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Cours complet sur les nombres complexes - TS - …

nombres complexesPage 1G. COSTANTINI COMPLEXES1. IntroductionL quation x + 7 = 6 n a pas de solutions dans , mais elle en a dans un ensemble plus grand : (x = 1).De m me, l quation 3x = 1 n a pas de solutions dans , alors que dans un ensemble plus grand, parexemple, il y en a une : x = 1/3. Et puis, l quation x2= 2 n a pas de solutions dans ; il faut chercher dansl ensemble des nombres r els pour en , quand une quation n a pas de solutions, une d marche naturelle (et historique) consiste en chercherdans un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances actuelles, l ensemble num rique le plus grand quel on a rencontr est . Pourtant, l quation x2+ 1 = 0 n a pas de solutions dans ..On va donc, dans ce chapitre construire ? ou plut t imaginer un ensemble plus grand que dans lequell quation x2+ 1 = 0 poss de des solutions.

Nombres complexes Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Donc ϕ induit un isomorphisme entre les corps ( , +, ×) et ϕ( ) = {(a, 0) ∈ , a ∈ }.On peut donc ...

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1 nombres complexesPage 1G. COSTANTINI COMPLEXES1. IntroductionL quation x + 7 = 6 n a pas de solutions dans , mais elle en a dans un ensemble plus grand : (x = 1).De m me, l quation 3x = 1 n a pas de solutions dans , alors que dans un ensemble plus grand, parexemple, il y en a une : x = 1/3. Et puis, l quation x2= 2 n a pas de solutions dans ; il faut chercher dansl ensemble des nombres r els pour en , quand une quation n a pas de solutions, une d marche naturelle (et historique) consiste en chercherdans un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances actuelles, l ensemble num rique le plus grand quel on a rencontr est . Pourtant, l quation x2+ 1 = 0 n a pas de solutions dans ..On va donc, dans ce chapitre construire ? ou plut t imaginer un ensemble plus grand que dans lequell quation x2+ 1 = 0 poss de des solutions.

2 On l'appellera : ensemble des nombres complexes . Le principal l ment de sera not i (i comme imaginaire). Le nombre i est tel que i2 = 1 ! L quation ci-dessus poss dealors deux solutions : x2+ 1 = 0 quivaut x2- i2 = 0 soit (x i)(x + i) = 0 donc x = i ou x = d but du XVI me si cle, le math maticien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant unesolution de l' quation du 3 me degr x3+ px = q :x = 2334272qqp-++ 2334272qqp++A la fin du XVI me si cle, le math maticien Bombelli applique cette formule l' quation x3- 15x = obtient litt ralement :x = 3321112111--++-Cette criture n'a, a priori, pas de sens puisqu'on ne sait pas ce que repr sente le symbole not Bombelli va plus loin. Il remarque, en utilisant les r gles usuelles de calcul que :()321+-= 2 + 111- et ()321--= 2 - 111-Si bien qu'il obtient finalement :x = 2 + 1-+ 2 - 1-= 4Or, x = 4 est bien une solution de l' quation x3- 15x = question naturelle s'est alors pos e : peut-on l gitimement calculer avec des symboles imaginairescomme ci-dessus ?

3 C'est ainsi qu'est n e la th orie des nombres complexesPage 2G. COSTANTINI Construction du corps des nombres D finitionNotons l'ensemble des couples de r els : = {(a, b) }Les l ments de sont appel s des nombres il n'est pas pratique de travailler avec des couples (notations un peu lourdes), nous allons voir(th or me ) que l'on peut noter les l ments de de mani re commode et faciliter ainsi les Th or meL'ensemble peut tre muni de deux lois + et qui prolongent les lois + et de .L'ensemble contient "une copie" de .Il existe dans un l ment, not i, tel que i2= l ment z de s' crit, de mani re unique z = a + bi, o a et b sont des r monstration (Hors programme)On muni cet ensemble des deux lois de composition interne suivantes : la premi re, not e + , est d finie par :(a, b) + (a', b') = (a + a', b + b') la seconde, not e , est d finie par :(a, b) (a', b') = (aa' - bb', ab' + a'b)Par exemple, avec (a, b) = (2, 5) et (a', b') = (-3, 4), on a :(2, 5) + (-3, 4) = (-1, 9)(2, 5) (-3, 4) = (-26, -7)On v rifie facilement que ( , + , ) est un corps commutatif (c'est- -dire : la loi + est associative,commutative, admet un l ment neutre (0, 0) et tout l ment (a, b) admet un oppos (-a, -b).)

