Sujets de l’année 2004-2005 1 Devoir à la maison

1 Enonc s et corrections : Sandra DelaunayExo7 Sujets de l ann e 2004-20051 Devoir la maisonExercice 1 SoitMla matrice r elle 3 3 suivante :M= 02 13 20 221 1. D terminer les valeurs propres Montrer queMest D terminer une base de vecteurs propres etPla matrice de On aD=P 1MP, pourk NexprimerMken fonction deDk, puis [002563]Exercice 2 SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), on appelleprojecteurun endomorphismepdeEv rifiantp p=p. Soitpun Montrer que IdE pest un projecteur, calculerp (IdE p)et(IdE p) Montrer que pour tout~x Imp, on ap(~x) =~ En d duire que Impet kerpsont suppl Montrer que le rang depest gal la trace dep. (On rappelle que la trace de la matrice d un endomor-phisme ne d pend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.)

2 CorrectionH[002564]Exercice 3 SoitA= (ai j)16i,j6nune matrice carr en n. On veut d montrer le r sultat suivant d Hadamard : Supposonsque pour touti {1, ,n}, on ait|aii|>n j=1,j6=i|ai j|alorsAest Montrer le r sultat pourn= SoitB, la matrice obtenue en rempla ant, pourj>2, chaque colonnecjdeApar la colonnecj a1ja11c1,Calculer lesbi jen fonction desai j. Montrer que si les coefficients deAsatisfont les in galit s ci-dessus,alors pouri>2, on a|bii|>n j=2,j6=i|bi j|.3. D montrer le r sultat de Hadamard [002565]12 PartielExercice 4 SoitA= 1000101 1 2 D montrer queAest diagonalisable et trouver une matricePtelle queP 1 APsoit [002566]Exercice 5 SoitA= 1 1 10 101 01 Factoriser le polyn me caract ristique deA.

3 La matriceAest-elle diagonalisable dansR? dansC?CorrectionH[002567]Exercice 6 SoitA=(a cc d) M2(R)D montrer queAest diagonalisable [002568]Exercice 7 SoitAla matrice suivanteA= 0 1 11 0 11 1 0 CalculerA2et v rifier queA2=A+2I3. En d duire queAest inversible et donner son inverse en fonction [002569]Exercice 8 SoitAune matrice carr e d ordren. On suppose queAest inversible et que Rest une valeur propre D montrer que 6= D montrer que si~xest un vecteur propre deApour la valeur propre alors il est vecteur propre deA 1de valeur propre [002570]Exercice 9 Soitfun endomorphisme deEv rifiantf2= D montrer que les seules valeurs propres possibles defsont 1 et V rifier que pour tout~x E, on af(~x f(~x)) = (~x f(~x))etf(~x+f(~x)) = (~x+f(~x))et en d duire quefadmet toujours une valeur D montrer que si 1 et 1 sont valeurs propres, alorsEest somme directe des sous-espaces Traduire g om triquement sur un dessin dans le casn= [002571]3 ExamenExercice 10(9 points) SoitAla matrice deM3(R)suivante :A= 101 1211 1 1 1.

4 D montrer que les valeurs propres deAsont 1 et D terminer les sous-espaces propres deA. La matriceAest-elle diagonalisable ?3. D terminer les sous-espaces caract ristiques D terminer une base deR3dans laquelle la matrice de l endomorphisme associ AestB= 2 0 00 1 10 0 1 En d duire la d composition de Dunford R soudre le syst me diff rentiel x =x+zy = x+2y+zz =x y+z[002572]Exercice 11(7 points) On consid re la suite(un)n Nd finie paru0=0,u1=1 et par la relation de r currenceun+1=12(un+un 1).1. D terminer une matriceA M2(R)telle que pour toutn>1 on ait(un+1un)=An(u1u0). D terminer le polyn me caract ristiquePA(X)deAet calculer ses racines 1et SoitRn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X).

5 Calculeranetbn(on pourrautiliser les racines 1et 2).4. Montrer queAn=anA+bnI2, en d duire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+ vers unelimiteA que l on d terminera. Calculer limn + [002573]Exercice 12(5 points) SoitAune matrice carr e,A Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d une matrice est lasomme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB 1) = montrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants sup rieure ayant une diagonale de z [002574]4 RattrapageExercice 13(7 points) On consid re la suite(un)n Nd finie paru0=0,u1=1 et par la relation de r currenceun+1=12(un+un 1).1. D terminer une matriceA M2(R)telle que pour toutn>1 on ait(un+1un)=An(u1u0). D terminer le polyn me caract ristiquePA(X)deAet calculer ses racines 1et SoitRn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X).

