ANALYSE MATHEMATIQUE - uliege.be

1 UNIVERSITE DE LIEGEF acult e des SciencesANALYSE MATHEMATIQUEN otes du cours des premiers Bacheliersen sciences math ematiques ou en sciences physiquesJean SCHMETSAnn ee acad emique 2004 2005iiIntroductionCe livre contient la premi`ere partie du cours d ANALYSE math ematique que j enseigneen premi`ere candidature en sciences math ematiques ou en sciences physiques. Ladeuxi`eme partie concerne le calcul int egral et fait l objet d un volume s epar tout cours d initiation `a l ANALYSE , il d eveloppe essentiellement une de-scription de l espace euclidienRnde dimensionnainsi qu une etude de la continuit e,de la d erivabilit e et de la primitivabilit e des fonctions, et se termine avec la con-sid eration des equations diff erentielles lin eaires `a coefficients constants et de quelques equations diff erentielles r edigeant ces notes.

2 J ai d esir e rencontrer le souhait emis par les etudiants dedisposer d un texte proche de la mati`ere enseign ee. Je n ai pu cependant m emp echerd y inclure quelques compl ements th eoriques (parfois pr esent es sous la forme d exe-rcices).Ces notes sont compl et ees par unCahier d Exercices. C est la raison pourlaquelle elles ne contiennent pas beaucoup d exemples et exercices, malgr e l impor-tance que je leur textes plac es entre les symboles et font appel `a de la mati`ereult erieure et sont `a r eserver pour une deuxi`eme Schmetsiv0. IntroductionQuelques rep`eres chronologiques de math ematiciens cit esqqqqqqq1600165017001750180018501900 PascalBlaise (1623 1662)NewtonIsaac (1642 1727)LeibnizGottfried Wilhelm (1646 1716)RolleMichel (1652 1719)BernoulliJacques (1654 1705)HospitalGuillaume de L (1661 1704)De MoivreAbraham (1667 1754)TaylorBrook (1685 1731)MaclaurinColin (1698 1746)EulerLeonhard (1707 1783)ClairautHermann (1713 1765)LagrangeJoseph (1736 1813)LaplacePierre de (1749 1827)LegendreAdrien-Marie (1752 1833)GaussCarl-Friedrich (1777 1855)BolzanoBernhard (1781 1848)CauchyAugustin (1789 1857)

3 Vqqqqq18001850190019502000 AbelNiels (1802 1829)JacobiCarl (1804 1851)MorganAugustus De (1806 1871)HesseOtto (1811 1874)WeierstrassKarl (1815 1897)HeineEduard (1821 1881)RiemannBernhard (1826 1866)HermiteCharles (1822 1901)LevyMaurice (1838 1910)SchroederErnst (1841 1902)SchwarzHerman (1843 1921)CantorGeorg (1845 1918)LorentzHendrick (1853 1928)PicardEmile (1856 1941)CesaroE. (1859 1906)JensenJohann (1859 1925)H olderLudwig (1859 1937)MinkowskiHermann (1864 1909)SteinitzErnst (1871 1928)BorelEmile (1871 1956)BernsteinFelix (1878 1956)HalmosPaul (1914 )vi0. IntroductionChapitre 1Th eorie na ve des IntroductionLes processus fondamentaux des math ematiques sonta) introduire desobjetsditsmath ematiques,b) d emontrer que certainesrelationsentre ces objets sont vraies; on dit que ce sontdesth eor` objets math ematiques sont les nombres, les fonctions, les fonctions con-tinues, les fonctions d erivables, les fonctions int egrables.

4 Les relations sont lesassertions (qui peuvent donc etre vraies ou fausses) qu on peut formuler sur cesobjets. Les vraies outh eor`emessont celles qu ond emontre, c est-`a-dire qu on peutd eduire logiquement d un certain nombre d axiomes. Les axiomes sont la formula-tion math ematique des propri et es evidentes des etres auxquels on d esire appliquerles math ne faut pas voir dans ce qui pr ec`ede des d efinitions correctes du point de vuelogique mais seulement une introduction imag ee qui se pr ecisera au fur et `a mesuredes etudes. En fait, la logique math ematique et la th eorie formelle des ensemblesconstituent des domaines fort abstraits et demandent de longs d eveloppements.