4 La loi estassociative, commutative, distributive par rapport la loi + , admet un l ment neutre (1, 0) et tout l ment(a, b) (0, 0) admet un inverse.)Consid rons l'application :j : ( , +, ) ( , + , ) a a(a, 0)Alors j est un morphisme de corps. En effet : (a) + (a') = (a, 0) + (a', 0) = (a + a', 0) = (a + a') (a) (a') = (a, 0) (a', 0) = (aa', 0) = (aa') (1) = (1, 0)De plus j est injectif : (a) = (a') fi (a, 0) = (a', 0) fi (a - a', 0) = (0, 0) fi a = a'Les r gles de calculs (avecles lois + et ) dans seront donc les m mes quedans en rempla ant i2 par-1 ou vice constate que si les secondescomposantes sont nulles, alors leslois + et se comportent commeles lois usuelles + et sur les r complexesPage 3G. COSTANTINI j induit un isomorphisme entre les corps ( , +, ) et j( ) = {(a, 0) , a }.

5 On peut donc identifier les l ments de avec ceux de j( ).L'ensemble contient donc une "copie" de .Par la suite, on note donc simplement + et les deux lois de et lorsqu'un couple a sa deuxi me composantenulle (couples de la forme (a, 0)), on le notera tout simplement a :a not=(a, 0)On a de plus :(0, 1) (0, 1) = (-1, 0)Notons :i not=(0, 1)Ainsi :i i = -1 Enfin, pour tous r els a et b on a :(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) (1, 0) + (b, 0) (0, 1)C'est- -dire, avec les notations ci-dessus : (a, b) = a 1 + b i = a + biAutrement dit, tout l ment de z = (a, b) de peut s' crire z = a + criture est unique. En effet :a + bi = a' + b'i (a, b) = (a', b') (a - a', b - b') = (0, 0) a = a' et b = b'Ce dernier r sultat tant fort utile, mettons-le en vidence Th or me galit entre deux nombres complexesSoient a, b, a' et b' quatre nombres r + bi = a' + b'i a = a' et b = b'En particulier, a + bi = 0 si et seulement si a = 0 et b = 0.

6 On parle alors de nombre complexe monstration du th or me :D j fait ci-dessus. On peut n anmoins en donner une preuve diff , pour commencer, l' quivalence : a + bi = 0 a = 0 et b = 0. D j , il est clair que si a = 0 et b = 0 alors a + bi = 0. R ciproquement, supposons que a + bi = 0. Montrons qu'alors, n cessairement, a = 0 et b = 0. En effet si b 0, alors on pourrait crire : i = -ab. Le nombre i serait r el et on ne pourrait avoir i2 = -1. Donc b = 0. L' galit a + bi = 0 se r duit a + 0i = 0 d'o a = a donc montr que si a + bi = 0 alors a = 0 et b = rons maintenant deux nombres complexes Z = a + bi et Z' = a' + b'i. Il est clair que si a = a' et b = b' alors Z = Z'. R ciproquement, supposons que Z = Z'. Alors, on a : (a - a') + (b - b')i = 0Et d'apr s ce qui pr c de, a - a' = 0 et b - b' = 0 d'o a = a' et b = b'.

