Mecanique quantique. Cours et exercices corriges

1 Christophe Texier M canique quantique Cours et exercices corrig s 2e dition Couverture Image par microscopie lectronique d'un r seau de ls d'argent d pos . sur un substrat isolant (le pas du r seau est m). tr s basse temp rature, la me- sure de la r sistance lectrique en fonction du champ magn tique (courbe superpos e . l'image) donne un acc s direct au rapport de la constante de Planck et de la charge de l' lectron (le quantum de ux magn tique 0 = h/|qe |). Ces petites oscillations de la r - sistance lectrique sont appel es oscillations Aharonov-Bohm et sont la manifestation d'un ph nom ne d'interf rences quantiques (cf. chapitre 16). La courbe est caract ris- tique de l' chantillon et parfaitement reproductible. La temp rature tait T = Kel- vin, le champ magn tique varie entre et Tesla et l'amplitude des oscillations est R 2 m pour une r sistance R 100.

2 (cf. gure ). L' chantillon et les mesures ont t r alis s pendant la th se de F licien Schopfer, dans l' quipe de Christopher B uerle et Laurent Saminadayar (Institut N el, Grenoble). Donn es publi es dans : F. Schopfer, F. Mallet, D. Mailly, C. Texier, G. Montambaux, C. B uerle &. L. Saminadayar, Dimensional crossover in quantum networks : from mesoscopic to ma- croscopic physics, Phys. Rev. Lett. 98, 026807 (2007). Dunod, 2011, 2015. 5 rue Laromigui re, 75005 Paris ISBN 978-2-10-072154-2. T ABLE DES MATI RES. Avant-propos VI. Mode d'emploi IX. Notations X. Chapitre 1. Introduction 1. Qu'est-ce que la m canique quantique ? 1. Br ves consid rations historiques 2. La structure des th ories physiques 11. Aper u des postulats de la m canique quantique 13.

3 Premi res cons quences importantes 16. Annexe : La physique quantique en quelques dates 23. Annexe : Rappels de m canique analytique 32. Chapitre 2. quation d'onde de Schr dinger 37. quation d'onde Premi res applications 37. Fonction d'onde dans l'espace des impulsions 48. In galit s de Heisenberg 50. Annexe : Transformation de Fourier 53. Annexe : Distributions 56. exercices 61. Chapitre 3. Formalisme de Dirac Postulats (1) 63. Introduction 63. Pr lude : espace des fonctions d'onde 63. Formalisme de Dirac 67. Annexe : Quelques rappels d'alg bre lin aire 78. exercices 80. Chapitre 4. La mesure Postulats (2) 81. Dunod. Toute reproduction non autoris e est un d lit. Motivations 81. Les postulats de mesure 82. Valeur moyenne d'une observable 85.

4 Ensemble complet d'observables qui commutent (ECOC) 86. exercices 87. Chapitre 5. volution temporelle Postulats (3) 89. R solution de l' quation de Schr dinger 89. Th or me d'Ehrenfest 94. Point de vue de Heisenberg 95. Annexe : Matrice de di usion (matrice S) d'une lame s paratrice 97. exercices 99. III. M canique quantique Chapitre 6. Sym tries et lois de conservation 103. Sym tries 103. Transformations en m canique quantique 105. Groupes continus G n rateur in nit simal 110. Potentiel p riodique et th or me de Bloch 113. exercices 116. Probl me Groupe de Galil e 118. Chapitre 7. Oscillateur harmonique 121. L'oscillateur harmonique classique 121. Le spectre de l'oscillateur harmonique 122. exercices 129. Probl me tats coh rents 130.

5 Chapitre 8. Moment cin tique Spin 133. Moment cin tique 133. Le spin 150. Annexe : Rotation de 2 du spin d'un neutron 165. exercices 168. Chapitre 9. Addition des moments cin tiques 169. In galit triangulaire : valeurs de j permises 170. Construction des vecteurs | j1 ; j2 ; j; m 172. Composition de deux spins 1/2 173. exercices 175. Chapitre 10. Introduction la th orie des collisions 177. Ce que le chapitre et ce dont il ne parle pas 177. Collisions en une dimension 180. Formulation g n rale quation de Lippmann-Schwinger 189. Diffusion dans la situation bidimensionnelle 191. Diffusion dans la situation tridimensionnelle 198. Annexe : Fonctions de Green 201. exercices 204. Probl mes R sistance lectrique d'un l quantique unidimensionnel 206.

