Multicolinealidad - UV

1 III-1 Multicolinealidad 1 Planteamiento Una de las hip tesis del modelo de regresi n lineal m ltiple establece que no existe relaci n lineal exacta entre los regresores, o, en otras palabras, establece que no existe Multicolinealidad perfecta en el modelo. Esta hip tesis es necesaria para el c lculo del vector de estimadores m nimo cuadr ticos, ya que en caso contrario la matriz X'X ser no singular. La Multicolinealidad perfecta no se suele presentar en la pr ctica, salvo que se dise e mal el modelo como veremos en el ep grafe siguiente. En cambio, s es frecuente que entre los regresores exista una relaci n aproximadamente lineal, en cuyo caso los estimadores que se obtengan ser n en general poco precisos, aunque siguen conservando la propiedad de lineales, insesgados y ptimos.

2 En otras palabras, la relaci n entre regresores hace que sea dif cil cuantificar con precisi n el efecto que cada regresor ejerce sobre el regresando, lo que determina que las varianzas de los estimadores sean elevadas. Cuando se presenta una relaci n aproximadamente lineal entre los regresores, se dice que existe Multicolinealidad no perfecta. Es importante se alar que el problema de Multicolinealidad , en mayor o menor grado, se plantea porque no existe informaci n suficiente para conseguir una estimaci n precisa de los par metros del modelo. El problema de la Multicolinealidad hace referencia, en concreto, a la existencia de relaciones aproximadamente lineales entre los regresores del modelo, cuando los estimadores obtenidos y la precisi n de stos se ven seriamente afectados.

3 Para analizar este problema, vamos a examinar la varianza de un estimador. En el modelo de regresi n lineal m ltiple, el estimador de la varianza de un coeficiente cualquiera por ejemplo, de j - se puede formular de la siguiente forma: n222 var()(1)jjjTRS = (1) donde 2jR es el coeficiente de determinaci n obtenido al efectuar la regresi n de Xj sobre el resto de los regresores del modelo. 2jS es la varianza muestral del regresor Xj Como se deduce de la expresi n anterior, el estimador de la varianza viene afectado por los siguientes factores: a) Cuanto mayor es 2 , es decir, cuanto mayor es la dispersi n de los datos en modelo ajustado, mayor ser la varianza del estimador (Figura 1).

4 III-2 b) Al aumentar el tama o de la muestra se reduce la varianza del estimador. c) Cuanto menor sea la varianza muestral del regresor, es decir, cuanto menor sea la variabilidad muestral del regresor, mayor ser la varianza del correspondiente coeficiente. (Figura 2) d) Cuanto mayor sea 2jR, cuanto mayor sea la correlaci n del regresor con el resto de los regresores mayor ser la varianza de j . FIGURA 1. Influencia de 2 sobre el estimador de la varianza. YXYX2 grande 2 peque a FIGURA 2. Influencia de Sj sobre el estimador de la varianza. tYtX peque ojS grandejStYtX De los cuatro factores se alados es el factor d) el que se refiere a la Multicolinealidad . Cuando se presenta Multicolinealidad de una cierta gravedad, es decir cuando uno o m s de los 2jR se aproximan a 1, se presentan los siguientes problemas al realizar inferencias con el modelo: a) Las varianzas de los estimadores son muy grandes.

5 B) Se puede aceptar con frecuencia la hip tesis nula de que un par metro es cero, aun cuando la correspondiente variable sea relevante. c) Los coeficientes estimados ser n muy sensibles ante peque os cambios en los datos. III-3 2 Detecci n Como la Multicolinealidad es un problema muestral, ya que va asociada a la configuraci n concreta de la matriz X, no existen contrastes estad sticos, propiamente dichos, que sean aplicables para su detecci n. En cambio, se han desarrollado numerosas reglas pr cticas que tratan de determinar en qu medida la Multicolinealidad afecta gravemente a la estimaci n y contraste de un modelo. Estas reglas no son siempre fiables, siendo en algunos casos muy discutibles.

