par la r glementation prudentielle d finie dans le cadre des accords de B le II. De fa on g n rale, la Value-at-Risk est d finie comme la perte maximale potentielle qui ne devrait tre atteinte qu'avec une probabilit donn e sur un horizon temporel donn (Engle et Manganelli, 2001). La Value at Risk est donc la pire perte attendue sur un horizon de temps donn pour un niveau de confiance donn . Cette d finition tr s simple constitue l un des principaux attraits de la Value-at-Risk : il est en effet tr s facile de communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure homog ne et g n rale (quelque soit la nature de l actif, la composition du portefeuille etc.)

3 De l exposition au risque. Ainsi, la Value-at-Risk n est rien d autre qu un fractile de la distribution de perte et profit associ e la d tention d un actif ou d un portefeuille d actifs sur une p riode donn e. La mesure de Value-at-Risk ne fait que refl ter l information contenue dans la queue gauche (associ e aux pertes) de la distribution des rendements d un actif. Si l on consid re un taux de couverture de % (ou de fa on quivalente un niveau de confiance de 1- %) la Value-at-Risk correspond Site Value-at-Risk. MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e 2tout simplement au fractile de niveau % de la distribution de perte et profit valable sur la p riode de d tention de l actif : ()()1 VaRF = o ().F d signe la fonction de r partition associ e la distribution de perte et profit. De cette d finition g n rale d coulent plusieurs d finitions techniques tout aussi simples.

4 1. D finitions Ainsi, la Value-at-Risk d pend de trois l ments : (i) la distribution des pertes et profits du portefeuille valable pour la p riode de d tention (ii) le niveau de confiance (ou de fa on quivalente le taux de couverture gal un moins le niveau de confiance) et (iii) la p riode de d tention de l actif. Taux de couverture et Niveau de Confiance Le niveau de confiance choisi est un param tre compris entre 0 et 1 (95% ou 99% en g n ral) qui permet de contr ler la probabilit que l on obtienne un rendement sup rieur ou gale la Value-at-Risk. Supposons que la distribution des pertes et profits associ e la d tention d un actif sur une p riode corresponde une distribution normale standard. Sur la Figure 1 est reproduite cette distribution de perte et profit suppos e normale : sur la partie gauche de l axe des abscisses figurent les rendements n gatifs (pertes) tandis qu droite figure les rendements positifs (profits).

5 Dans ce cas, la Value-at-Risk d finie pour un niveau de confiance de 95% (5% =) est gale tout simplement Dit autrement, dans cet exemple il y a 95% de chances que le rendement de l actif, not r, soit au moins gal sur la p riode de d tention. ()[] <=< = De la m me fa on, la Value-at-Risk d finie pour un niveau de confiance de 99% (1% =) est gale Site Value-at-Risk. MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e 3 Ainsi, la Value-at-Risk correspond g n ralement une perte (valeur n gative). Toutefois, on trouve souvent une Value-at-Risk d finie non pas partir de la distribution de perte (-) et profit (+), mais partir au contraire d une distribution de profit(-) et perte(+). Dit autrement, une telle d finition revient omettre le signe moins devant la perte et donc afficher une Value-at-Risk positive. Dans ce cas, la d finition de la Value-at-Risk correspond l oppos du fractile de la distribution de perte et profit : ()()1 VaRF = Si l on reprend notre exemple de distribution normale, on affiche alors une Value-at-Risk pour un niveau de confiance de 95% (5% =) gale Cela signifie qu il y a 95% de chances que la perte associ e la d tention de l actif n exc de pas Horizon de d tention Le deuxi me l ment fondamental dans le calcul de la Value-at-Risk est la p riode de d tention de l actif ou du portefeuille d actifs.

