Ejercicios resueltos

1 Ejercicios resueltosBolet n 6 Campo magn eticoEjercicio 1Un electr on se acelera por la acci on de una diferencia de potencial de 100 V y, poste-riormente, penetra en una regi on en la que existe un campo magn etico uniforme de 2 T,perpendicular a la trayectoria del electr on. Calcula la velocidad del electr on a la entradadel campo magn etico. Halla el radio de la trayectoria que recorre el electr on en el interiordel campo magn etico y el periodo del on 11. Aplicando la ley de la conservaci on de la energ a mec anica al movimiento del electr ondentro del campo el ectrico, y suponiendo que el electr on est a inicialmente en reposo,se tiene: Ec+ Ep= 0;12m v2= q VDespejando:v= 2q Vm= 2 ( 1,6 10 19) 1009,1 10 31= 6 106m/s2. Al penetrar el electr on perpendicularmente al campo magn etico, act ua una fuerzasobre el perpendicular a la velocidad y por ello describe una orbita la segunda ley de Newton: ~F=m~aN;|q|v Bsin 90 =mv2 RDespejando:R=m v|q|B=9,1 10 31 6 1061,6 10 19 2= 1,8 10 53.

2 El periodo del movimiento es:T=2 Rv=2 1,7 10 56 106= 1,8 10 11sEjercicio 2En una regi on del espacio donde existe un campo magn etico uniforme~Bse lanza unapart cula cargada con velocidad~v=v~ , observ andose que no se desv a de su trayectoria. Cu al ser a la trayectoria al lanzar la part cula con una velocidad~v =v ~ ? Representadicha trayectoria en los casos de que la carga sea positiva y on 2Si la part cula no se desv a de su trayectoria significa quese lanza en la direcci on delcampo magn etico. Por tanto, este tiene la direcci on del ejeXen cualquiera de sus al campo magn etico la expresi on~B=B~ y eligiendo el sistema de referenciade la figura adjunta, se tiene que las expresiones de la fuerzamagn etica en los dos casosson:XYZvFBq(+)Carga positiva:~F+=q(~v ~B) =q v B(~ ~ ) =q v B( ~k)2 XYZBFq( )vCarga negativa:~F =q(~v ~B) = q v B(~ ~ ) =q v B~kEl m odulo de la fuerza es constante y la direcci on es siempre perpendicular a la ve-locidad de la part cula, por lo que genera una aceleraci onnormal.

3 La orbita es circular,recorrida con velocidad constante y est a contenida en el plano formado por~Fy~v. En losdos casos la orbita est a contenida en el planoY 3 Dos is otopos de un elemento qu mico, cargados con una solacarga positiva y con masasde 19,91 10 27kg y 21,59 27kg, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de6,7 105m/s. Seguidamente, entran en una regi on en la que existe un campo magn eticouniforme de 0,85 T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determina larelaci on entrelos radios de las trayectorias que describen las part culas y la separaci on de los puntos deincidencia de los is otopos cuando han recorrido una on 32R22R1Fv31. Al entrar las part culas perpendicularmente al campo magn etico, act ua sobre ellasla fuerza de Lorentz que les obliga a describir una trayectoria circular. Aplicando lasegunda ley de Newton, se tiene: ~F=m~aN;|q|v Bsin =mv2R R=m v|q|BDenominandoR1al radio de la trayectoria del is otopo de menor masa yR2al radiode la trayectoria del otro is otopo, resulta que:R1=m1v|q|B;R2=m2v|q|BComo los is otopos tienen la misma carga el ectrica, cuantomayor es la masa de lapart cula mayor es el radio de la trayectoria.

