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1 Grundlagen Inhaltsverzeichnis Kr fte und Kraftarten o Bestimmung von Kr ften .. Seite 1 o Graphische Darstellung .. Seite 1 o Einheit der Kraft .. Seite 1 o Kr ftegleichgewicht .. Seite 1 o Kraftarten .. Seite 2 u ere und innere Kr fte o Einteilung der u eren Kr fte .. Seite 3 o Schnittprinzip / Schnittkr fte (Innere Kr fte) .. Seite 3 Das zentrale Kr ftesystem o Kr fteparallelogramm .. Seite 4 o Krafteck .. Seite 4 o Zerlegung von Kr ften .. Seite 4 Momente o Erl uterung .. Seite 5 o Definition .. Seite 5 Auflager o Bewegliche Auflager .. Seite 6 o Feste Auflager .. Seite 6 o Fest eingespannte Auflager .. Seite 6 Zustandslinien o Allgemein .. Seite 7 o Horizontale und vertikale Einzellasten .. Seite 7 o Gleichm ig verteilte Streckenlast .. Seite 8 o Einzelmoment .. Seite 9 o Zusammenh nge .. Seite 10 Statische (Un-)Bestimmtheit o Abz hlkriterium.

2 Seite 11 o Beispiele statisch bestimmter Systeme .. Seite 12 o Beispiele statisch unbestimmter Systeme .. Seite 12 o Beispiele statisch instabiler Systeme .. Seite 13 Lastannahmen o St ndige Lasten / Verkehrslasten .. Seite 14 o Rechenwerte f r Eigenlasten .. Seite 14 Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im M rz 2004 Grundlagen Kr fte und Kraftarten Seite 1 Kr fte und Kraftarten Kr fte sind nicht direkt wahrnehmbar. Sie k nnen nur anhand ihrer Wirkung erkannt und gemessen werden. Kr fte sind vektorielle Gr en. Zu ihrer eindeutigen Bestimmung sind demnach drei Angaben notwendig, n mlich Gr e, Richtung und Angriffspunkt. Die Bestimmung von Kr ften erfolgt durch: Zahlenangaben (notwendig f r analytische L sungen) oder zeichnerische Angaben (notwendig f r zeichnerische L sungen unter Verwendung von Kr ftepl nen) oder eine gemischte Darstellungsform zur gr eren bersichtlichkeit und als anschauliches Hilfsmittel f r L sungsans tze.

3 Zur graphischen Darstellung sollten folgende Vorgaben eingehalten werden: Die Gr e der Kraft wird durch die Zahlenangabe oder durch die L nge des Kraftpfeils unter Verwendung eines Kr ftema stabes ( 1cm Pfeill nge entspricht 1kN) dargestellt. Die Richtung der Kraft wird durch die Pfeilspitze festgelegt. Die Lage der Kraft wird durch den Angriffspunkt der Kraft oder durch die Gerade, in der der Kraftvektor liegt (Wirkungslinie) bestimmt. Die Einheit der Kraft Newton [ N ] beruht auf der Grundlage des Systems der Internationalen Einheiten (SI). Ein Newton ist die Kraft, die der Masse 1 kg eine Beschleunigung von 1 m/s erteilt. Eine Kraft, die auf einen K rper einwirkt, bewirkt eine Bewegungs nderung des K rpers, an dem sie angreift, solange der K rper nicht durch eine andere Kraft im Gleichgewicht gehalten wird. F r den Gleichgewichtszustand muss demnach noch mindestens eine zweite Kraft in der gleichen Wirkungslinie und der gleichen Gr e, aber entgegengesetzter Richtung vorhanden sein.

