4 Sistemas lineales con parámetros - …

1 140 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, linealescon par metros Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones:= Soluci n: x + 2y 3z = 02x y = 2)02()xyz()12 32 1 0( los siguientes Sistemas en forma matricial:Soluci n:= = en forma ordinaria el siguiente sistema:= Soluci los siguientes Sistemas :Soluci n:a) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-cientes:|C| = = 13 Como el determinante de C es distinto de cero, elR(C) = 3 y se tiene:R(C) = R(A) = 3 = n mero de inc gnitas Sistemacompatible ) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-cientes:|C| = = 0 Como el determinante de C es igual a cero, se hallael rango de A y C por Gauss:R== R== R=3 : 4) 1333077804416(2 + 3 1 3 2 ) 13333 2 2 132215()322153 2 2 1 1333(|3223 2 2 133||3 1 21412 5 0| 3x + 2y + 2z = 153x 2y 2z = 1 x + 3y + 3z = 3b) 3x y + 2z = 1x + 4y + z = 02x 5y = 2a) x 2z = 13x + y + z = 32x y + 2z = 0)130()xyz()10 23112 1 2()253()xyz()21 1112 105(b))201()xyz()1 1 02121 1 2(a) 2x + y z = 2x + y + 2z = 5 x+ 5z = 3b) x y = 22x + y + 2z = 0x y + 2z = 1a) Aplica la teor a1.

2 Teorema de Rouch TEMA 4. Sistemas lineales CON PAR METROS141 Grupo Editorial Bru o, R== RR(C) = 2 < R(A) = 3 Sistema los siguientes Sistemas :Soluci n:a) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-cientes:|C| = = 0 Como el determinante de C es igual a cero, se hallael rango de A y C por Gauss:R== R== R= RR(C) = R(A) = 2 < n mero de inc gnitas Sistemacompatible ) Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-cientes:|C| = = 1 Como el determinante de C es distinto de cero, elR(C) = 3 y se tiene:R(C) = R(A) = 3 = n mero de inc gnitas Sistemacompatible determinado.|121232112|)11010112()110101 120112(2 1 2 1 + 3 )110121 10 1011()21 101101 1011(|21 1110 101| x + 2y + z = 12x + 3y + 2z = 0x + y + 2z = 3b) 2x + y z = 0x + y = 1 x+ z = 1a)) 1333077800020(7 3 2 ) 133307780114( por Cramer:Soluci n:a) Determinante de los coeficientes:|C| = = 29La soluci n es:x = = = 1y = = = 3z = = = 5b) Determinante de los coeficientes:|C| = = 2|11 223 7521| 145 29215|1016|0510 29 87 29250|116 3|010 1 29 29 29510|1603|105 1 29|21010305 1| x + y 2z = 62x + 3y 7z = 165x + 2y + z = 16b) 2x + y = 5x+ 3z = 165y z = 10a) Aplica la teor a Piensa y calcula Dado el siguiente sistema, resu lvelo matricialmente:= Soluci n.

3 = = )21()34()2 1 11()xy()34()xy()1112(2. Regla de Cramer y forma matricial142 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, soluci n es:x = = = 3y = = = 1z = = = por Cramer en funci n del par metro a:Soluci n:Determinante de los coeficientes:|C| = = 2La soluci n es:x = = = a 1y = = = 1z = = = 1 por Cramer:Soluci n:Determinante de los coeficientes:|C| = = 290La soluci n es:x = = = 1y = = = 1z = = = 2t = = = matricialmente el sistema:Soluci n:= = x = 2, y = 1, z = matricialmente el sistema:= Soluci n:= = x = 3, y = 2, z = matricialmente el sistema:Soluci n:= = La soluci n es.

