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1 MATEM TICAS TIMONMATE ejercicios resueltos DE TRIGONOMETR A Juan Jes s Pascual 1/22 TRIGONOMETR A A. Introducci n te rica Razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos (en grados y radianes). Significado geom trico de las razones trigonom tricas en la esfera goniom trica. Relaciones entre las razones trigonom tricas. Resoluci n de tri ngulos: Teoremas del seno y del coseno. B. ejercicios resueltos Razones trigonom tricas. Ecuaciones trigonom tricas. Problemas. A. INTRODUCCI N TE RICA Razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo: Las razones trigonom tricas de un tri ngulo rect ngulo son las siguientes funciones: La funci n seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

2 Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un tri ngulo rect ngulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ngulos y del tri ngulo rect ngulo aqu representado: a) Para el ngulo : funci n seno funci n coseno funci n tangente =asenc =bcosc =atgb funci n cosecante funci n secante funci n cotangente 1 ccosec sen a == == 1cseccos b == 1 bcotgtg a ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 2/22 b) Para el ngulo : funci n seno funci n coseno funci n tangente =bsenc =acosc =btga funci n cosecante funci n secante funci n cotangente == 1 ccosecsen b == 1 cseccos a == 1 acotgtg b Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ngulos significativos (en grados y radianes) ngulo sen cos tg ngulo sen cos tg 0 0 rad 0 1 0 60 rad3 32 12 3 30 rad6 12 32 13 90 rad2 1 0 45 rad4 22 22 1 180 rad 0 1 0 Significado geom trico de las razones trigonom tricas en la esfera goniom trica Se llama circunferencia goniom trica a aquella que tiene por radio la unidad.

3 Para una circunferencia goniom trica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonom tricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo. TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 3/22 Relaciones entre las razones trigonom tricas a) Relaciones fundamentales: El seno, el coseno y la tangente de un ngulo est n relacionados mediante la siguiente igualdad: sentgcos = Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pit goras.

4 22sen cos1 + = b) Relaciones del ngulo suma diferencia: () = sensen cos sen cos () = coscos cos sen sen () = tg tgtg1 tg tg c) Relaciones del ngulo doble Es un caso particular del anterior en el que y son iguales. () = sen 22sen cos () = 22cos 2cossen () = 22tgtg 21 tg d) Relaciones del ngulo mitad =21 cossen22 + =21 coscos22 ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 4/22 =+ 21 costg2 1 cos Resoluci n de tri ngulos.

5 Teoremas del seno y del coseno Sea el siguiente tri ngulo. No hace falta que sea rect ngulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno. a) Teorema del seno: ==abcsenA senB senC b) Teorema del coseno: =+ 222a b c 2bccosA B. ejercicios resueltos C lculo de razones trigonom tricas 1. Sabiendo que sen 0,86 = calcula las dem s razones trigonom tricas directas e inversas Soluci n: Las razones trigonom tricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan: sen 0,86 = C B A c b a TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 5/22 El coseno se deduce a partir de la ecuaci n fundamental 22sen cos1 + =: 22222sen cos1 cos1 sencos1 sen + = = = Sustituyendo datos: 221cos1 sencos1 0,86 cos2 = = = La tangente buscada se deduce de la f rmula fundamental sentgcos =.

6 S lo hay que sustituir en ella los valores conocidos: sen0,86tg tgtg 1,72cos0,5 = = = La cosecante es la inversa del seno. 11cosec sen1,260,86 = = = La secante es la inversa del coseno. 11sec cos212 = = = La cotangente es la inversa de la tangente. 11cotg tg0,581,72 = = = 2. Calcula las relaciones trigonom tricas directas de y Soluci n: Las razones trigonom tricas directas son el seno, el coseno y la tangente. Para el ngulo : 40sensen 0,850 = =, 30coscos 0,650 = = 40tgtg 1,3330 = = Observa que se cumple que 22sen cos1 + = ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 6/22 Para el ngulo : 30sensen 0,650 = = 40coscos 0,850 = = 30tgtg 0,7540 = = Observa que tambi n se cumple que 22sen cos1 + =, como no pod a ser de otra manera.