5 Iln est donc pas possible de les voir, en premi`ere candidature, comme introduction `aun cours d ANALYSE math la logique math ematique et les propri et es de la th eorie des ensemblessont fondamentales en math ematiques et tout au long de ce cours, nous allons lesutiliser. La m ethode utilis ee consiste, si cela est possible, `a introduire les notionsde mani`ere d efinitive et d en etudier les propri et es de mani`ere rigoureuse. En casd impossibilit e, le fait est mentionn e clairement, le vocabulaire correct est intro-duit et les r`egles d utilisation sont pr ecis ees, r eservant la justification `a une etudeult Th eorie na ve des Quelques locutions et symbolesEn ce qui concerne la logique math ematique, nous allons nous limiter `a introduireun vocabulaire correct et les r`egles d utilisation de ce des relationsR, ) La n egation deR est d esign ee g en eralement par l assemblage /R , c est-`a-dire Rsuperpos e de/.

6 On recourt aussi souvent `a des notations diff erentes telleque nonR , R .Une relation est fausse si sa n egation est vraie; elle est vraie si sa n egation ) RouS est une relation qui est vraie si l une au moins des relationsR,Sest exemple, siRest la relation 5 est strictement inf erieur `a 6 et siSest larelation 5 est egal `a 6 , la relation RouS est la relation 5 est inf erieur ou egal`a 6 et est donc logique et en math ematique, le motouest toujours pris au sens non faut donc recourir `a une p eriphrase pour traduire le ou disjonctif de la languefran m ethodes fondamentales de construction de relations permettent d en intro-duire d autres qui jouent un r ole tout aussi )

7 RetS est une relation qui est vraie si les deux relationsR,Ssont fait, RetS est d efini comme etant la relation RetS = ( Rou S) .Par exemple, siRest la relation rest un multiple de 2 et siSest la relation rest un multiple de 3 , la relation RetS est vraie si rest un multiple de 6 .Cela etant, on a (RetS) = Rou S et (RouS) = Ret S .b) R S qui se lit RimpliqueS est la relation R S = Sou R .Elle exprime que siRest vrai, alorsSest ) R S qui se lit Rsi et seulement siS est la relation R S = R SetS R . D efinitionEn ce qui concerne les ensembles, nous allons recourir `a la th eorie na ve desensembles.

8 Le point de vue na f consiste `a introduire la notion d ensemble demani`ere vague, puis d en donner les propri et es sans d emonstration. Cette mani`erevague peut d efinir un ensemble comme etant une notion fondamentale qui jouitde propri et es particuli`eres ou comme etant la collection des etres math ematiquesqui v erifient une propri et e. (Remarquons de suite que cette deuxi`eme mani`ere deproc eder n est en aucune sorte une d efinition: elle d efinirait la notion ensemble par une autre collection qui n a pas et e d efinie auparavant.)Cependant cette notion d ensemble n est pas que formelle; elle proc`ede en faitd une base intuitive.

9 Pour s en assurer, il suffit de consid erer l ensemble des nombresr eels, l ensemble des nombres complexes, ..Un ensemble est d etermin e par ses el ements qui sont donn es indiff eremmenta) d une mani`ere explicite, c est-`a-dire par un symbole individuel tel que 1, 2, 3, ..b) par un symbole g en erique affect e d indices variant dans des ensembles: on trouvepar exemplexj,xj,k, ..c) par un symbole g en erique seulement s il n est pas n ecessaire de les ensemble est donn e indiff eremmenta) de mani`ere explicite en donnant la liste compl`ete de ses el ements plac es entre ac-colades et s epar es par un symbole appropri e (tr`es souvent une virgule): par exemple{1,2,3}.

10 Bien s ur, cette mani`ere explicite ne peut etre utilis ee que pour les ensembles finis ; aussi on accepte egalement de sugg erer la liste des el ements de l ensemble enrecourant aux trois points de suspension. Ainsi,{a, b, .. , z}repr esente l ensembledes lettres de l alphabet et{1,2,3, ..}repr esente l ensemble des nombres entierssup erieurs ou egaux `a 1. (Les trois points de suspension doivent evidemment avoirune signification claire.)Unsingletonest un ensemble contenant un et un seul el ement. Siaest cet el ement, le singleton peut donc etre not e{a}.b) en pla cant entre accolades le symbole g en erique suivi d un symbole appropri e(tr`es souvent : ) puis la propri et e qui caract erise ses el ements.