4 Dividiendo miembro a miembro las dosecuaciones, queda que la relaci on de radios es:R1R2=m1m2=19,91 10 2721,59 10 27= 0,9222. Despu es de recorrer una semicircunferencia, los iones inciden en puntos situados auna distanciad= 2 Rdel punto de entrada en el campo magn etico y su separaci ones: 2R2 2R1= 2 (R2 0,922R2) = 0,156R2 SustituyendoR2por su valor, se tiene que la separaci on es:0,156m2v|q|B= 0,15621,59 10 27 6,7 1051,6 10 19 0,85= 0,0166 mEjercicio 4Un chorro de iones es acelerado por una diferencia de potencial de 10000 V, antes depenetrar en un campo magn etico de 1 T. Si los iones describenuna trayectoria circularde 5 cm de radio, determina su relaci on on 4La variaci on de la energ a cin etica que experimentan losiones es:12m v2=|q| VAplicando la segunda ley de Newton a la zona donde act ua el campo magn etico, resultaque: ~F=m~aN;|q|v Bsin =mv2 RDespejando la velocidad en las ecuaciones anteriores e igualando, se tiene:2|q| Vm=|q|2R2B2m2La relaci on carga-masa es:|q|m=2 VR2B2=2 10000(5 10 2)2 12= 8 106C/kg4 Ejercicio 5Un dispositivo para comprobar la acci on de un campo magn etico sobre un conductorpor el que pasa una corriente el ectrica es la balanza denominada Cotton y que responde alesquema de la figura adjunta.

5 Inicialmente la balanza se equilibra con el circuito cerrar el circuito se observa que hay que a nadir una masa de 12 g en el platillo de laspesas para equilibrar la balanza cuando la varilla, que tiene una longitud de 10 cm, esrecorrida por una intensidad de la corriente el ectrica de 2A. Calcula el m odulo del campomagn on 5La balanza se desequilibra porque sobre la varilla act ua una fuerza vertical y de sentidohacia abajo y cuyo m odulo es igual al m odulo del peso de las pesas a L B=m g B=m gI L=12 10 3 9,82 10 10 2= 0,59 TEjercicio 6 Una varilla, de 200 g y 40 cm de longitud, es recorrida por una intensidad de 2 A. Si lavarilla est a apoyada en una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento 0,3, calculael m odulo y la direcci on del campo magn etico para que comience a on 6 FmFrI5 Para que la varilla se deslice el m odulo de la fuerza magn etica tiene que ser igual alm odulo de la fuerza de rozamiento.

6 |~Fm|=|~Fr| I L Bsin = N= m gLa fuerza magn etica es m axima cuando el campo es perpendicular a la intensidad de lacorriente. Despejando, resulta que:B= m gI L=0,3 0,2 9,82 0,40= 0,735 TEjercicio 7Un alambre de 9 cm de longitud transporta una intensidad de lacorriente el ectricade 1 A seg un la direcci on del eje X. Si el conductor se encuentra inmerso en un campomagn etico de 0,02 T de intensidad situado en el planoXYy formando un angulo de 30 con el ejeX, qu e fuerza act ua sobre el cable?Soluci on 7 Las expresiones de los diferentes vectores, en el sistema dereferencia de la figura son:~L= 0,09~ m;~B= 0,02 cos 30 ~ + 0,02 sin 30 ~ TLa componenteBxdel campo es paralela al conductor y por ello no act ua con ningunaI30oXYZB30oBxByXYZBLF fuerza. Solamente act ua sobre el conductor la componenteBydel campo.~F=I(~L ~B) = 1 (0,09~ 0,02 sin 30 ~ )Aplicando las reglas del producto vectorial, resulta que lafuerza que act ua sobre el con-ductor es:~F= 9 10 4~kN6 Ejercicio 8La espira rectangular de la figura adjunta puede girar alrededor del ejeYy transportauna corriente de 10 A en el sentido indicado en el dibujo.

7 La espira est a en una regi on delespacio donde existe un campo magn etico de m odulo 0,2 T y de direcci on y sentido el dela parte positiva del ejeX. Calcula la fuerza que act ua sobre cada uno de los lados de laespira y el momento necesario para mantener al espira en la posici on A6 cm8 cmSoluci on 8 Sobre los lados que tienen una longitud de 6 cm act uan dos fuerzas paralelas al ejeY, que se aplican en la misma recta y cuyo sentido es hacia el exterior de la espira, sum odulo es:F =I L Bsin = 10 0,06 0,2 sin 30 = 0,06 NSobre los lados paralelos del ejeYact uan dos fuerzas que no se aplican en la misma30oF F FFdBZXYIIII7recta. Su m odulo es:F=I L Bsin = 10 0,08 0,2 sin 90 = 0,16 NEstas dos fuerzas forman un par de fuerzas que hace girar la espira hasta que el plano quela contiene se sit ua perpendicularmente al campo magn etico. Como la espira est a fija porel lado que coincide con el ejeY, el m odulo del momento de la fuerza que act ua sobre elotro lado que la hace girar es:M=F d= 0,16 0,06 cos 30 = 8,3 10 3N mPara mantener la espira en su posici on hay que aplicar un momento del mismo m odulo ysentido 9 Por una espira cuadrada de 2 cm de lado pasa una intensidad de la corriente el ectricade 1,6 A.