4 Der angreifenden (aktiven) Kraft wird durch eine widerstehende (passive) Kraft das Gleichgewicht gehalten. Das Gleichgewicht kann auch durch mehrere Kr fte hergestellt werden. Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im M rz 2004 Grundlagen Kr fte und Kraftarten Seite 2 Kr fte und Kraftarten Im dargestellten Beispiel wirkt auf den symbolischen Tr ger die Kraft F (Aktionskraft). Dadurch entstehen in den Lagerpunkten die passiven Kr fte F an den Stellen A und B (Reaktionskr fte). Soll der Tr ger in Ruhe bleiben, so m ssen die drei Kr fte im Gleichgewicht stehen. Ist diese Bedingung nicht erf llt, w rde der Tr ger beschleunigt. Kr fte, die auf ein Tragwerk einwirken, k nnen in unterschiedlichen Formen auftreten: Bezeichnung Darstellung Beschreibung Einheiten Punktkraft Die Kraft greift an nur einem Punkt an. Idealisierte Kraftform, die sehr h ufig Ver-wendung findet. [ N ] [ kN ] Linienkraft Kraft je L ngeneinheit.

5 Die Kr fte wirken entlang einer Linie. Idealisierte Kraftform, die sehr h ufig Verwendung findet. [ N/m ] [ kN/m ] Fl chenkraft Kraft je Fl cheneinheit. Angriffspunkt der Kraft ist die Fl che. F r Berechnungen wird die Fl chenkraft meist in eine Linienkraft ungeformt. [ N/m ] [ kN/m ] Volumenkraft Kraft je Volumeneinheit. Wirkt r umlich verteilt an allen Elementen eines K rpers infolge von Beschleunigungen. [ N/m ] [ kN/m ] Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im M rz 2004 Grundlagen u ere und innere Kr fte Seite 3 u ere und innere Kr fte Zu den u eren Kr ften eines Bauwerks z hlen die als Aktionen auf das Tragwerk einwirkenden Lasten sowie die daraus Resultierenden St tz- und Auflagerkr fte als Reaktionen. Alle u eren Kr fte an einem Bauteil m ssen untereinander im Gleichgewicht stehen. Ihre Ursache liegt in den Eigenlasten, im Betriebszu-stand und/oder in den physikalischen und chemischen Ver nderungen der Baustoffe oder des Baugrundes.

6 Die u eren Kr fte werden in st ndige Lasten und Verkehrslasten unterteilt: St ndige Lasten Verkehrslasten St ndige Lasten sind die Lasten der Bauk rper selbst (Eigenlasten) Sie sind im Bauwerk dauernd vorhanden Sie werden mit G (f r Einzellasten) und g (f r verteilte Lasten) bezeichnet Verkehrslasten sind bez glich Gr e und Angriffspunkt ver nderlich Sie r hren aus den Eigenlasten von Personen, Fahrzeugen, Einrichtungs-gegenst nden, Schnee, usw. Sie werden mit Q (f r Einzellasten) und q (f r verteilte Lasten) bezeichnet. Infolge der Wirkung der u eren Kr fte entstehen im Inneren des Bauteils Kr fte, die man in Form von Schnittkr ften (Schnittgr en) ermittelt. Zur Ermittlung der Schnittkr fte wird das Tragwerk im betrachteten Querschnitt durch einen gedanklichen Schnitt getrennt. Zur Herstellung des Gleichgewichts an den beiden Tragwerksteilen m ssen an den jeweiligen Schnittufern zus tzlich zu den vorhandenen u eren Kr ften noch die inneren Kr fte N, M und Q eingef hrt werden.

7 Hierbei steht N f r Normalkraft (oder L ngs- bzw. Axialkraft), M f r Biegemoment und Q f r Querkraft. Durch das Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ist es m glich, die wirkenden Beanspruchungen an jeder beliebigen Stelle des Systems zu bestimmen. Die ermittelten Werte bilden die Grundlage f r anschlie ende Bemessungsverfahren. Gedachter Schnitt Darstellung der Schnittkr fte Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im M rz 2004 Grundlagen Zentrales Kr ftesystem Seite 4 Das zentrale Kr ftesystem Kr fteparallelogramm Greifen in einem Punkt A zwei Kr fte F1 und F2 an, kann mit Hilfe des von ihnen aufgespannten Parallelogramms die resultierende Kraft R ermittelt werden. Die Resultierende greift ebenfalls in A an und wirkt in der Ebene der beiden Kr fte F1 und F2. Krafteck Mit Hilfe des Kraftecks l t sich die Resultierende R von beliebig vielen Kr ften ermitteln, die in einem Punkt angreifen.