4 X = 1, y = 1, z = 2) 11 2() 7 1 5()8 4 102 1 3 8511(12)xyz( 2x 3y + z = 7x + 4y + 2z = 1x 4y = 5) 321()2 7 5() 495015 7 27711 34(1107)xyz()2 7 5()xyz()5813 2 621 1()2 11()56 3()5 5 3 111 11 137(12)xyz( 3x + 2y + z = 52x y + z = 6x + 5y = 3580 290445 020310|11 5 10|032 1 290 580 29044 052010 1|11 100|03 10 290290 2904 0552103 1|1 10 5 0|0 120 290 290 29004551003 1| 101 50|1320 290|4455203 111 500320| 4x + 4y + 5z + 5t = 02x+ 3z t = 10x + y 5z = 103y + 2z = 12a 2 211a|100|122 2 2 21a0|101|121 22 2a 2a10|001|221 2|110101121| x + y = ax+ z = 0x + 2y + z = 2 22116|2316|521622216 2|216 7|516 126261 2|163 7|16212 TEMA 4. Sistemas lineales CON PAR METROS143 Grupo Editorial Bru o, Piensa y calcula Resuelve mentalmente el siguiente sistema:Soluci n:Se elimina la 3 ecuaci n porque es: 1 + 2 x = 1 y = 12 1 x + y = 02x + y = 1 x + y = 02x + y = 13x + 2y = 13.

5 Resoluci n de Sistemas de cuatro el siguiente sistema:Soluci n:Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-cientes:|C| = == = 0El sistema no es de Cramer porque |C| = 0. Se resuelvepor R== R== RR(C) = 3 = R(A) < n mero de inc gnitas Sistemacompatible indeterminado. El sistema es equivalente a: y = La soluci n, en ecuaciones param tricas, es:l el siguiente sistema:Soluci n:Se calcula el determinante de la matriz de los coefi-cientes:|C| = =3 2 |1011011 1011 2001 1| x+ z + t = 1y + z t = 1y + z 2t = 2z t = 0 5 2lx = 34 + 4ly = 3 8 + 5lz = 3t = l5 2tx = 3 4 4tx + = 3 2t34 4ty = 35t 8z = 34 4t3 x + y = 3 2t5t 84y = 8 7t35t 8z = 3 x + y = 3 2t4y z = 8 7t3z = 8 + 5t x + y + 2t = 34y z + 7t = 83z 5t = 8)1102304 178003 5 8(2 4 3 )1102304 17801 134(2 2 )1102304 17808 2 14 1601 134(3 1 2 5 1 3 2 1 4 )

6 110233 1 1 1 15 32 4 121112(= 2 2 |110 20 4 1 70 8 2 140 1 1 3|2 3 1 3 5 1 4 2 1 |11023 1 1 15 3 2 42111| x + y+ 2t = 33x y+z t = 15x 3y + 2z 4t = 12x +y+z +t = 2 Aplica la teor a144 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, Piensa y calcula Discute, seg n los valores de k,el siguiente sistema:Soluci n: Para todo valor k ?6 el sistema es k = 6 el sistema se reduce a x + y = 3 Compatible indeterminado. x + y = 30 = k 6 x + y = 32x + 2y = k x + y = 32x + 2y = k4. Discusi n de Sistemas con par metros= = = = 1El sistema es de Cramer porque |C| 0. Se puede resol-ver por Cramer, pero es m s sencillo por soluci n es: x = 3; y = 1; z = 1; t = el siguiente sistema:Soluci n:El sistema no es de Cramer porque no tiene el mismon mero de inc gnitas que de ecuaciones.)

7 Se resuelvepor R== R== R= RR(C) = R(A) = 3 = n mero de inc gnitas El sistemaes compatible sistema es equivalente a: La soluci n es: x = 1, y = 1, z = el siguiente sistema:Soluci n:El sistema no es de Cramer porque no tiene el mismon mero de ecuaciones que de inc gnitas. Se resuelvepor R== R== R= RR(C) = 3 < R(A) = 4 El sistema es incompatible.)1 1 1 501 2 300230002(4 3 )1 1 1 501 2 300230025(3 2 1 )1 1 1 501 2 302 2 30025(2 : 34 : ( 1))1 1 1 503 6 902 2 300 2 5(2 2 1 3 1 4 1 )1 1 1 521 4111 121 1 1 0( x y + z = 52x + y 4z = 1x + y z = 2x y z = 0 x = 1 x 1 = 0y = 1z = 1y = 1 x y + 1 = 13y 1 = 2z = 1 x y + z = 13y z = 2z = 1)1 1 1 103 120011(3 : 10)1 1 1 103 1200 10 10(2 2 3 3 )1 1 1 103 1202 4 2(2 2 1 3 3 1 )1 1 1 121143 1 1 1(= 1 + 2 + 3 )21141 1113 1 1 16 116( 2x + y + z = 4x y + z = 13x y z = 16x y + z = 6|0 11 1||11 100 101 1||1011011 1000 1001 1|TEMA 4.