8 El plano que contiene la espira est a inmerso en un campo magn etico de 0,6 Tque forma un angulo de 30 con el citado plano. Cu al es el m odulo del momento del parde fuerzas que act ua sobre la espira?Soluci on 9Si el campo magn etico forma un angulo de 30 con el plano que contiene la espira,entonces el vector superficie forma un angulo de 60 con el campo magn m odulo del momento del par de fuerzas que act ua sobre la espira queda determinadopor la expresi on:M=I S Bsin = 1,6 (0,02)2 0,6 sin 60 = 3,3 10 4N mEjercicio 10 Dos conductores rectos y paralelos est an separados por unadistancia de 10 cm y est anrecorridos en el mismo sentido por sendas intensidades de lacorriente el ectrica de 10 A y20 A. A qu e distancia de los conductores se anula el campo magn etico?Soluci on 10 Cada conductor genera un campo magn etico cuyas l neas de campo son circunferenciasconc entricas en ellos, y cuyo sentido es el indicado por el giro de un sacacorchos que avanzaseg un la intensidad de la corriente el ectrica (regla de lamano derecha).

9 El campo magn etico solamente se anula en un punto situado enel segmento que une alos dos conductores. Si ese punto est a a una distanciar1del conductorI1y a una distanciar2del conductorI2, entonces:r1+r2= 10 cm8r2 IIBBr11221 Aplicando la ley de Biot y Savart para un conductor rectil neo, denominandoI1= 10 AeI2= 20 A e igualando los m odulos del campo magn etico, resultaque:B1=B2; I12 r1= I22 r2 10r1=20r2 Operando y agrupando las ecuaciones, se tiene el sistema de ecuaciones:10r2= 20r1r1+r2= 10} r1=103cmEl campo magn etico se anula en el segmento que une a los dos conductores y a unadistancia de 10/3 cm del conductor por el que pasa una intensidad de la corriente el ectricaI1= 10 11 Dos conductores rectil neos, paralelos y muy largos, est an separados por una distanciade 12 cm. Por los conductores pasan corrientes el ectricas en el mismo sentido y de inten-sidadesI1= 12 A eI2= 18 A. Calcula el campo magn etico en los dos puntos situadossobre una recta perpendicular a los conductores y que est a a6 cm del on 11El m odulo del campo que crea un conductor rectil neo, indefinido a una distanciaadel mismo es:B= 0I2 a1.

10 En el puntoO1, de la figura, situado a 6 cm del conductorI1y a 18 cm del conductorI2, los campos magn eticos tienen la misma direcci on, perpendicular a la recta queune los conductores, y sentido. El m odulo del campo total es:B=B1+B2= 0I12 a1+ 0I22 a2=4 10 72 [120,06+180,18]= 2 10 5T91OO2I1I212 cm2. En el punto medio entre los dos conductores,O2, los campos magn eticos tienenla misma direcci on y sentidos opuestos. Aplicando el principio de superposici on, elcampo total tiene el mismo sentido que el que crea el B1= 0I22 a2 0I12 a1=4 10 72 [180,06 120,06]= 2 10 5 TEjercicio 12 Dos alambres conductores paralelos y lo suficientemente largos, est an separados poruna distancia de 0,3 m y est an recorridos por sendas corrientes con intensidades de sentidoscontrarios de 160 A. Determina la fuerza con la que interaccionan los alambres por cadametro de longitud y justifica si es atractiva o repulsiva mediante los diagramas on 12Se elige como sistema de referencia el indicado en la figura adjunta, con los conductoresparalelos al ejeY.