Matrices de Proyecci´on - Tecnológico de Monterrey

1 Matrices de Proyecci onDepartamento de Matem aticas, CSI/ITESM14 de abril de 2008 Proyecci on ortogonal .. Proyecci on de un vector enRm.. Matriz de Proyecci on .. Proyecci on matrizm ny un espacio linealVde dimensi onr, ambos dentro de un espacio linealU. Entonces, existe una unica matrizZenVtal que (Y Z) V. Sir= 0 entoncesZ= 0, y sir >0 entoncesZse puede expresar comoZ=c1X1+..+crXr,donde{X1, .. ,Xr}forman una base ortonormal deVyci=Y Xiparai= 1, .. , r. Adem as,Z=Ysi y s olo siY V. La matrizZse llamar ala proyecci on onSir= 0 entonces dim(V) = 0, y por tantoV={0}. ParaZ=0se tiene (Y Z) V. Y es claramente la unica matriz enVque cumple >0 sea{X1, .. ,Xr}una base ortonormal deVy definamosci=Y Xiparai= 1, .. , ryZ=Pri= ,Z Vy Y rXi=1ciXi! Xj=Y Xj cj= 0para cadaj= 1, .. , r. Y por tanto (Y Z) V. SiX Vy (Y X) V:(X Z) (X Z) = (X Y+Y Z) (X Z)= (Y X) (X Z) + (Y Z) (X Z)= 0 + 0 = 0 ComoX Z V, (Y Z) (X Z) = 0. Por tanto,X Z=0y de all queX=Z, haciendo queZsea el unico vector enVque cumple (Y Z) V Ejercicio 1 Considere el espacio lineal formado por todas las soluciones al sistema homog eneo:x+y+z w= 0x y z+w= 0y el vectord=<1,3,2,1>.

2 Usando el orden primerox, luegoy, luegoz, y por ultimow, encuentre una base para elespacio soluci la base la base encontrada, determine la proyecci on ortogonal dedsobre tal el orden primeroy, luegow, luegoy, y por ultimoz, encuentre una base para elespacio soluci la base nueva la nueva base encontrada, determine la proyecci on ortogonal dedsobre tal matrizm n. SiXes invertiblen nentoncesC(AX) =C(A)y en particular, rank (AX) = rank (A).Demostraci onClaramenteC(AX) C(A). ComoA=A(XX 1) = (AX)X 1entonces,C(A) C(AX). De estas dos contenciones tenemos la igualdad de los conjuntos cualquier matrizA:rank(A A) = rank(A ) = rank(A)Demostraci onSeaAuna matrizm ncon rangor. SeaA=QRla factorizaci onQRdeA. Por tanto,Q Q=InyResuna matriz cuadrada triangular superior con rangor. As A A= (QR) (QR) =R Q QR=R RSir=n, entoncesRes invertible yR tambi en y por consiguiente tambi enR R, indicando queA A=R Rtiene rangonel mismo rango queAy queA .Sir < n, entoncesR= Z B0 0 2conZmatrizr rinvertible.

3 As R R= Z Z Z BB Z B B Haciendo operaciones elementales sobre esta matriz se puede reducir a: I Z 1B0 0 Indicando queA A=R Rtiene rangor Ejercicio 2 Para las matricesA1= 2 11 20 1 A2= 2 1 11 2 1 A3= 2 3 02 3 02 3 0 repita los c alculos presentes en la demostraci on del cualquier matrizAm ny cualquier vectorbenRmel sistema de ecuaciones:A Ax=A bes onDel lema anterior se deduce queC(A A) =C(A). Como el vectorA best a enC(A ), entonces tambi en est a enC(A A). Por consiguiente, el sistema formulado es consistente Ejercicio 3 Para las matricesA1= 2 11 20 1 A2= 2 3 02 3 02 3 0 y vectoresb1=<1,0,1>yb2=<1, 1,0>, vea que los sistemasAx=bcon inconsistentespero los sistemasA Ax=A bson Proyecci on de un vector en proyecci on debsobreC(A),Am n. Entonces,z=Ax para cuaquier soluci onx al sistemaA Ax=A bDemostraci onSuponga quex es la soluci on al sistemaA Ax=A b. Por el lema anterior, estos sistemas siempre son con-sistentes.

4 Por tanto,A (Ax b) =0, es decir queb Ax es ortogonalC(A). ComoAx est a enC(A),por el resultado anteriorAx es la proyeccci on ortogonal debsobreC(A) Ejercicio 4 Para las matricesA1= 2 11 20 1 A2= 2 3 02 3 02 3 0 y los vectoresb1=<1,0,1>yb2=<1, 1,0>, determine las proyecciones de cadaba losespacios columnas de cadaAy compruebe que da lo mismo que se obtiene resolviendo los sistemasA Ax=A uno dispone de una inversa generalizada deA Aentonces es simple el c alculo del vector proyecci on sobreunespacio. El siguiente resultado indica c omo y es una consecuencia inmediante del anterior y de las propiedadesde la inversa proyecci on delbsobreC(A), entoncesz=A(A A) A bEjercicio 5 Para las matricesA1= 2 11 20 1 A2= 2 3 02 3 02 3 0 4y los vectoresb1=<1,0,1>yb2=<1, 1,0>, en cada caso determine una inversa generalizadaparaA Ay compruebe que la proyecci on debsobreC(A) coinde con el resultado que da la f ormuladel colorario 6 Encuentre la proyecci on del vector<1,1,1>sobre el plano 2x+ 3y z= acuerdo al resultado anterior se debe encontrar una matrizAtal queC(A) sea el plano.

5 Paraello hay que encontrar los vectores que general tal plano: Resolviendo la ecuaci on del plano: xyz = 32y+12zyz =y 3210 +z 1201 As el plano es el espacio generado por los vectores: 3210 , 1201 TomeA= 32121 00 1 Ahora aplique la f ormula del vector de proyecci on:A(A A) A Matriz de Proyecci onEl corolario anterior motiva la siguiente definici on:Definici onSeaAuna matriz cualquiera, la matrizPAse definir a como:PA=A ATA AT(1)se conoce como lamatriz de proyecci on meta ahora es probar que esta matriz no depende de la elecci on de la inversa generalizada de ATA . matricesXm n,Yq n, yXm q. SiR(Y) R(X) yC(Z) C(X), entonces la matrizYX Zes independiente de la elecci on deX .Demostraci onSuponga queR(Y) R(X) yC(Z) C(X) entonces existen matricesLyRtales queY=LXyZ= :YX Z= (RX)X (XR) =R(XX X)R=LXRel segundo miembro no depende deX matriz cualquiera, entonces la matriz proyecci on deAes independiente de la matriz(A A) .Demostraci onPor lema previo,rank A A = rank(A ) = rank(A)En particular,C(A ) C(A A) yR(A) R(A A).

6 Por tanto, se cumplen las condiciones del teoremaanterior paraX=A A,Y=AyZ=A : Por tanto,Y X Z=A A A A es independiente de (A A) Ejercicio 7 Para las matricesA1= 2 1 31 2 30 1 1 A2= 2 3 02 3 02 3 0 determine dos Matrices determine dos Matrices inversas generalizadas deA Ay vea que las matricesde proyecci on arrojan el mismo resultado. En la determinaci on de las inversas generalizadas, utilicela inversa de Moore-Penrose y otra obtenida del algoritmo visto en