6 A continuaci n se van a exponer dos procedimientos (el factor de agrandamiento de la varianza y el n mero de condici n) que son los que gozan de mayor soporte - especialmente el segundo - en la literatura econom trica actual. Factor de agrandamiento de la varianza En un modelo de regresi n m ltiple, si el regresor j- simo fuera ortogonal con respecto a los dem s regresores (es decir, si la correlaci n con el resto de los regresores fuera nula), la f rmula para la varianza quedar a reducida a n2*2 var()jjTS = (2) El cociente entre (1) y (2) es precisamente el factor de agrandamiento de la varianza (FAV), cuya expresi n ser 21 ()1jjFAVR = (3) As , pues, el ()jFAV es la raz n entre la varianza observada y la que habr a sido en caso de que Xj estuviera incorrelacionada con el resto de regresores del modelo.

7 Dicho de otra forma, el FAV muestra en qu medida se agranda la varianza del estimador como consecuencia de la no ortogonalidad de los regresores. Algunos autores consideran que existe un problema grave de Multicolinealidad cuando el FAV de alg n coeficiente es mayor de 10, es decir, cuando el 2jR>0,90. En algunos programas de ordenador (el SPSS, por ejemplo) se define el t rmino de tolerancia como la diferencia entre 1 y el 2jR. An logamente con el criterio aplicado a las otras medidas, se puede decir que existe un problema de Multicolinealidad cuando la tolerancia<0,10. El problema que tiene el FAV (o el 2jR o la tolerancia) es que no suministra ninguna informaci n que pueda utilizarse para corregir el problema.

8 N mero de condici n Este procedimiento de detecci n de la Multicolinealidad es el m s adecuado entre los actualmente disponibles, seg n afirman Judge et at. (1985) III-4 Fue planteado inicialmente por Rachudel (1971) y desarrollado posteriormente por Belsley et al.(1980), y Belsley (1982). El n mero de condici n, ( )X , es igual a la ra z cuadrada de la raz n entre la ra z caracter stica m s grande (max ) y la ra z caracter stica m s peque a (min ) de la matriz XX, es decir, maxmin()X = (4) Como la matriz XX es de dimensi n kk se obtienen k ra ces caracter sticas, pudi ndose calcular para cada una de ellas un ndice de condici n definido de la siguiente forma: max()iiic = (5) El n mero de condici n mide la sensibilidad de las estimaciones m nimo-cuadr ticas ante peque os cambios en los datos.

9 De acuerdo con los estudios realizados por Belsley y otros (op. cit.), y Belsley (op. cit.), tanto con datos observados como con datos simulados, el problema de la Multicolinealidad es grave cuando el n mero de condici n toma un valor entre 20 y 30. Naturalmente, si este indicador superase el valor de 30, el problema ser a ya manifiestamente grave. Estos valores vienen generalmente referidos a regresores medidos con escala de longitud unidad (es decir, con los regresores divididos por la ra z cuadrada de la suma de los valores de las observaciones), pero no centrados. Parece que no es conveniente centrar los datos (es decir, restarles sus correspondientes medias), ya que esta operaci n oscurece cualquier dependencia lineal que implique al t rmino independiente.

10 Una informaci n de inter s para identificar el origen de la Multicolinealidad es la proporci n que tiene cada ra z caracter stica en cada uno de los regresores, seg n veremos m s adelante. CASO 1 Analizando la Multicolinealidad en el caso del absentismo laboral En el cuadro 1 se han recogido los resultados de la regresi n del programa SPSS en la que la variable end gena es ABSEN y los regresores son, aparte del t rmino independiente o constante, factores que hipot ticamente podr an explicar el absentismo. En concreto, las variables explicativas son EDAD, ANTIGUE y SALARIO (V ase el caso de Econometr a Aplicada). III-5 CUADRO 1. Resultados de la regresi n en el caso 1. Coeficientes no estandarizados B Error t p.