PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

1 Proyecto Guao 1 PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO grado . INTRODUCCI N M ltiples PROBLEMAS , tanto como la aplicaci n de otras ciencias como la vida real, se resuelven mediante ECUACIONES de SEGUNDO grado . Para hallar la soluci n de un problema hay que seguir las mismas pautas que se utilizan para resolver las ECUACIONES de primer grado , es decir, plantear una ecuaci n que concuerde con el enunciado, resolverla y comprobar el resultado compar ndolo con el enunciado.

2 EJEMPLO 1: La suma de los cuadrados de dos n meros pares consecutivos es 724, hallar los n meros. Respuesta: Llamaremos: x al n mero menor (x+2) al n mero mayor Seg n el enunciado tenemos: 2=724 Resolviendo el producto notable: Igualando a cero: Sumando t rminos semejantes: Simplificando por dos: Aplicando la ecuaci n de SEGUNDO grado : donde a=1, b=2 c=-360 Sustituyendo a, b y c tenemos que = = = = 1= y 2= Los n meros son 18, 20 ya que el -20 no cumple con el enunciado de este ejercicio.

3 EJEMPLO 2: Hallar dos n meros positivos, sabiendo que uno es el triple del otro m s cinco y que el producto de ambos es igual a 68. Respuesta: Condici n: x= el n mero ; (3x+5)= el n mero mayor Seg n el enunciado: x(3x+5)=68 Aplicando propiedad distributiva: donde a=3 , b=5 y c=-68 Proyecto Guao 2 Aplicando la ecuaci n de SEGUNDO grado : Sustituyendo a=3 , b=5 y c=-68 tenemos que: = = = = 1= y 2= Los n meros son: 4 y EJERCICIOS RESUELTOS 1.

4 Cu l ser el n mero sabiendo que la suma del triplo del mismo con el doble de su inverso es igual a 5? Respuesta: Condici n: x= el n mero ; el inverso Seg n el enunciado: Eliminando el denominador: Transponiendo t rminos: Aplicando la ecuaci n de SEGUNDO grado : donde a=3,b=-5,c=2 = = = = x1= 2= Los n meros son: 1 y 2. Se tiene una escalera de 10 metros de longitud la cual reposa contra una pared.

5 El pie de la escalera se encuentra a 6 metros de la pared. Si la escalera se Respuesta: Proyecto Guao 3 rueda, el pie se separa 3 metros m s. Qu distancia hacia abajo se mueve la parte superior? d h 10 m h-d Escalera 6 m 3m Para determinar la altura original h aplicamos el teorema de Pit goras: Despejamos h - 36.

6 En la figura anterior podemos observar la escalera en la posici n original con una separaci n de 6 metros de la pared. En esta aparecen tri ngulos rect ngulos. Esto nos indica que debemos usar el teorema de Pit goras. Del tri ngulo de menor altura obtenemos la segunda ecuaci n 2 como h08 sustituimos y resolvemos. 2 2 2 2 Podemos observar que estamos en presencia de una ecuaci n de SEGUNDO grado donde a=1, b=-16,c=45 Aplicando la ecuaci n de SEGUNDO grado .

7 = Proyecto Guao 4 = = = x1= Est no es soluci n excede a la longitud original 2= Est es la soluci n Por consiguiente, la parte superior se mueve hacia abajo 3,64m cuando el pie de la escalera se separa de la pared 3m. 3. Se deja caer una piedra desde una altura de 195 metros Cu nto tiempo tarda en llegar al suelo si g=9,8 m seg2? Respuesta: La ecuaci n de ca da libre: Sustituyendo los valores: Transponiendo t rminos e igualando a cero: -195=0 La ecuaci n es incompleta y es de la forma: Entonces: La piedra tarda 6,3 segundos en llegar al suelo.

8 4. Los tres lados de un tri ngulo rect ngulo son proporcionales a los n meros 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el rea del tri ngulo es 24 m2 Respuesta: Base: 3x Altura:4x Proyecto Guao 5 Hipotenusa: 5x La f rmula del rea es: a= Sustituyendo los valores tenemos que: 24= 24= 48= Despejando x As ; base=3 (2)=6m; altura=4(2)=8m e hipotenusa=5(2)=10m. 5. La suma de dos n meros es 5 y su producto es -84. Hallar los n meros. Respuesta: Seg n el enunciado: =0 Donde a=1, b=-5, c=-84 Aplicando la ecuaci n de SEGUNDO grado : = = = = x1= 2= Los n meros son: 12 y -7.

9 6. Dentro de 11 a os la edad de Pedro ser la mitad del cuadrado de la edad que ten a hace 13 a os. Calcula la edad de Pedro Respuesta: Edad actual: x Edad hace 13 a os: x-13 Edad dentro de 11 a os: x+11 Proyecto Guao 6 Seg n el enunciado: 2 Agrupando t rminos semejantes: donde; a=1, b=-28,c=147 Aplicando la ecuaci n de SEGUNDO grado : = = = = x1= 2= 7 La edad de Pedro ser 21 a os.

10 Se toma solo x1 ya que es este valor el que satisface estas tres condiciones: Edad actual: x=21 a os Edad hace 13 a os: x-13=8 a os Edad dentro de 11 a os: x+11= 32 a os 7. Un jard n rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho est rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su rea es 540 m2. Respuesta: El rea de un rect ngulo viene dado por: a= Sustituyendo los valores: (50 +2x) . (34+2x) Proyecto Guao 7 Aplicando la ecuaci n de SEGUNDO grado : = = = = x1= 2= -45 La anchura del camino es 3 m 8.