11 Aplicaciones de las derivadas - Blog de Vicente ...

1 316 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, de las derivadas Piensa y calcula Dada la gr fica de la funci n f(x) = representada en el margen, halla los m ximos ylos m nimos relativos y los intervalos de crecimiento y n:M ximo relativo: O(0, 0)M nimo relativo: B(2, 4)Creciente ( ): ( @,0) (2, +@)Decreciente ( ): (0, 1) (1, 2)x2x 11. M ximos, m nimos y monoton los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de las siguientes funciones:a) y = x3 3x2+ 3b) y = 3x4 4x3 Soluci n:a) y' = 3x2 6xy' = 0 x = 0, x = 2M ximo relativo: A(0, 3)M nimo relativo: B(2, 1)Creciente ( ): ( @,0) (2, +@)Decreciente ( ): (0, 2) b) y' = 12x3 12x2y' = 0 x = 0, x = 1M ximo relativo: no nimo relativo:A(1, 1)Creciente ( ): (1, +@)Decreciente ( ): ( los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de las siguientes funciones:a) y = b) y = Soluci n:a) y' = y' = 0 x = 1, x = 1M ximo relativo: A( 1, 2)M nimo relativo: B(1, 2)Creciente ( ): ( @, 1) (1, +@)Decreciente ( ): ( 1, 0) (0, 1)b) y' = y' = 0 x = 0M ximo relativo:A(0, 3)M nimo relativo: no ( ): ( @,0)Decreciente ( ): (0, +@) los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de la siguiente funci n.

2 Y = Soluci n:y' = y' = 0 x = 0M ximo relativo: no nimo relativo:A(0, 2)Creciente ( ): (0, +@)Decreciente ( ): ( los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de la siguiente funci n: y = (2 x)exx x2+ 4 x2+ 46x(x2+ 1)2x2 1x23x2+ 1x2+ 1x Aplica la teor aYy = x2x 1 XTEMA 11. Aplicaciones DE LAS DERIVADAS317 Grupo Editorial Bru o, los puntos de inflexi n y determina la curvatu-ra de las siguientes funciones:a) y = x3 9x2+ 27x 26b) y = x3+ 3x2 2 Soluci n:a) y' = 3x2 18x + 27y'' = 6x 18y'' = 0 x = 3y''' = 6y'''(3) = 6 0 Punto de inflexi n:A(3, 1)Convexa ( ): (3, +@)C ncava ( ): ( @,3)b) y' = 3x2+ 6xy'' = 6x + 6y'' = 0 x = 1y''' = 6y'''(1) = 6 ?0 Punto de inflexi n:A(1, 0)Convexa ( ): ( @,1)C ncava ( ): (1, los puntos de inflexi n y determina la curvatu-ra de las siguientes funciones:a) y = b) y = Soluci n:a) y' = y'' = y'' = 0 x = 0y''' = y'''(0) = 6 ?

3 0 Punto de inflexi n: O(0, 0)Convexa ( ): ( 1, 0) (1, +@)C ncava ( ): ( @, 1) (0, 1)b) y' = y'' = 6x(x2 3)(x2+ 1)33(1 x2)(x2+ 1)26(x4+6x2+ 1)(x2 1)42x(x2+ 3)(x2 1)3x2+ 1(x2 1)23xx2+ 1xx2 1 Aplica la teor a Piensa y calcula Dada y = representada en el margen, halla los puntos de inflexi n y los intervalosde concavidad y n:Punto de inflexi n: O(0, 0)Convexa ( ): ( @,0)C ncava ( ): (0, +@)2x x2+ 12. Puntos de inflexi n y curvaturaYf(x) = 2x x2 + 1 XSoluci n:y' = (1 x)exy' = 0 x = 1M ximo relativo:A(1, e)M nimo relativo: no ( ): ( @,1)Decreciente ( ): (1, los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de la siguiente funci n en (0, 2 ):y = sen xSoluci n:y' = 1/2 cos xy' = 0 x = /3, x = 5 /3M ximo relativo: A,M nimo relativo: B,Creciente ( ): ( /3, 5 /3)Decreciente ( ): (0, /3) (5 /3, 2 )) 3 36 3()5 + 3 365 3(x2 Piensa y calcula Representa en unos ejes coordenados los puntos A(1, 2) y B(5, 2) y dibuja una funci n que comience en A(1, 2) y finalice enB(5, 2).

