Traza de una Matriz Cuadrada - Tecnológico de …

1 Traza de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem aticas, CSI/ITESM. 10 de septiembre de 2008. Indice Definiciones y propiedades b asicas .. 1. La Traza de un producto .. 3. Definiciones y propiedades b . asicas A pesar de su aparente sencillez, la Traza de una Matriz Cuadrada es un elemento clave en desarrollos posteriores. Veremos su definici . on y sus propiedades b asicas. En la lectura posterior se entender . a su aplicaci on. Definici on Sea A una Matriz m m, la Traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal principal: m X. tr(A) = aii = a11 + a22 + + amm (1). i=1. En particular: tr(In ) = n, y tr(Jn ) = n Ejemplo Determine la Traza de la Matriz : . 1 1 2. A = 0 3 1 . 2 3 8. Soluci on Directamente de la definici . on tr (A) = (1) + ( 3) + (8) = 6 . Lema Sean A y B matrices m m: 1.

2 Tr (k A) = k tr (A). 2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B). 3. tr (A ) = tr (A). Demostraci on 1. Tomemos C = k A, as cij = k aij y por tanto m X m X m X. tr (k A) = tr (C) = cii = (k aii ) = k aii = k tr (A). i=1 i=1 i=1. 3. Si C = A , cij = aji y as cii = aii : m X m X.. tr A = tr (C) = cii = aii = tr (A) . i=1 i=1. Ejercicio 1. Sean A y B matrices m m, demuestre que tr (A + B) = tr (A) + tr (B). Sugerencia Tome C = A + B, as cii = aii + bii . Aplique ahora la definici . on de la Traza . Ejercicio 2. Demuestre que si A y B matrices m n y n m respectivamente: entonces . tr (AB) = tr B A . Sugerencia Utilice la propiedad 3 del lema y la propiedad de la transpuesta de un producto. Ejercicio 3. Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad: . tr (AB) = tr B A .. 2 1. 1 2 3. A= yB= 2 3 . 3 2 1.

3 4 1. Lema Sea A una Matriz Cuadrada particionada tal que . A11 A12 A1k A21 A22 A2k . A= .. Ak1 Ak2 Akk Entonces tr (A) = tr (A11 ) + tr (A22 ) + + tr (Akk ). 2. Demostraci on Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la Matriz A es justo la concatenaci on de las diagonales principales de las matrices Aii . La Traza de un producto Teorema Sean A y B matrices m n y n m respectivamente. tr (AB) = tr (BA). Demostraci . on Tomemos C = AB, as . n X. cij = aik bkj k=1. Para j = i la f . ormula anterior queda: n X. cii = aik bki k=1. As : m X X n m X X m n X X m n X. tr (C) = cii = aik bki = aik bki = bki aik i=1 i=1 k=1 k=1 i=1 k=1 i=1. Por otro lado si D = BA, as . m X. dij = bik akj k=1. Para j = i la f . ormula anterior queda: m X. dii = bik aki k=1. As : n X n X. X m tr (D) = dii = bik aki i=1 i=1 k=1.

4 Comparando las f . ormulas: X m n X n X. X m tr (AB) = bki aik y tr (BA) = bik aki k=1 i=1 i=1 k=1. Concluimos que, intercambiando los nombres de los ndices i y k, tr (AB) = tr (BA) . Ejercicio 4. 3. Encuentre dos matrices A y B, 2 2, tal que tr (AB) 6= tr (A) tr (B). Sugerencia Pi enselo f . acil. Tome por ejemplo . 1 0. A= . 0 0. Ejercicio 5. Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad: tr (AB) = tr (BA).. 2 1. 1 2 3. A= yB= 2 3 . 3 2 1. 4 1. Ejercicio 6. Demuestre que si A, B y C son matrices n n se cumple tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA). Sugerencia Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique el teorema Para la segunda igualdad tome D = A y E = B C y aplique el mismo teorema. Ejercicio 7. Demuestre que si A, B y C son matrices n n se cumple . tr (ABC) = tr B A C = tr A C B.

5 Sugerencia Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique como v alido el ejercicio 2. Para la segunda igualdad tome D = A y E = BC. y aplique el mismo teorema Ejercicio 8. Demuestre que si A, B y C son matrices n n sim . etricas se cumple tr (ABC) = tr (BAC). Sugerencia alido el ejercicio anterior y que X = X para las matrices sim etricas. Utilice como v . 4. Ejercicio 9. Encuentre matrices cuadradas A, B y C 2 2 que cumplen tr (ABC) 6= tr (BAC). Ejercicio 10. Sea A una Matriz m n, demuestre que el elemento (i, i) de A A es n X. a2ij j=1. Ejercicio 11. Sea A una Matriz m n, demuestre que n m X. X. tr A A = a2ij i=1 j=1. Sugerencia Utilice como v . alido el resultado del ejercicio anterior. Ejercicio 12. Utilice el resultado anterior para determinar tr (A A ) Si . 1 2 3. A=. 3 2 1. Ejercicio 13.

6 Sea A una Matriz m n. Entonces A = 0 si y s olo si tr(A A) = 0. Sugerencia Utilice la propiedad 3 del lema y asuma como v alido el resultado del ejercicio 11. Y recuerde que la suma de cantidades mayores o iguales a cero es cero si y s olo si cada cantidad es cero. Ejercicio 14. Sea A una Matriz m n. Entonces A = 0 si y s olo si A A = 0. Sugerencia Tome como v . alido el resultado del ejercicio anterior. Lema 5. Sean A, B, y C matrices, m n, n p, y n p respectivamente. AB = AC si y s olo si A AB = A AC. Demostraci on Claro que AB = AC implica que A AB = A AC. Si suponemos que A AB = A AC. Entonces, desarrollando (AB AC) (AB AC) = (B C) A (AB AC). = (B C) (A AB A AC). = 0. Por el ejercicio anterior, AB AC = 0 . Ejercicio 15. Sea A una Matriz m m que cumple A A = A2 . Muestre que 1. tr ((A A ) (A A )) = 0.

7 2. A es sim etrica. Sugerencia Para el primer inciso desarrolle el producto de matrices, utilice la hip otesis, y tome como v alido el resultado del ejercicio 1. Para el segundo inciso, utilice como v . alido el resultado del ejercicio 13. Ejercicio 16. La Traza y la tecnolog a Asumiendo que una Matriz ya est a almacenada en memoria. Indique c omo determinar la Traza de tal Matriz en una calculadora cient fica (HP o TI). en Maple en Matlab 6.