8 Hierzu wird jede Kraft mit ihrem Fu ende an die Kraftspitze der vorangegangenen Kraft angeschlossen. Die Resultierende R schlie t das Krafteck in Betrag und Richtung. Zerlegung von Kr ften Ans tze f r analytische Betrachtungen k nnen grunds tzlich aus den geometrischen Beziehungen der zeichnerischen L sung hergeleitet werden. Eine zweckm ige M glichkeit zur Zerlegung von Kr ften ist die Aufteilung in ihre Horizontal- bzw. Vertikalkomponenten. Hierbei gilt: FH = F * cos D bzw. FV = F * sin D. Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im M rz 2004 Grundlagen Momente Seite 5 Momente Erl uterung: Die Definition des Momentes l sst sich zweckm ig mit der Wirkungsweise eines Drehmomentschl ssels ( ) erl utern. Mit seiner Hilfe werden Schrauben mit einem bestimmten Anzugsmoment befestigt. Definition: Die Kraft F (Mensch) greift am Lastangriffspunkt an (Stielende des Drehmomentschl ssels).

9 Sie bewirkt eine Drehung des Bezugspunktes (Schraube). Die Kraft, mit der die Schraube gedreht wird (Moment) ist abh ngig von der Gr e der angreifenden Kraft, sowie deren Hebelarm bez glich des Drehpunktes. Somit ergibt sich f r das Moment folgende Definition: Das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt ist das Produkt aus dem absoluten Betrag der Kraft und dem senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie vom Bezugspunkt. Den Abstand a bezeichnet man als Hebelarm. Entsprechend dem Produkt aus Kraft und L nge ergibt sich die Einheit des Moments, Nm oder kNm. Moment = Kraft * Hebelarm bzw. M = | F | * a Die mathematisch korrekte Definition lautet: | M | = | F | x a Der Betrag des Drehmomentes ist gleich dem Vektorprodukt aus dem Betrag der angreifenden Kraft und dem senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie vom Drehpunkt. Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im M rz 2004 Grundlagen Auflager Seite 6 Auflager Bewegliche Auflager Bewegliche Auflager erlauben Drehungen des Tragwerks um den Lagerpunkt und Verschiebungen in Richtung der Bewegungsbahn.

10 Gesperrt wird die Verschiebung senkrecht zur Bewegungsbahn. Da sie einen Freiheitsgrad aufheben, werden sie als einwertig bezeichnet. Feste Auflager oder Auflagergelenke Feste Auflager oder Auflagergelenke erlauben wie die beweglichen Auflager eine Drehbarkeit um den Auflagerpunkt. Jedoch unterbinden sie die horizontale und vertikale Verschiebungsm glichkeit. Da das feste Auflager zwei Freiheitsgrade aufhebt, wird es als statisch zweiwertig bezeichnet. Fest eingespannte Auflager Bei eingespannten Auflagern wird jede Bewegungsm glichkeit (Drehung und Verschiebung) gesperrt. Da sie drei Freiheitsgrade aufheben, werden sie als dreiwertig bezeichnet. Diplomarbeit Tobias Renno Kaiserslautern, im M rz 2004 Grundlagen Zustandslinien Seite 7 Zustandslinien Allgemein Im folgenden sollen die Darstellungsform f r Zustandslinien deutlich gemacht und Zusammen-h nge zwischen Normalkraft,- Querkraft- und Momentenlinie veranschaulicht werden.