7 Exemple : Z1 = 3 + 2i et Z2 = 2 i ; calculer Z1 + Z2 ; Z1 Z2 ; Z1 Z2 ; Z1 + 2Z2 ; 2Z1 3Z2 ; notation permet de confondre les l ments de avec leur copie ( l ments de j( )).. nombres complexesPage 4G. COSTANTINI D finition Soit Z , Z = a + ib (avec a et b r els). Le r el a s appelle la partie r elle de Z et b la partie note :a = Re(Z) et b = Im(Z)Exemples : Z1 = 3 + 2i ; Z2 = 3iOn a :Re(Z1) = 3 ; Im(Z1) = 2 ; Re(Z2) = 0 ; Im(Z2) = -3 Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre r el ! D finition Tout nombre complexe de la forme z = bi (o b ) s'appelle un imaginaire 'ensemble des imaginaires purs est not i . Remarques : Dans l'ensemble , il n'y a plus la notion d'ordre usuelle(1) .. On ne pourra pas, ce niveau, comparer unnombre complexe un autre ou dire s'il est positif ou n gatif etc.

8 (Except pour les imaginaires purs o l'on peut d finir un ordre naturel comme pour les r els) On vitera l'usage abusif du symbole radical qui reste r serv aux r els positifs. Les applications Re : et Im : sont -lin aires. Cela signifie :"Z, Z' , "l : Re(Z + lZ') = Re(Z) + lRe(Z') et Im(Z + lZ') = Im(Z) + lIm(Z')3. Repr sentation g om trique des nombres complexesMunissons le plan d un rep re orthonorm ()12;, Principe : tout nombre complexe Z = a + bi (avec a et b r els), on peut associer le point M(a ; b).Cela d coule simplement du fait que l'application : : Z = a + bi aM(a, b)est une : Z = 2 - 5i correspond le point M(2 ; -5) et r Vocabulaire : le point M(a ; b) s appelle l image du nombre complexe Z = a + bi. le nombre complexe Z = a + bi s appelle l affixe du point M(a ; b).

9 ("Affixe" est un nom f minin) on note souvent Z = affixe(M) ou Z = aff(M). Autre interpr tation tr s utilis e : tout nombre complexe Z = a + bi (avec a et b r els), on peut associer le vecteur u abCe vecteur u s'appelle le vecteur image du nombre complexe Z. (1) Ce qui ne signifie pas que l'on ne puisse pas ordonner . On dit juste que la relation d'ordre usuelle connue sur ne se prolonge pas .Humour : pourquoi la vie desHommes est-elle complexe ?Car elle poss de une partier elle et une partie complexesPage 5G. COSTANTINI : si Z = 5 2i et M est l image de Z, alors le vecteur OM --52 est le vecteur image de : quelle est l'affixe de 1e , 2e ,-1e et -2e ? Application : si ZA est l affixe de A et ZB l affixe de B, alors l affixe du vecteur AB est ZB ZA :aff(AB ) = ZB ZAD monstration : notons A(xA ; yA) et B(xB ; yB).

10 Alors ZA = xA + yAi et ZB = xB + savons que les coordonn es de AB sont :xxyyBABA--Or : ZB - ZA = xB + yBi - xA - yAi = (xB - xA) + (yB - yA)iDonc l affixe du vecteur AB est ZB : l'affixe du vecteur AB avec A(3 ; 5) et B(5 ; 8) est Z = 2 + applications permettent de traduire des probl mes de g om trie en relations entre nombres complexes . Parexemple, on utilisera souvent que deux vecteurs sont gaux si et seulement si ils ont m mes affixes. Ou encore,on utilisera que l'affixe d'une somme de deux vecteurs est la somme des affixes de ces vecteurs :aff(u + v ) = aff(u ) + aff(v )Plus g n ralement, l'application aff : , o d signe le plan euclidien, est lin aire :Pour tous vecteurs u et v et tout scalaire l , on a : aff(u + lv ) = aff(u ) + laff(v ).Axe des imaginaires pursAxe des r els2e 1e OB(ZB)A(ZA)Axe des imaginaires pursAxe des r els2e 1e OM(Z)baL'affixe est souventnot e entreparenth ses derri re lepoint ou le complexesPage 6G.


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