8 Sistemas lineales CON PAR METROS145 Grupo Editorial Bru o, , seg n los valores del par metro a,los si-guientes Sistemas :Soluci n:a) Se calcula |C| = = a3 3a + 2a3 3a + 2 = 0 a = 2, a = 1 Para todo valor de a ? 2 y a ?1 se verifica que:R(C) = R(A) = 3 = n mero de inc gnitas y, por lotanto, el sistema es compatible estudian los valores que son ra ces de |C| Para a = 2 se tiene:R== R== R== R= RSe tiene que R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tanto, elsistema es incompatible. Para a = 1 se tiene:R=1Se tiene que R(C) = R(A) = 1 < n mero de inc gni-tas y, por lo tanto, el sistema es compatible ) Se calcula |C| = = a3+ 3aa3+ 3a = 0 a2(a + 3) = 0 a = 3, a = 0 Para todo valor de a ? 3 y a ?0 se verifica que:R(C) = R(A) = 3 = n mero de inc gnitas y, por lotanto, el sistema es compatible estudian los valores que son ra ces de |C| Para a = 3 se tiene:R= R== R= RSe tiene que R(C) = R(A) = 2 < n mero de inc gni-tas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeter-minado.

9 Para a = 0 se tiene:R=1Se tiene que R(C) = R(A) = 1 < n mero de inc gni-tas y, por lo tanto, el sistema es compatible , seg n los valores del par metro k,los si-guientes Sistemas :Soluci n:a) Se calcula |C| = = k2 1k2 1 = 0 k = 1, k = 1 Para todo valor de k ? 1 y k ?1 se verifica que:R(C) = R(A) = 3 = n mero de inc gnitas y, por lotanto, el sistema es compatible estudian los valores que son ra ces de |C| Para k = 1 se tiene:R= RSe tiene que R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tanto, elsistema es incompatible. Para k = 1 se tiene:R== R= RSe tiene que R(C) = 2 < R(A) = 3 y, por lo tanto, elsistema es incompatible.)111401010003(3 : 2)111400030202(1 2 1 3 )111411111 112() 111402230006(1 + 2 1 + 3 ) 1114111 11 1 1 2(|k111111 1 k| x + y + z = 0kx+ 2z = 02x y + kz = 0b) kx + y + z = 4x + y + z = kx y + kz = 2a))111111111()11 201 1(2 : 3= 2 )11 203 303 3(1 2 2 1 + 3 )11 21 2 1 211() 2111 2 111 2(|a + 1111a + 1111a + 1|)111111111111()11 2401 120001(3 2 )11 2401 1201 13(2 : 33 : 3)11 2403 3603 39(1 2 2 1 + 3 )11 241 2 1 2 2111() 21111 2 1 211 24(|a111a111a| (a + 1)x +y +z = 0x + (a + 1)y +z = 0x +y + (a + 1)z = 0b) ax + y + z = 1x + ay + z = ax + y + az = a2a) Aplica la teor a146 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, ) Se calcula |C| = = k2 k + 6k2+ k 6 = 0 k = 3, k = 2 Para todo valor de k ?

10 3 y k ?2 se verifica que:R(C) = R(A) = 3 = n mero de inc gnitas y, por lotanto, el sistema es compatible estudian los valores que son ra ces de |C| Para k = 3 se tiene:R== R= RSe tiene que R(C) = R(A) = 2 < n mero de inc gni-tas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeter-minado. Para k = 2 se tiene:R== R= RSe tiene que R(C) = R(A) = 2 < n mero de inc gni-tas y, por lo tanto, el sistema es compatible , seg n los valores del par metro a,el siguien-te sistema:Soluci n:Como hay m s ecuaciones que inc gnitas, se calcula eldeterminante de la matriz ampliada:Se calcula |A| = = 2 2a2 2a = 0 a = 1 Para todo valor de a ?1 se verifica que:R(C) < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompa-tible. Para a = 1 se tiene:R= R== R= R== RSe tiene que R(C) = R(A) = 2 = n mero de inc gnitasy, por lo tanto, el sistema es compatible , seg n los valores del par metro m,los si-guientes Sistemas :Soluci n:a) Se calcula |C| = = m2 mm2+ m = m(m + 1) = 0 m = 1, m = 0 Para todo valor de m ?