x y HISTORICAS - editorialpatria.com.mx

1 DR. ANTONIO RIVERA FIGUEROAINVESTIGADOR DEL DEPARTAMENTO DE MATEM TICA EDUCATIVACINVESTAV DEL IPNCALCULO DIFERENCIAL, FUNDAMENTOS, APLICACIONES Y NOTAS HISTORICASPRIMERA EDICI N EBOOKM XICO, 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy xyxyDirecci n editorial: Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Estela Delf n Ram rezSupervisor de prepensa: Gerardo Briones Gonz lezDise o de portada: Juan Bernardo Rosado Sol sFotograf as: ThinkstockphotoRevisi n t cnica:Ana Elizabeth Garc a Hern ndezInstituto Polit cnico NacionalC lculo diferencial. Fundamentos, aplicaciones y notas hist ricasDerechos reservados: 2014, Antonio Rivera Figueroa 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, DE 180, Colonia San Juan Tlihuaca,Delegaci n Azcapotzalco, C digo Postal 02400, M xico, de la C mara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro n m.

2 43 ISBN ebook: 978-607-438-898-5 Queda prohibida la reproducci n o transmisi n total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electr nicas o mec nicas, sin el consentimiento previo y por escrito del en M xicoPrinted in MexicoPrimera edici n ebook: 126/06/12 17:48 Dedicatoria Dedico esta obra a la memoria de mi querida esposa Gloria y de mi entra able madre Nachita. Tambi n va mi dedicatoria a mis hijos Gloria, Karla y To o. A mis nietos Robin, Sandy y To logo ..xiiiAgradecimientos ..xviiSotero Prieto Rodr guez ..xviiiCap tulo 1 Los n meros reales ..1 Introducci n ..2 Nuestras primeras experiencias con los n meros reales ..3 Sumatorias N meros racionales y expansiones N meros irracionales y expansiones decimales no peri Los irracionales 2 y 3.

3 16 2 es irracional ..16 3 es irracional ..18 Racionalizaci N meros algebraicos y n meros trascendentes ..21 El n mero e ..22 El n mero p ..27 F rmulas notables para p y el c lculo de sus decimales ..30 Fechas notables sobre Una definici n anal tica de p ..33 Desigualdades ..38 Definiciones b Propiedades fundamentales de las M s propiedades de las desigualdades ..42 Los n meros reales. Una reflexi A manera de resumen ..45 Valor Definici n y propiedades del valor F rmula algebraica para el valor absoluto xx= Intervalos, vecindades y Diversos tipos de Distancia entre dos reales ..48 Intervalo abierto con centro x0 y radio r . 0 ..49 La desigualdad cuadr tica ax2 1 bx 1 c < Una nota sobre el razonamiento aplicado en el ejemplo M todo para hallar las soluciones de la desigualdad cuadr tica M todo de inducci n matem lculo diferencial, fundamentos, aplicaciones y notas hist ricasvi Introducci n.

4 57 Principio de Inducci n Matem Aplicaciones del m todo de inducci n matem Problemas y ejercicios ..67 Cap tulo 2 Funciones ..75 El concepto de funci n ..76 Introducci n ..76 Concepto de funci n ..76 Imagen, preimagen e imagen Funciones reales de una variable Gr fica de una funci n ..81 Composici n de funciones ..87 Funci n inversa ..90 Funciones inyectivas, suprayectivas y Una reflexi n sobre la suprayectividad y teoremas de existencia ..93 Funciones crecientes y funciones decrecientes ..93 Una caracterizaci n de la funci n inversa ..96 Gr fica de la funci n inversa ..98 Tablas de valores y funciones definidas mediante Problemas y ejercicios ..105 Cap tulo 3 Funciones elementales ..109 Funciones elementales b Introducci n.

5 110 Funciones Funciones racionales ..114 Funciones algebraicas ..116 Potencias racionales Leyes de los exponentes La funci n exponencial ax y la funci n logaritmo Funciones trigonom tricas ..126 C rculo trigonom trico. El radi n ..126 Las funciones seno y Funciones Problemas y ejercicios ..140 ContenidoviiCap tulo 4 Sucesiones y series de reales ..149 Introducci n ..150 Concepto de sucesi n ..150 Operaciones con Sucesiones mon Sucesiones L mite de una sucesi n ..161 Teoremas importantes sobre l mites ..169 Criterios de convergencia intr nsecos. Propiedad de continuidad de los reales ..178 Acerca de la continuidad de los reales ..179 Conjuntos acotados. Supremo e nfimo. Axioma del Teorema de convergencia de Postulado de Subsucesiones y teorema de Bolzano-Weierstrass sobre subsucesiones Criterio de Cauchy para convergencia de sucesiones.

