Tablas de Verdad - UNAM

1 Introducci n a la L gica Intensional L gica Temporal ProposicionalApuntes de Clase : Marzo 26, 2012Dr. Axel Arturo Barcel AspeitiaTablas de VerdadLas Tablas de Verdad son, por una parte, uno de los m todos m s sencillos y conocidos de la l gica formal, pero la mismo tiempo tambi n uno de los m s poderosos y claros. Entender bien las Tablas de Verdad es, en gran medida, entender bien a la l gica formal misma. En esta sesi n haremos algunas reflexiones alrededor de las Tablas de Verdad c mo pretexto 1. Los M todos Sint ctico y Sem ntico en L gica y Sem nticaSo hacemos caso a lo que Geoffrey Hunter dice en la introducci n a su libro Metalogic (1971, 3), desde el punto de vista de la metal gica, los m todos sint cticos y sem nticos de la l gica formal son m todos alternativos para detectar las verdades l gicas de un lenguaje. Ambas parten del ideal de encontrar un m todo formal es decir, uno que atienda s lo a la forma l gica de los enunciados, no a su contenido, y sea efectivo de manera mec nica (y, por lo tanto, a-priori) para reconocer verdades l gicas.

2 Sin embargo, parten de intuiciones distintas. El m todo de pruebas, fundado por Frege en su Conceptograf a (1879), parte de la intuici n de que el m todo formal a-priori por excelencia es la prueba matem tica y trata de extender la noci n de prueba formal estricta de las matem ticas a la l gica. El m todo sem ntico, por su parte, est fundado en el an lisis l gico-sem ntico de por Tablas de Verdad propuesto por Ludwig Wittgenstein (1921) y Bertrand Russell (1918). Aunque dicho m todo de an lisis era ya conocido en la tradici n l gica-algebraica, y que Peirce (en notas no publicadas, anteriores a 1910) y Post (1920) hab an utilizado ya Tablas de Verdad , fueron Russell y Wittgenstein los que divulgaron este m todo como instrumento de an lisis del significado de los enunciados en t rminos de condiciones de Verdad (en contraste con Frege, qui n identificaba al significado contenido conceptual de los enunciados con su rol inferencial).

3 Seg n Wittgenstein, el m todo de Tablas de Verdad sirve para determinar las condiciones de Verdad de un enunciado, es decir, su significado, en funci n de las condiciones de Verdad de sus elementos at micos. En otras palabras, la tabla de Verdad nos dice en qu situaciones el enunciado es verdadero y en cuales es falso. Esta idea evolucion en la teor a de descripciones de estado de Carnap (1946) y, posteriormente, las teor as sem nticas de mundos posibles de Prior (1956), S. Kanger (1957), Hintikka (1957, 1961) y Kripke (1963) y de situaciones de Barwise y Perry (1983) que siguen vigentes hasta la fecha. C mo los m todos de este tipo surgieron originalmente como m todo de an lisis sem ntico, se les conoce como m todos sem nticos. En contraste, el m todo de pruebas se conoce como sint ctico. Sin embargo, vale la pena mencionar que el m todo de pruebas tambi n ha sido interpretado como un m todo de an lisis sem ntico, pues hay quienes piensan que las reglas de inferencia pueden verse tambi n como definiciones.

4 Fundamentalmente, en su seminal art culo de (1935) G. Gentzen propuso que las reglas de inferencia del m todo de deducci n natural se vieran como definiciones de los conectivos l gicos. Aquellos que utilizan el m todo de pruebas como instrumento de an lisis sem ntico, como Gilbert Harman (1986, 1987) y Robert Brandom (2000), entre otros, se llaman a s mismos inferencialistas, funcionalistas o te ricos del rol conceptual. Aquellos que prefieren teor as del significado m s cercanas a la propuesta de Wittgenstein, son conocidos como representacionalistas, pues los m todos sem nticos que usan pueden interpretarse como involucrando alg n elemento que representa al mundo. En el m todo de Tablas de Verdad , por ejemplo, los distintos renglones pueden verse como representando diferentes maneras en que el mundo pudo haber sido.

5 En contraste, es claro que en el m todo de pruebas formales no hay ning n elemento que represente ning n aspecto del mundo o cosa parecida. Los m todos sint ctico y sem ntico no s lo son m todos formales distintos, que parten de intuiciones metodol gicas distintas, sino que tambi n tratan de capturar las nociones de consecuencia, validez y Verdad l gicas de manera distinta. Desde la perspectiva sint ctica, por ejemplo, una proposici n p es l gicamente verdadera sii es posible determinar la Verdad de p sin apelar en lo absoluto al mundo; mientras que desde la perspectiva sem ntica, p es l gicamente verdadera sii fuera verdadera de cualquier manera como fuera el mundo, p ser a verdadera (p es verdadera en todo mundo posible). De esta manera, los modelos sint cticos acent an el car cter apriori de la l gica y los m todos sem nticos, su necesidad.

