ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO - UNAM

1 7. 1 UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolver s ejercicios y problemas que involucren la soluci n de ECUACIONES de PRIMER GRADO y de SEGUNDO GRADO Objetivos espec ficos: 1. Recordar s a qu se llama: ecuaci n id ntica o identidad; ecuaci n condicional o ecuaci n; variable o inc gnita, y constante. 2. Recordar s a qu se llama: soluci n o ra z de una ecuaci n; conjunto de soluciones de una ecuaci n; ECUACIONES equivalentes; ECUACIONES de PRIMER GRADO y ECUACIONES de SEGUNDO GRADO . 3. Recordar s las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones b sicas y las utilizar s para resolver una ecuaci n, transform ndola en ECUACIONES equivalentes.

2 4. Resolver s ECUACIONES de PRIMER GRADO . 5. Resolver s ECUACIONES de SEGUNDO GRADO por el m todo de factorizaci n. 6. Identificar s el discriminante de una ecuaci n de SEGUNDO GRADO y resolver s ECUACIONES de SEGUNDO GRADO mediante la f rmula general. 7. 2 Objetivo 1. Recordar s a qu se llama ecuaci n condicional o ecuaci n; variable o inc gnita; constante, y ecuaci n id ntica o identidad. Se llama ecuaci n a una proposici n algebraica que establece la igualdad entre dos expresiones a las que se llama miembros de la ecuaci n. En una ecuaci n hay una o m s cantidades desconocidas llamadas variables o inc gnitas y n meros llamados constantes.

3 Una ecuaci n que se satisface para todos los valores de las variables para los que est n definidos ambos miembros de la ecuaci n, se llama ecuaci n id ntica o identidad. En una identidad es com n sustituir el signo = por el s mbolo que se lee id ntico a . Ejemplos: 1.) 2222bababa Como se puede observar, la igualdad es cierta para cualquier valor de a, b R puesto que el SEGUNDO miembro es el desarrollo del cuadrado del binomio del PRIMER miembro. 2.) 11112 xxxx ; x 1 La divisi n algebraica de la fracci n del PRIMER miembro da como resultado un cociente de 1 x y un residuo de 1.

4 211xxx xx 2 _____ x 1 x _____ + 1 Por ello, la ecuaci n propuesta es una identidad para todos los valores de x, excepto para 1 x, debido a que este valor produce un cero en el denominador de los dos 7.

5 3 miembros de la ecuaci n. En estos casos se dice que cada miembro de la ecuaci n es indefinido para 1 x. Una ecuaci n condicional, o simplemente una ecuaci n, es una igualdad que resulta verdadera solamente para alguno o algunos valores de las variables. Ejemplos: 1.) 232 xx En este caso la igualdad se cumple nicamente cuando 5 x. Cualquier otro valor de la variable x hace que la proposici n sea falsa. 2.) 10 yx Esta igualdad es verdadera para un n mero infinito de pares de valores de x y de y, pero no para cualquier par de valores. Por ejemplo, se cumple para 5,5 yx; para 10,0 yx; para 4,14 yx, etc tera; pero no se cumple para 4,5 yx;12,0 yx; 3,14 yx etc tera.

6 3.) 0232 xx Esta proposici n es verdadera tanto cuando 2 x como cuando 1 x. Objetivo 2. Recordar s a qu se llama soluci n o ra z de una ecuaci n, conjunto de soluciones de una ecuaci n, ECUACIONES equivalentes, ECUACIONES de PRIMER GRADO y ECUACIONES de SEGUNDO GRADO . Si una ecuaci n se convierte en identidad para algunos valores de las variables, se dice que la ecuaci n se satisface para dichos valores. Los valores de las variables que satisfacen a la ecuaci n se llaman soluci n o ra z de la ecuaci n, y cuando hay m s de una soluci n, a la totalidad de ellas se le llama conjunto de soluciones.

7 7. 4 Resolver una ecuaci n significa encontrar su conjunto de soluciones. Ejemplos: En los siguientes ejemplos, donde x , se encuentra el conjunto de soluciones y se indica el n mero de elementos de dicho conjunto. 1.) xx232621 Se prueba para diferentes valores de x si se encuentra(n) alguno(s) para los que la igualdad se cumple, por ejemplo, para 2 x: 22326221 ; 3261 Para 3 x: 32326321 ; 292623 Para 4 x: 42326421 ; 6262 Puesto que la ecuaci n se satisface para 4 x, y s lo para este valor, la soluci n o ra z es nica y el conjunto de soluciones de la ecuaci n es 4 2.

8 0164 x Nuevamente al hacer la sustituci n directa para diferentes valores de x de entre los n meros enteros, se obtiene que la ecuaci n se satisface para 2 x y para 2 x. Por lo tanto, su conjunto de soluciones tiene dos elementos: { 2, 2} 3.) 092 x Para esta ecuaci n no existe n mero real alguno que la satisfaga ya que tanto 3 x como 3 x hacen que el PRIMER miembro sea igual a 18 y no a cero. En este caso no existe soluci n en por lo que el conjunto soluci n es vac o: 7. 5 4.) 4842222 xxx Se observa que la ecuaci n propuesta es una identidad porque el SEGUNDO miembro es el desarrollo del binomio cuadrado del PRIMER miembro: el cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el SEGUNDO m s el cuadrado del SEGUNDO .

9 Recordando el contenido del objetivo 1, se cumple para todo valor de x en el conjunto de los n meros reales por lo tanto, su conjunto soluci n es {xx } y su n mero de elementos es 5.) 042 x Como en el ejemplo 2.) esta ecuaci n tiene dos ra ces: x = 2 y x = 2, de modo que su conjunto de soluciones tiene dos elementos: { 2, 2}. En los ejemplos 2 y 5 el conjunto de soluciones de la ecuaci n que se analiz en cada uno es el mismo: { 2, 2}. Se dice que dos ECUACIONES son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Al igual que un polinomio, el GRADO de una ecuaci n con una variable, es el mayor exponente al que se encuentra elevada la inc gnita en alguno de los miembros de la ecuaci n.

10 Ejemplos: 1.) El GRADO de la ecuaci n xx239125 es 1, puesto que en los dos miembros de la ecuaci n el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x es 1 2.) La ecuaci n 71295332 yyy es de GRADO 3 porque es la mayor potencia a la que aparece elevada la variable y en el SEGUNDO miembro. 7. 6 3.) Para determinar el GRADO de la ecuaci n 322239136xxx Se analiza la expresi n y al recordar que al elevar un exponente a otra potencia los exponentes se multiplican, entonces, en el PRIMER t rmino la variable 623xx y en los otros t rminos: 42293xx y 33xx . Por lo tanto, el GRADO de la ecuaci n es 6.