4 Hay alg n punto en el que la derivada es cero? Ser a posible evitar que haya un punto as ?Soluci n:Puede haber varios puntos en los que la derivada es cero. Por ejemplo:YX3. Teorema de Rolle y el teorema del Valor Medio318 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, '' = 0 x = , x = 0, x = y''' = y'''( ) = 9/16 ?0y'''(0) = 18 ?0y'''() = 9/16 ?0 Punto de inflexi n:A( , 3/4), O(0, 0), B(, 3/4)Convexa ( ): ( , 0) (,+@)C ncava ( ): ( @, ) (0,) los puntos de inflexi n y determina la curva-tura de la funci n y = xexSoluci n:y' = (x + 1)exy'' = (x + 2)exy'' = 0 x = 2y''' = (x + 3)exy'''( 2) = 1/e2?0 Punto de inflexi n:A( 2, 2/e2)Convexa ( ): ( 2, +@)C ncava ( ): ( @, 2) los puntos de inflexi n y determina la curva-tura de la funci n y = L (x2+ 4)Soluci n:y' = y'' = y'' = 0 x = 2, x = 2y''' = y'''( 2) = 1/8 0y'''(2) = 1/8 0 Punto de inflexi n:A( 2, 3 L 2), B(2, 3 L 2)Convexa ( ): ( 2, 2)C ncava ( ): ( @, 2) (2, los puntos de inflexi n y determina la curva-tura de la funci n y = sen x cos x en (0, 2 )Soluci n:y' = 1 + 2 cos2xy'' = 4 sen x cos xy'' = 0 x = /2, x = ,x = 3 /2y''' = 4(1 2 cos2x)y'''( /2) = 4 ?)

5 0y'''( ) = 4 ?0y'''(3 /2) = 4 ?0 Punto de inflexi n:A( /2, 0), B( ,0),C(3 /2, 0)Convexa ( ): ( /2, ) (3 /2, 2 )C ncava ( ): (0, /2) ( ,3 /2)4x(x2 12)(x2+ 4)32(x2 4)(x2+ 4)22xx2+ 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 318(x4 6x2+ 1)(x2+ 1)4 3 3Se puede evitar si la funci n no es continua. Por ejemplo:Y si es continua, que tenga un pico. Por ejemplo:YXYXTEMA 11. Aplicaciones DE LAS DERIVADAS319 Grupo Editorial Bru o, por qu el teorema de Rolle no es aplicable alas siguientes funciones en el intervalo [ 1, 1] a pesarde ser f ( 1) = f (1) = 0 Soluci n:a) f(x) no es derivable en ( 1, 1); no existe la derivadaen x = 0b) f(x) no es continua en [ 1, 1]; tiene una discontinui-dad de salto infinito en x = si es aplicable el teorema de Rolle a las si-guientes funciones en los intervalos que se dan:a) f(x) = sen x en [0, 2 ]b) f(x) = 1 + en [ 1, 1]c) f(x) = x en [0, 1]Soluci n:a) El dominio de f(x) es y [0, 2 ] f(x) es continua en [0, 2 ] porque las funciones tri-gonom tricas son continuas en f(x) es derivable en (0, 2 ) porque las funciones tri-gonom tricas son derivables en su dominio.

6 F(0) = f(2 ) = 0 Luego se puede aplicar el teorema de ) El dominio de f(x) es y [ 1, 1] f(x) es continua en [ 1, 1] por ser una funci n irra-cional. f '(x) = , que en x = 0 no est definida. Luego no es derivable en ( 1, 1) No se puede aplicar el teorema de ) El dominio de f(x) es [0, +@) y [0, 1] [0, +@) f(x) es continua en [0, 1] por ser la diferencia deuna funci n polin mica y una irracional. f(x) es derivable en (0, 1) por ser la diferencia deuna funci n polin mica y una irracional. f(0) = f(1) = 0 Luego se puede aplicar el teorema de si es aplicable el teorema del Valor Medio a lassiguientes funciones en los intervalos [a, b] que se dany en caso afirmativo calcula los valores de c (a, b) ta-les que f '(c) = a) f(x) = en [ 2, 1]b) f(x) = en [0, 1]c) f(x) = 1 + en [1, 2]Soluci n:a) El dominio de f(x) es ( @, 2] y [ 2, 1] ( @,2] f(x) es continua en [ 2, 1] porque las funcionesirracionales son continuas en su dominio.

7 F(x) es derivable en ( 2, 1) porque las funcionesirracionales son derivables en su x2 2 xf(b) f(a)b a233 x x3 x2 YXf(x) = 2 2|x|Ya)b)Xy = x2 1x Aplica la teor a Piensa y calcula Calcula mentalmente los l mites siguientes:a) b) c) Soluci n:a) 2 b) +@c) 0xexl mx8+@3x2+ 1 xl mx8+@x2 1x 1l mx814. Regla de L H pital320 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, n:= = = n:= = = LxSoluci n:x L x = [0 ( @)] = = == = ( x) = n:x= [1@] = e(Lx)= e()= e 1= 1 n:= = = == = = = 1/6cos x6l mx80]00[sen x6xl mx80]00[1 cos x3x2l mx80]00[x sen xx3l mx80x sen xx3l mx801/x1 xl mx8111 xl mx8111 xl mx8111 xl mx81l mx80+1 x1 x2l mx80+] @@[L x1xl mx80+l mx80+l mx80+12ex x + 1l mx8+ ]@@[ x + 1exl mx8+ x + 1exl mx8+@cos x1l mx80]00[sen xxl mx80sen xxl mx80 Aplica la teor aSe puede aplicar el teorema del valor = f '(x) = = x = b) El dominio de f(x) es y [0, 1] f(x) es continua en [0,1] porque las funciones irra-cionales son continuas en su dominio.