6 Por eso, los m todos sem nticos como las Tablas de Verdad funciona a trav s de lo que se ha llamado el m todo de variaci n, en el cual es necesario contar con un aparato para representar todas las maneras en que el mundo puede ser, y verificar si en cada una de ellas, el enunciado es verdadero (por ejemplo, en c lculo proposicional, ver si en toda asignaci n de valores de Verdad a las variables proposicionales, es decir, en todo rengl n de la tabla de Verdad , el enunciado es verdadero).12. Tablas de Verdad y Condiciones Necesarias y Suficientes de la VerdadVarios m todos de prueba del c lculo proposicional, entre ellos el de Tablas de Verdad , se basan en una concepci n muy tradicional del an lisis l gico, seg n la cual el objetivo de ste es determinar las condiciones necesarias y suficientes de la Verdad de una proposici n o enunciado.

7 Cada rengl n de la tabla que hace verdadero al enunciado en cuesti n determina una condici n suficiente para su Verdad . En cada rengl n, los valores asignados a cada variable proposicional determinan una condici n necesaria del rengl n. Pongamos un ejemplo. Supongamos que queremos hacer la tabla de Verdad del siguiente enunciado: (1) Si tu hermana no pasa el examen, estar s en graves primer paso, identificamos las proposiciones at micas y les asignamos una variable: P: Tu hermana pasa el examen Q: Estar s en graves problemas1. Etchemendy (1990), McGee (1992) y otros han argumentado que tal vez esta no sea la mejor manera de capturar la noci n de necesidad l gica y, por lo tanto, tampoco la de Verdad l gica. Pero lo importante para nuestra presentaci n es que, no por simplemente apelar a representaciones del mundo, los m todos sem nticos pierden su car cter formal y dejan de ser a-priori o anal ticosDe esta manera, podemos formalizar (15) como (~P) Q y construir su tabla de la siguiente manera:PQ(~P) QVVVVFVFVVFFF Qu es lo que nos dice el primer rengl n de la tabla ?

8 Nos dice que si P y Q son ambos verdaderos, (~P) Q tambi n lo es. En otras palabras, basta que Tu hermana pasa el examen y Estar s en graves problemas sean verdaderos para que Si tu hermana no pasa el examen, estar s en graves problemas sea verdadero. Es decir, la (condici n) suficiente para que (17) sea verdadero implica que tu hermana pase el examen y t est s en problemas en el futuro. Lo mismo sucede con cada uno de los tres primeros renglones de la tabla (los que hacen verdaderos a (~P) Q). Basta que P sea verdadero y Q falso o que P sea falso y Q verdadero para que (~P) Q sea verdadero. Si analizamos cada rengl n, veremos que el valor asignado a cada columna es una condici n necesaria de cada rengl n. Cuando consideramos el tercer rengl n, por ejemplo, y decimos que es condici n suficiente para que (1) sea Verdad que t hermana no pase el examen es decir, que P sea falsa y que tengas graves problemas es decir, que Q sea verdadera ; cada uno de los dos es necesario para que se d la condici n suficiente.

9 No basta que tu hermana no pase el examen, tambi n es necesario que t est s en graves problemas si tu hermana no pasa el examen. Es por ello que cada rengl n se lee de manera conjuntiva y el enunciado para analizar es equivalente a la disyunci n de cada uno de los renglones de la tabla que lo hacen verdadero. Esto es lo que hacemos expl cito en las formas normales disyuntivas. En nuestro ejemplo, el primer rengl n corresponde a la conjunci n P&Q, el segundo a P&Q y el tercero a (~P)&Q (no incluimos el cuarto, pues no hace verdadera la f rmula). La disyunci n de estas tres conjunciones es la forma normal disyuntiva de (15): ((~P) Q) ((P&Q) v (P&Q) v ((~P)&Q))La forma normal conjuntiva tambi n resulta de concebir la tabla de Verdad como un an lisis cl sico. En este caso, sin embargo, los renglones relevantes son los que hacen falso al enunciado para analizar.

10 Como este tipo de an lisis es el dual del an lisis anterior, todas las operaciones l gicas se invierten. A cada rengl n le corresponde una disyunci n en vez de una conjunci n, y cada conyunto es el opuesto de su correspondiente en el an lisis anterior. Por ejemplo, ya vimos que si da verdadero para la f rmula final, al tercer rengl n de la tabla de dos variables (P y Q), le corresponde la conjunci n ((~P)&Q)). Por dualidad, si diera falso, le corresponder a la disyunci n (Pv(~Q)). Finalmente, en vez de una disyunci n de las conjunciones correspondientes a los renglones que dan verdadero, la forma normal conjuntiva resulta de la conjunci n de las disyunciones correspondientes a cada rengl n que da falso. En el caso de (15), s lo hay un rengl n, as que la forma normal conjuntiva correspondiente tendr a un solo conyunto: la disyunci n correspondiente al cuarto rengl n.