7 Potenze e radicali - matematicamente.it

1 G. Sammito, A. Bernardo, Formulario di matematica Potenze e radicali F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi .. 17. Potenze e radicali Definizione di potenza Definizione. Dato un naturale N n, per ogni R a si definisce l'elevamento a potenza na come il prodotto di n fattori uguali ad a. n La definizione si estende ai seguenti casi casi particolari 1aa=, 01a=. Non si assegna alcun valore al simbolo 00. Si pu definire ricorsivamente come segue: 11 se n=0=se n>0nnaaa Il numero a si chiama base, il numero n si chiama esponente. Potenza con esponente negativo. La definizione si estende anche agli esponenti negativi. Se h un intero negativo, allora la potenza ha definita per ogni {0}\R a, e risulta hhaa 1= Esempi.

2 22115525 ==; 3333322823327 === ; 1122 = . Potenza con esponente frazionario. Si estende la definizione anche al caso di esponente razionale, purch la base sia non negativa. Nel caso in cui l'esponente h sia un razionale, mnh=, risulta mnmnhaaa== Esempi. 232333=; 23232311333 ==; 332451255464 == . Potenza con esponente reale Consideriamo la potenza bacon ,ab \, 0b>. Essendo b un numero irrazionale, per definizione di numeri irrazionale, l elemento separatore di due classi contigue di numeri razionali. A partire da esse si costruiscono due altri classi contigue di Potenze con esponente razionale, l elemento di separazione proprio la potenza cercata. Esempio. 23 2 l elemento separatore di 1 1, 4 1, 4 1 1, 4 1 4 1, 4 1 4 2.

3 2 1, 5 1, 42 1, 415 1, 4143 .. 23 l elemento separatore di 11,41,411,4141,414221,51,421,4151,414333 3 3 3 G. Sammito, A. Bernardo, Formulario di matematica Potenze e radicali F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi .. 2 Sia 01234,..bbbbbb= la rappresentazione decimale della potenza. Si costruisce la successione 00b =; 101,bb =; 2012,bbb =; 30123,bbbb =; .. questa successione tende a b. Si costruisce la succesione delle Potenze 00aa =;11aa =; 22aa =; .. si tratta di Potenze con esponenti razionali, poich 0 , 1 , .. sono numeri razionali. Questa successione crescente. Si definisce {}supnbnaa = Propriet delle Potenze mnmnaaa+ = 24 24 633 33+ == =, 0nnmmaaaa 552323333 == mnmnaa =)( ()522510333 == nnnbaba)(= 44 432 6 = =,0nnnaabbb 7773322 = ()nnnpaqapqa + = + 55 523 43 63 + = Radici Definizione.

4 La radice n-esima o radicale di un numero reale a, indicata con il simbolo na un numero b tale che nba=. Il numero b si dice radice, il numero n si dice indice, il numero a si dice radicando. nnabba= = La radice di indice 2 si dice anche radice quadrata e si indica a senza esplicitare l indice. Esempi. 42= infatti 224=; 382= infatti 328=; 481 3= infatti 4381=. Se la radice ha indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a zero. Se la radice ha indice dispari il radicando pu essere anche negativo. Esempi. 1 non esiste; 3273 = ; 42 non esiste; 5322 = . Propriet delle radici Dati 0>,ba, ,mn \ risulta nnnabab = 33352 10= nnnaabb= 3331052= ()mmnmnnaaa== ()443433555== G. Sammito, A. Bernardo, Formulario di matematica Potenze e radicali F.

5 Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi .. 3mhnhmnaa =)( ()43232455 = nnaa= 3355= knkmnmaa = 68 3433= nnnabab = 3333242 32 3= =; 3333242 4 32= = nmnmaa = 341222= 21212122112211==mmnmmnmnmnmnmnaaaa + + 3272473294121255 55 + = = 21212122112211==mmnmmnmnmnmnmnaaaa 3224 73131212713412515555 === Razionalizzazione del denominatore 11aaaaaa= = 11222222= =; 11551025 25 5= = 11nnmnnmnmnmnnmaaaaaa = = 3233332112 42222= =; 774477733411222222= = 211abababababab= = 1123 23 2329723 23 23+++= == + 11abababababab= = ()1123 23232323 2323 = == ++ ()()()()3 2323 23233333232333caabbcaabbcabababaabb++== + radicali doppi Un radicale doppio un espressione del tipo ba A volte possibile trasformare un radicale doppio in una somma di radicali , per mezzo della seguente identit 22=22baabaaba + Esempi 395 395 32 32 5 1 10 2 10 235=222222222+ + = = = = 392 392 37 3732=2222+ + + = questo radicale doppio non si pu ridurre.

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