6 La formule de calcul de la Value-at-Risk doit alors tre ajust e de fa on tenir compte de la composition des rendements. Il n existe aucune r gle quant au choix de la p riode de d tention dans le calcul de la Value-at-Risk puisque ce choix d pend fondamentalement de l horizon de reporting ou d investissement des op rateurs. Site Value-at-Risk. MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e 4 Toutefois, les autorit s de r gulation peuvent sp cifier des horizons de d tention sp cifiques notamment dans le cadre es proc dures de validation de la Value-at-Risk. Dans le cadre de ce site, tous les calculs propos s portent sur une Value-at-Risk d finie partir de la distribution de pertes (-) et profits (+) (ce qui implique une valeur n gative de la Value-at-Risk) et pour un horizon de d tention d une p riode (une journ e, un mois etc.)

7 Suivant les donn es utilis es pour les calculs). 2. Value-at-Risk conditionnelle Il est possible de distinguer deux types de distribution de pertes et profits : la distribution conditionnelle et la distribution non conditionnelle. D s lors, on peut naturellement d finir une mesure de Value-at-Risk conditionnelle un ensemble d information. Soit R le rendement d un actif. On suppose que le rendement est une variable al atoire r elle de densit (distribution de perte et profit)()Rfr r\ . Naturellement, pour cette variable al atoire il est possible de d finir une densit conditionnelle un certain ensemble d information, not . Soit ()Rfrr\ la densit conditionnelle associ e au rendement (densit conditionnelle de perte et profit). La Value-at-Risk conditionnelle l ensemble d information , associ e un taux de couverture de %, correspond au fractile d ordre de la distribution conditionnelle de pertes et profits.

8 1()( )RVARF = Cette notion de distribution conditionnelle prend toute son importance dans une dimension temporelle. En effet, jusqu pr sent nous avons consid r les rendements d un actif ou d un portefeuille sans indication de date. Or, on peut reprendre le raisonnement en introduisant de fa on explicite le temps dans la d termination (et donc par cons quent la pr vision) de la Value-at-Risk. SoittR le rendement la date t et soit ()tRfr r\ la distribution des pertes et profits pour cette m me date. Cette densit peut tre diff rente d une date l autre, et sans l sans doute que r side la difficult majeure de l valuation d une Value-at-Risk non conditionnelle. De la m me fa on on peut d finir une densit conditionnelle un ensemble d information disponible la date t, not t (distribution conditionnelle de perte et profit).

9 Cette densit conditionnelle, not e Site Value-at-Risk. MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e 5()tRtfrr\ , peut elle aussi tre diff rente d une date l autre, mais g n ralement on se restreint des densit s conditionnelles invariantes dans le temps, ()Rtfrr\ . Cela revient supposer que conditionnellement un ensemble d information t (ou 1t lorsque l on cherche pr voir la Value-at-Risk), les rendements sont identiquement distribu s. C est pr cis ment cette hypoth se qui permet de r aliser une pr vision de Value-at-Risk dans le cas des mod les param triques (mod les GARCH par exemple). La Value-at-Risk la date t obtenue conditionnellement l ensemble d information t s crit sous la forme : 1()()ttRtVARF = Pour une discussion sur les avantages et les limites de la Value-at-Risk, on renvoie l ouvrage de Dowd (2005).

10 Retenons simplement que la Value-at-Risk n est pas une mesure de risque coh rente au sens de Artzner et al. (1997), parce que notamment la Value-at-Risk n est pas de fa on g n rale subadditive. Une mesure de risque, not e , est subadditive si et seulement pour deux actifs A et B on a ()()()ABAB + +. C est un probl me fondamental car cela implique que la Value-at-Risk ne peut pas tre consid r e comme une mesure propre du risque rattach e une th orie et un ensemble d axiomes permettant de d finir ce qu est une mesure du risque. La Value-at-Risk n est rien d autre qu un fractile et doit tre consid r e en tant que telle. R dacteurs : Chevreau Antoine, Godin Sylvain, Ivanof Mihaela et Patin Antoine Correction : Hurlin Christophe MASTER ESA, Universit d Orl ans : Novembre 2006 Site Value-at-Risk. MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e 1 MASTER Econom trie et STATISTIQUE Appliqu e Universit d Orl ans Site Value-at-Risk Fiche 2.