Modulo 6 Ecuaciones - Universidad Nacional de Salta

1 ME PREPARO PARA ESTUDIAR EN LA SEDE CURSO DE ARTICULACI N 2011 Ecuaciones y Funciones Lineales y Cuadr ticas Sistema de Ecuaciones Msc. Adriana Zamar Ing. Alberto Macoritto Ing. Emilio Serrano Prof. In s Amaduro Universidad Nacional DE Salta FACULTAD DE INGENIER A Mag. Adriana Zamar, Ing. Alberto Macoritto, Ing. Emilio Serrano, Prof. In s Amaduro 1 HISTORIA Historia de las Ecuaciones lineales. La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracteriz por la invenci n gradual de s mbolos y la resoluci n de Ecuaciones .

2 Dentro de esta fase encontramos un lgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada lgebra geom trica, rica en m todos geom tricos para resolver Ecuaciones algebraicas. La introducci n de la notaci n simb lica asociada a Vi te (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notaci n. En este momento, el lgebra se convierte en la ciencia de los c lculos simb licos y de las Ecuaciones . Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teor a de los "c lculos con cantidades de distintas clases" (c lculos con n meros racionales enteros, fracciones ordinarias, ra ces cuadradas y c bicas, progresiones y todo tipo de Ecuaciones ).

3 Para llegar al actual proceso de resoluci n de la ecuaci n ax + b = c han pasado m s de a os. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind a. de C- y el de Mosc a, de ) multitud de problemas matem ticos resueltos. La mayor a de ellos son de tipo aritm tico y respond an a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ning n objeto concreto. En stos, de una forma ret rica, obten an una soluci n realizando operaciones con los datos de forma an loga a como hoy resolvemos dichas Ecuaciones .

4 Las Ecuaciones m s utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = c donde a, b y c eran n meros conocidos y x la inc gnita que ellos denominaban aha o mont n. Una ecuaci n lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente: "Un mont n y un s ptimo del mismo es igual a 24". En notaci n moderna, la ecuaci n ser a: x + 1 / 7 x = 24 La soluci n la obten an por un m todo que hoy conocemos con el nombre de "m todo de la falsa posici n" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la inc gnita, Mag.

5 Adriana Zamar, Ing. Alberto Macoritto, Ing. Emilio Serrano, Prof. In s Amaduro 2probamos con l y si se verifica la igualdad ya tenemos la soluci n, si no, mediante c lculos obtendremos la soluci n exacta. Supongamos que fuera 7 la soluci n, al sustituir en la x nos dar a: 7 + 1/7 7 = 8 , y como nuestra soluci n es 24 , es decir, 8 3 , la soluci n es 21 = 3 7 , ya que 3 (7 + 1/7 - 7) = 24. Generalmente, el c lculo de la soluci n correcta no era tan f cil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios.

6 En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en direcci n de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente. Los babilonios (el mayor n mero de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atenci n a las Ecuaciones lineales, quiz s por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron m s los sistemas de Ecuaciones lineales y las Ecuaciones de segundo grado. Los matem ticos griegos no tuvieron problemas con las Ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d.)

7 De C.), no se dedicaron mucho al lgebra, pues su preocupaci n era como hemos visto, mayor por la geometr a. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuaci n lineal. Los primeros documentos matem ticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvas tras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En stos aparece el siguiente problema: Hallar el lado de un rect ngulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su rea es igual al rea de un cuadrado dado.

8 " Esto es: es decir, a x = S . Mag. Adriana Zamar, Ing. Alberto Macoritto, Ing. Emilio Serrano, Prof. In s Amaduro 3Lo resolv an utilizando el m todo de la falsa posici n, como los egipcios. Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, c mo resolver Ecuaciones lineales. La inc gnita la representaba por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera s laba de las palabras. Dada la ecuaci n ax + b = cx + d , la soluci n vendr dada dividiendo la diferencia de los t rminos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es, Estos m todos pasaron a los rabes que los extendieron por Europa.

9 Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la soluci n de Ecuaciones lineales por simple y doble falsa posici n. El m todo de la doble falsa posici n es el siguiente: Sea la ecuaci n ax + b = 0 y supongamos dos valores para la x : x = m am + b = p x = n an + b = q restando, a (m - n) = p - q Por otra parte, eliminando a en (1) amn + bn = pn amn + bm = qm que restando, b (n - m) = pn - qm y dividiendo los resultados (2) y (3), - a / b = (p - q) / (pn - qm) o tambi n - b / a = (pn - qm) / (p - q) siendo esto ltimo el valor de x.

10 Veamos un ejemplo. Sea la ecuaci n 5x - 10 = 0 , si tomamos como valor de x : (1) (2) (3) Mag. Adriana Zamar, Ing. Alberto Macoritto, Ing. Emilio Serrano, Prof. In s Amaduro 4 x = 3 y x = 4 , y sustituyendo, 5 4 - 10 = p 5 3 - 10 = q se tiene que x = (10 3 - 5 4) / (10 - 5) = (30 - 20) / 5 = 10 / 5 = 2 x = 2 Actividad 1: Completa el siguiente cuadro acerca de la Historia de las Ecuaciones lineales: fases per odo actividades / hallazgos autor/es Caracter sticas generales: a- .. b- .. --------------- Contribuci n.