Carlos Ivorra Castillo GEOMETRÍA - Universitat de València

1 Carlos Ivorra CastilloGEOMETR ALa geometr a ilumina el intelecto y templa lamente. Todas sus pruebas son claras y caben errores en el razonamiento geom trico,pues est bien dispuesto y ordenado. As , no es pro-bable que la mente que se aplica a la geometr a conregularidad cometa errores. De este modo, quiensabe geometr a adquiere Khaldun ndice GeneralPre mbuloixIntroducci nxiiiCap tulo I: La geometr a Axiomas de incidencia .. Axiomas de ordenaci n .. Dimensi n .. ngulos y tri ngulos .. Axiomas de congruencia .. Suma de ngulos.

2 M s propiedades de segmentos, ngulos y tri ngulos .. Perpendiculares .. C rculos y circunferencias .. 37 Cap tulo II: La geometr a Proporciones entre segmentos .. Longitud de segmentos. Los n meros reales .. Amplitud de ngulos .. Arcos y sectores circulares .. El axioma de continuidad .. 67 Cap tulo III: La geometr a eucl Paralelas .. Semejanza de tri ngulos .. Relaciones entre ngulos y arcos .. Las razones trigonom tricas .. Propiedades de los tri ngulos .. 95 Cap tulo IV: La geometr a anal Vectores.

3 Espacios afines .. Espacios eucl deos .. Circunferencias .. Trigonometr a .. 136vvi NDICE GENERALCap tulo V: N meros complejos y Adjunci n de una unidad imaginaria .. La geometr a de los n meros complejos .. Cuaternios .. La geometr a de los cuaternios .. 164 Cap tulo VI: Construcciones con regla y comp Constructibilidad .. Construcci n de pol gonos regulares .. Construcciones con regla .. Construcciones con comp s .. Construcciones con regla marcada .. Construcciones con regla marcada y comp s .. Construcciones con regla y transportador.

4 215 Cap tulo VII: Biyecciones El grupo af n y el grupo lineal .. Homotecias .. El teorema fundamental de la geometr a af n .. Isometr as y semejanzas .. Clasificaci n de isometr as .. Orientaci n .. rea de figuras planas .. 253 Cap tulo VIII: La geometr a af Los axiomas de la geometr a af n .. Variedades afines .. Introducci n de coordenadas .. Los axiomas de ordenaci n .. Los axiomas de congruencia .. 287 Cap tulo IX: La geometr a Los axiomas de la geometr a proyectiva .. Espacios proyectivos anal ticos.

5 Geometr a proyectiva anal tica y sint tica .. Dualidad .. Perspectividades .. Cuadril teros completos .. Espacios sobre cuerpos ordenados .. 339 Cap tulo X: C Las secciones c nicas .. Cu dricas proyectivas .. C nicas proyectivas .. C nicas afines .. Homograf as entre haces de rectas .. El teorema de Steiner .. 384 NDICE GENERALviiCap tulo XI: La geometr a parab Espacios parab licos .. Espacios eucl deos .. C nicas eucl deas .. Homograf as de la esfera .. 425 Cap tulo XII: La geometr a hiperb El plano hiperb lico.

6 Medida de segmentos y ngulos .. Trigonometr a hiperb lica .. El modelo de Poincar .. Las isometr as hiperb licas .. La geometr a diferencial hiperb lica .. 453 Cap tulo XIII: La geometr a el El plano el ptico .. Bil teros y tri ngulos .. Isometr as el pticas .. Trigonometr a el ptica .. La geometr a diferencial el ptica .. 475Ap ndice A: La geometr a La proyecci n estereogr fica .. Transformaciones de M bius .. La geometr a circular .. 492 Bibliograf a499 ndice de Materias501 Pre mbuloEste libro es una versi n extendida de mi libro original del mismo t s de haber a adido bastante material nuevo, otra diferencia sustancialrespecto de la versi n anterior es que ahora las nuevas versiones de los libros lgebra[Al],Geometr a[G] yAn lisis matem tico[An] est n concebidas para serle das simult neamente, mientras que las anteriores pod an leerse sucesivamenteen el orden indicado.

7 Esto ha hecho que parte del material original haya pasadode un libro a otro en las versiones s concretamente, si los cap tulos de los tres libros se leen de arriba haciaabajo y de izquierda a derecha seg n la disposici n de la tabla de la p ginasiguiente, cada uno s lo requiere el conocimiento de los cap tulos precedentes,salvo por unas pocas excepciones indicadas despu s de la tabla. Consideramosque este orden es mucho m s natural en la medida en que imita lo que ser a elestudio simult neo de tres asignaturas y se aprovecha dicha simultaneidad paraenfatizar las relaciones entre libro [An] es el nico que no cubre todos los contenidos de la versi nanterior, sino que los ltimos cap tulos de dicha versi n ser n tratados en nuevasversiones de mi serie de libros, empezando por el deGeometr a primer cap tulo de [Al]

8 Es una introducci n a la teor a de conjuntos, cuyosaspectos m s t cnicos (los relacionados con el axioma de elecci n y la teor a decardinales infinitos) se han relegado a dos ap ndices. La teor a descrita es lateor a de Zermelo, que resulta m s que suficiente para formalizar los contenidosde los tres libros. El nico inconveniente es que se queda corta para desarrollarplenamente la teor a de cardinales infinitos, pero hemos preferido reducirla a loimprescindible, aun al precio de no poder enunciar con total precisi n algunosresultados sobre rango y dimensi n de m dulos y espacios vectoriales de dimen-si n infinita que, aunque resulta natural presentarlos al tratar estos conceptos,no son realmente necesarios en ning n contenidos de [Al I] (y sus ap ndices)

9 Sirven de base a los tres su vez, los cap tulos [G II] y [An I] se apoyan en las estructuras algebraicasintroducidas en [Al II]. En estos dos cap tulos se presentan dos construccionesalternativas de los n meros reales, mediante secciones de Dedekind en [G II] ymediante sucesiones de Cauchy en [An I]. Por otra parte, el cap tulo [An II] seapoya en la geometr a anal tica expuesta en [G IV].ixxPre mbulo lgebraGeometr aAn lisisAl IPreliminaresAl IIG IAnillosGeometr a absolutaAl IIIG IIAn IAritm ticaGeometr a arquimedianaN meros realesAl IVG IIIA plicacionesGeometr a eucl deaAl VG IVAn IIM dulosGeometr a anal ticaTopolog aAl VIG VAn IIIG ruposComplejos y cuaterniosCompacidad.

10 Al VIIG VIAn IVCuerposRegla y comp sC lculo una variableAl VIIIG VIIAn V lgebra linealBiyecciones afinesC lculo varias variablesAl IXG VIIIAn VIEcuacionesGeometr a af nVariedadesAl XG IXAn VIIE nteros algebraicosGeometr a proyectivaEcuaciones diferencialesAl XIG XAn VIIIE nteros cuadr ticosC nicasMedida IAl XIIG XIAn IXFactorizaci n idealGeometr a parab licaMedida IIAl XIIIG XIIAn Ap AComplementosGeometr a hiperb licaCompleci n de un Ap AG XIIIAn Ap BAx. de elecci nGeometr a el pticaFracciones continuasAl Ap BG Ap AAn Ap CConjuntos infinitosGeometr a inversivaDin mica cl sicaLas nicas dependencias que no respetan el orden indicado en la tabla pre-cecente son las siguientes: La secci n [G ] usa la medida de Jordan definida en [An ], pero dichasecci n puede leerse antes de [G ], pues no requiere nada intermedio.