7 3. Halla las razones trigonom tricas de los siguientes ngulos: 135 Soluci n: El ngulo 135 est en el 2 cuadrante. Ser equivalente a un ngulo de 45 para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura. @ 560 Soluci n: Como el ngulo es mayor que 360 lo tratamos del siguiente modo: 560 360 1 vuelta 360 200 200 1 + El ngulo que tenemos que manejar es @200 . Ello es equivalente a un ngulo de 20 en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo 135 45 @ cos 45 sen 45 TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 7/22 4.

8 Sabiendo que 3cos2 = y que est en el 4 cuadrante, halla las dem s razones trigonom tricas. Soluci n: Si est en el 4 cuadrante entonces cos es positivo y sen es negativo. El sen lo deducimos usando la relaci n fundamental de la trigonometr a: 22sencos1 + = As : 2222331sencos1 sen1 sen1242 + = + = = = El resto de razones trigonom tricas se obtiene de forma inmediata: 1sen12tgcos332 = = = ; 1cotg3tg = = ; 13seccos2 = = ; 1cosec2sen = = 5. Sabiendo que 1tg3 = y que est en el 2 cuadrante, halla las dem s razones trigonom tricas. Soluci n: Si est en el 2 cuadrante entonces cos es negativo y sen es positivo. @ Utilizamos la relaci n 221tg1sen + = para hallar sen : 22222111413tg11sensensen3 sen23 + = + = = = @200 20 @ cos 45 sen 20 ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 8/22 @ Hallamos cos a partir de sentgcos = : 3sen32cos1tg23 = = =.

9 @ Las obtenci n de las razones trigonom tricas inversas es inmediata: 12seccos3 = = ; 12cosecsen3 = = ; 1cotg3tg = = 6. Si est en el tercer cuadrante y 1sen2 = , determina las siguientes razones trigonom tricas: ()sen 180 Soluci n: Como est en el tercer cuadrante el sen es negativo, como bien indica el enunciado. Pero, en general, ()sen sen 180 = , as que ( )1sen 1802 = ()sen 180 + Soluci n: Como est en el tercer cuadrante el sen es negativo. Adem s: ()sensen 180 = , as que ( )1sen 1802 = ()cos 180 Soluci n: Como est en el tercer cuadrante cos es negativo. Adem s: ()coscos 180 = . Deduzcamos cos : Usamos la relaci n fundamental de la trigonometr a: 22sencos1 + = 2222113sencos1cos1 cos1244 + = + = = = TIMONMATE ejercicios de trigonometr a resueltos 9/22 Entonces, ( )3cos 1804 = ()cos 180 + Soluci n: Se cumple que ()coscos 180 = +.

10 Entonces: ( )3cos 1804 = + ( )3cos 1804+ = ()tg 180 Soluci n: ( )( )( )1sen 180 22tg 180 3cos 180 34 == = ()tg 180 + Soluci n: ( )( )( )1sen 180 22tg 180 3cos 180 34+ + == =+ Demostraci n de igualdades trigonom tricas: 7. 2sen 3cos 2tg 3sec += + Soluci n: Vamos a tratar de manipular el lado izquierdo de la igualdad, para convertirlo en cos . Teniendo en cuenta que sen tg cos = y que 1sec cos = , podemos escribir: 2sen 32sen 3sen 32tg 3sec 2cos cos + += + + ejercicios de trigonometr a resueltos TIMONMATE 10/22 Operamos esa expresi n con el fin de simplificarla: ()cos 2sen 32sen 32sen 3sen 32sen 32cos cos cos + + +== ++ 2sen 3 +cos = Como acabamos de ver, la igualdad se cumple.