6 187 Algunas sucesiones La sucesi n La sucesi n La sucesi n La sucesi n nn ..191 N mero e de El n mero p ..195 Constante g de Euler ..198 Nuevamente sumatorias infinitas ..199 Notaci n S para Propiedades de la notaci n Series Serie y sumas parciales ..207 Propiedades b sicas de las Criterios de Condiciones necesarias y condiciones suficientes para Una condici n Criterio por comparaci n ..213 Lema (criterio por acotamiento)..213 Teorema (criterio por comparaci n) ..213 Criterio de Cauchy para convergencia de Divergencia a infinito ..216 La serie arm nica 1n y la serie alternante () lculo diferencial, fundamentos, aplicaciones y notas hist ricasviii Convergencia absoluta y convergencia Criterio de la raz n de D Teorema (criterio de la raz n de D Alembert).

7 225 Criterio de la ra z de Cauchy ..228 Teorema (criterio de la ra z de Cauchy) ..229 Problemas y ejercicios ..231 Cap tulo 5 L mite y continuidad ..237 L mite de una funci n en un L mites laterales ..244 Definici n (l mites laterales)..244 Desigualdades importantes para funciones trigonom tricas ..248 limxxx 0sen5 1 ..251 Una reflexi n sobre la relevancia del radi n ..252 Definici n de Continuidad ..265 Las funciones exponencial ax y Las funciones xn y Las funciones xpq ..277 Leyes de los exponentes Leyes de los La funci n xr ..279 Propiedades fundamentales de las funciones continuas ..281 Propiedad de continuidad Teorema de Weierstrass sobre funciones acotadas ..285 Teorema del valor intermedio ..287 Problemas y ejercicios.

8 293 Cap tulo 6 Raz n de cambio y derivada ..301 Raz n de cambio promedio y raz n de cambio instant Ca da Tiro vertical de un proyectil ..306 Disipaci n del alcanfor Desintegraci n radiactiva del uranio La Derivadas C lculo de la derivada de algunas funciones elementales (parte 1).. 314 Derivada de f (x) 5 Derivada de f (x) 5 sen x ..321 Contenidoix Derivada de f (x) 5 cos x ..322 Derivada de la funci n exponencial f (x) 5 ex ..323 Derivada de la funci n logaritmo natural f (x) 5 log x ..324 F rmulas o reglas de derivaci n ..326 Derivada del producto de una constante por una funci n ..327 Derivada de la suma de dos Derivada del producto de dos funciones ..328 Derivada del cociente de dos C lculo de la derivada de algunas funciones elementales (parte 2).

9 334 Derivada de las funciones tan x, cot x, sec x y csc x ..334 Generalizaci n de las reglas de derivaci n ..335 Derivada de la suma de un n mero finito de funciones ..335 Derivada del producto de un n mero finito de Derivada de funciones compuestas: regla de la Definiciones alternativas para la C lculo de la derivada de algunas funciones elementales (parte 3)..342 Derivada de las funciones ax y Algunas f rmulas b Derivadas de algunas funciones especiales ..344 Derivada de funciones Derivada de las funciones Derivada de arcsen x ..352 Derivada de arccos x ..353 Derivadas de arctan x, arccot x, arcsec x y arccsc Derivadas Derivada de orden k de Derivada de orden k de sen Derivada de orden k de cos x ..358 Derivada de orden k de f (x) 5 ax y Exp(x) 5 Derivada de orden k de log x.

10 359 F rmula de Leibniz ..360 Problemas y ejercicios ..362 Cap tulo 7 La derivada aplicada al estudio de las funciones ..369 Tangente de una curva ..370 M ximos y m nimos ..377 Primer criterio para m ximas y m Teoremas del valor Teorema (de Rolle)..381 Teorema (del valor medio de Lagrange)..381C lculo diferencial, fundamentos, aplicaciones y notas hist ricasx M s criterios para m ximos y m nimos ..384 Criterio de la primera Teorema (criterio de la primera derivada) ..384 Criterio de la segunda Teorema (criterio mejorado de la segunda derivada)..386 Concavidad y puntos de inflexi Definici n alternativa de Punto de inflexi n ..392 Bosquejando gr ficas de funciones ..395 Funciones con derivada cero y funciones id nticas.