6 Temps de Wigner et capacit quantique 208. Interaction ponctuelle en dimension d 2 210. Chapitre 11. Particules identiques et permutations Postulats (4) 215. Postulat de sym trisation 216. Corr lations induites par le postulat de sym trisation 220. Annexe : Collision entre deux particules identiques 227. exercices 228. Probl mes Corr lations quantiques de la lumi re 228. Collisions entre noyaux de carbone 231. IV. Table des mati res Chapitre 12. Atome d'hydrog ne 235. Atome d'hydrog ne 235. Atomes et classi cation de Mendele ev 243. Exercice 248. Chapitre 13. M thodes d'approximation 249. M thode des perturbations cas stationnaire 249. La m thode variationnelle 254. La m thode JWKB et l'approximation semiclassique 255.

7 exercices 260. Probl mes Th or me de projection et facteurs de Land atomiques 261. M canisme d' change Interaction coulombienne dans l'atome d'h lium 263. M canisme de super- change Isolant de Mott et antiferromagn tisme 265. Chapitre 14. Structures ne et hyper ne du spectre de l'hydrog ne 269. Structure ne 270. Corrections radiatives 274. Structure hyper ne du niveau 1s1/2 275. Chapitre 15. Probl mes d pendants du temps 277. M thode des perturbations 277. Interaction atome-rayonnement 283. exercices 289. Probl me R sonance magn tique dans un jet mol culaire 290. Chapitre 16. Particule charg e dans un champ magn tique 293. Introduction 293. Champ magn tique homog ne 293. Vortex magn tique 298. exercices 301. Probl me Conductivit Hall d'un gaz d' lectrons 2D 303.

8 Annexe A. Formulaire 305. Dunod. Toute reproduction non autoris e est un d lit. Compl ments math matiques 305. Constantes fondamentales 311. Annexe B. Solutions des exercices et probl mes 313. Bibliographie 365. Index 367. V. A VANT - PROPOS. Marie-Flore Cet ouvrage propose un Cours d'introduction la m canique quantique. Le c ur du texte a t crit pour servir de support un Cours dispens aux tudiants d' coles d'ing nieurs ( cole Centrale, Sup lec et SupOptique), inscrits au magist re de phy- sique fondamentale de l'Universit Paris-Sud, et qui avaient le courage d' tudier des sujets de physique fondamentale plusieurs soirs par semaine. Le Cours , dont la struc- ture a t pour l'essentiel impos e a n de respecter le programme suivi par les tu- diants du magist re, a t r dig en ayant le souci de produire un texte compact mais su samment complet pour pouvoir tre utilis de mani re autonome (quelques notions math matiques essentielles sont rappel es dans plusieurs annexes).

9 De nom- breuses r f rences sont donn es a n de fournir des pistes pour un lecteur d sireux d'approfondir les sujets pr sent s : vers des ouvrages de r f rence comme les livres d'A. Messiah [37], de L. Landau et E. Lifchitz [30] ou de C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Lalo [8]. Des r f rences plus r centes sont les excellents ouvrages de M. Le Bellac [33], Basdevant et J. Dalibard [5] ou encore le monumental livre de C. Aslangul [3, 4] ; d'autres r f rences sp cialis es sont occasionnellement mentionn es. Le Cours s'ouvre sur un chapitre introductif rappelant quelques motivations his- toriques ayant conduit la r volution quantique du d but du xxe si cle. L'expos . se poursuit avec une pr sentation de l' quation d'onde de Schr dinger, approche as- sez traditionnelle ayant l'avantage de jeter des ponts avec les acquis de physique classique des ondes.

10 Les premiers postulats sont ensuite pr sent s : formalisme de Dirac, postulats de mesure et d' volution temporelle. Le cadre ainsi dress , un cha- pitre court discute succinctement le r le des sym tries et permet d'introduire des notions qui seront tr s utiles pour la suite de l'expos . Nous tudions ensuite l'oscil- lateur harmonique et le moment cin tique. Le postulat de sym trisation est pr sent . La th orie quantique (non relativiste) de l'atome d'hydrog ne est expos e, puis nous discutons des m thodes d'approximation, mises en pratique pour l' tude des correc- tions relativistes dans l'atome d'hydrog ne, et nalement les probl mes d pendant du temps (interaction atome-lumi re). Ces sujets correspondent au programme du magist re d'Orsay.