Transcription of Exo7 - Cours de mathématiques
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Exo7 - Cours de mathématiques
Arithm tiqueVid o partie 1. Division euclidienne et pgcdVid o partie 2. Th or me de B zoutVid o partie 3. Nombres premiersVid o partie 4. CongruencesFiche d exercices Arithm tique dansZPr ambuleUne motivation : l arithm tique est au c ur du cryptage des communications. Pour crypter un message on commencepar le transformer en un ou plusieurs nombres. Le processus de codage et d codage fait appel plusieurs notionsde ce chapitre : On choisit deuxnombres premierspetqque l on garde secrets et on posen=p q. Le principe tant que m meconnaissantnil est tr s difficile de retrouverpetq(qui sont des nombres ayant des centaines de chiffres). La cl secr te et la cl publique se calculent l aide de l algorithme d Euclideet descoefficients de B zout. Les calculs de cryptage se ferontmodulon. Le d codage fonctionne gr ce une variante dupetit th or me de Division euclidienne et Divisibilit et division euclidienneD finition ,b Z.
3.Calculer pgcd(560,133), pgcd(12121,789), pgcd(99999,1110). 4.Trouver tous les entiers 1 6 a 650 tels que a et 50 soient premiers entre eux. Même question avec 52. 2. Théorème de Bézout 2.1. Théorème de Bézout Théorème 2 (Théorème de Bézout). Soient a, b des entiers. Il existe des entiers u,v 2Z tels que au+ bv = pgcd(a, b)
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