6 Calculeranetbn(on pourrautiliser les racines 1et 2).4. Montrer queAn=anA+bnI2, en d duire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+ vers unelimiteA que l on d terminera. Calculer limn + un.[002573]Exercice 14(5 points) SoitAune matrice carr e,A Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d une matrice est lasomme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB 1) = montrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants sup rieure ayant une diagonale de z [002574]Exercice 15(4 points) On suppose qu une populationxde lapins et une populationyde loups sont gouvern es par le syst mesuivant d quations diff rentielles :(S){x =4x 2yy =x+y41. Diagonaliser la matriceA=(4 211).2. Exprimer le syst me(S)et ses solutions dans une base de vecteurs propres Repr senter graphiquement les trajectoires de(S)dans le rep re(Oxy).}

7 4. Discuter graphiquement l volution de la population des lapins en fonction des conditions [002575]Exercice 16(9 points) Soitul endomorphisme deR3, dont la matrice dans la base canonique estA= 32 2 1 01110 1. Calculer les valeurs propres deA. L endomorphismeuest-il diagonalisable ?2. Calculer(A I)2. Montrer queAn=nA+(1 n)Ien utilisant la formule du bin me de SoientP(X) = (X 1)2etQ R[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne deQparPen fonctiondeQ(1)etQ (1), o Q est le polyn me d riv deQ. En remarquant queP(A) =0 et en utilisant ler sultat pr c dent avec un choix judicieux du polyn meQ, (a) Montrer que l image deR3par l endomorphismeu mathrmIdest un sous-espace vectoriel dedimension 1, on notera 2une base.

8 (b) D terminer un vecteur 3tel queu( 3) = 2+ 3. D terminer un vecteur propre 1deunon colin aire 2.(c) Montrer que( 1, 2, 3)est une base la matrice deudans cette base, ainsi que lesmatrices de passage.(d) [002576]Exercice 17(7 points) SoientMetAdeux matrices deMn(R)telles queMA=AM. On suppose queMadmetnvaleurspropres Soitxun vecteur propre deMde valeur propre , montrer queMAx= Ax,en d duire que les vecteursxetAxsont colin aires, puis que tout vecteur propre deMest un vecteur propre On note maintenant 1, , nles valeurs propres deMet 1, , ncelles deA.(a) Montrer par r currence surnl galit suivante : 1 1 n n n 1n = 16i<j6n( i j).En d duire que le syst me suivant 1= 0+ 1 1+ + n 1 n n= 0+ 1 n+ + n 1 n 1nadmet une unique solution( 0, , n 1) (b) SoientM etA les matrices diagonales suivantes :M = 10 0 n ,A = 10 0 n.

9 Montrer qu il existe des r els 0, , n 1tels queA =n 1 k=0 kM ket en d duire qu il existe des r els 0, , n 1tels queA=n 1 k=0 [002577]6 Correction de l exercice 1 NSoitMla matrice r elle 3 3 suivante :M= 02 13 20 221 terminons les valeurs propres de sont les racines du polyn me caract ristiquePM(X) = X2 13 2 X0 221 X = 1 3 2 X 22 +(1 X) X23 2 2X (1)= (1 X)(X2+2X 8)(2)= (1 X)(X+4)(X 2).(3)La matriceMadmet donc trois valeurs propres distinctes qui sont : 1,2,et que M est venons de voir queM, matrice r elle 3 3, admet trois valeurs propres r elles distinctes, celaprouve queMest terminons une base de vecteurs propres et P la matrice de trois sous-espaces propres distincts sont de dimension 1, il suffit de d terminer un vecteur proprepour chacune des valeurs propres.

10 =1 : Le vecteur~ude coordonn es(x,y,z)est un vecteur propre pour la valeur propre 1 si et seulementsi 2y z=x3x 2y=y 2x+2y+z=z x+2y z=03x 3y=0 2x+2y=0 {x=yx=zLe sous-espace propre associ la valeur propre =1 est la droite vectorielle engendr e par le vecteur~e1de coordonn es(1,1,1). =2 : Le vecteur~ude coordonn es(x,y,z)est un vecteur propre pour la valeur propre 2 si et seulementsi 2x+2y z=03x 4y=0 2x+2y z=0 {3x 4y=0 2x+2y z=0Le sous-espace propre associ la valeur propre =2 est la droite vectorielle engendr e par le vecteur~e2de coordonn es(4,3, 2). = 4 : Le vecteur~ude coordonn es(x,y,z)est un vecteur propre pour la valeur propre 4 si etseulement si 4x+2y z=03x+2y=0 2x+2y+5z=0 {x z=02y+3x=0Le sous-espace propre associ la valeur propre = 4 est la droite vectorielle engendr e par levecteur~e3de coordonn es(2, 3,2).}}}