8 F(x) es derivable en (0, 1) porque el nico valordonde no es derivable es x = 0, pero s lo es por puede aplicar el teorema del valor = 1f '(x) = = 1 x = 8/27c) El dominio de f(x) es {0} y [1, 2] {0} f(x) es continua en [1, 2] porque las funciones ra-cionales son continuas en su dominio. f(x) es derivable en (1, 2) porque las funciones ra-cionales son derivables en su puede aplicar el teorema del valor f '(x) = = x = , x = Solo vale el valor x = (1, 2) 2 2 2121x21x212f(2) f(1)2 1233 x233 x1 01 0f(1) f(0)1 0141312 2 x12 2 x131 23f(1) f( 2)1 ( 2)TEMA 11. Aplicaciones DE LAS DERIVADAS321 Grupo Editorial Bru o, Piensa y calcula Un rect ngulo tiene 8 cm de per metro; por tanto, la base m s la altura mide 4 cm. Completa la siguiente tabla y calcula lasdimensiones del rect ngulo que tiene mayor n:Un cuadrado de 2 cm de = x01234 Alto = y43210 Superficie034304 cm3 cm2 cm1 cm0 cm0 cm1 cm2 cm3 cm4 cmLargo = x01234 Alto = y4 Superficie5.

9 Problemas de optimizaci n19.(cotg x)sen xSoluci n:(cotg x)sen x= [@0] = e(sen x L cotg x)== e= e= e== e0= xSoluci n:xsen x= [00] = e(sen x L x)= e== e= e= e== e0= 121. Soluci n:( )= [@ @] = == = = n:xx= [00] = ex L x= e= e== e( x)= e0= 123.(sen x)xSoluci n:(sen x)x= e[x L sen x]= e== e= e= e== e = e0= x Soluci n:e x= [0 @] = = []== = 012ex xl mx8+ @@ xexl mx8+ xl mx8+ xl mx8+@012x cos x x2sen xcos xl mx80+x2cos xsen xl mx 0+cos x/sen x 1/x2l mx80+L sen x1/xl mx80+l mx80+l mx80+l mx80+l mx801/x 1/x2l mx80L x1/xl mx80l mx80l mx80l mx8023 xx 1L x + xl mx81+]00[3x 3 2L x(x 1) L xl mx81+2x 13L xl mx81+)2x 13L x(l mx81+ 2 sen x cos xcos x x sen xl mx80 sen2xx cos xl mx801/x cos x/sen2xl mx80L x1/sen xl mx80l mx80l mx80l mx80sen xcos2xl mx80 cosec2x/cotg x cos x/ sen2xl mx80L cotg x1/sen xl mx80l mx80l mx80l mx80322 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, dos n meros cuya suma sea 100 y de formaque su producto sea m n:a) Inc gnitas y = primer n = segundo n + y = 100b) Funci n que hay que (x, y) = xySujeto a.

10 X + y = 100 y = 100 xc) Se escribe la funci n con una sola (x) = x (100 x)f(x) = 100x x2d) Se calculan los m ximos y m nimos '(x) = 100 2x100 2x = 0 x = 50Si x = 50 y = 50e) Se comprueba en la segunda ''(x) = 2 < 0 ( ) m ximo ) El primer n mero es x = 50; el segundo, y = las dimensiones de un rect ngulo cuyo per -metro mida 64 m y su rea sea m n:a) Inc gnitas, datos y = longitud de la = metro = 64 mb) Funci n que hay que (x, y) = xySujeta a las condiciones:Per metro = 64 m x + y = 32c) Se escribe la ecuaci n con una sola + y = 32 y = 32 xS(x) = x(32 x)S(x) = 32x x2d) Se calculan los m ximos y m nimos relativos '(x) = 32 2x32 2x = 0 x = 16Si x = 16 y = 16e) Se comprueba en la segunda ''(x) = 2 < 0 ( ) m ximo ) El recinto mide 16 m por 16 el rea del mayor tri ngulo is sceles inscritoen un c rculo de radio 4 cmSoluci n:a) Inc gnitas, datos y = base del tri = altura del tri ngulo = BDSea x = ODEl tri ngulo ABC es rect ngulo en APor el teorema de la altura:y2= BD DC = (4 + x) (4 x) = 16 x2b) Funci n que hay que (y, h) = 2yhSujeta a las condiciones.