CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - educaLAB

1 C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRALJ avier P rez Gonz lezDepartamento de An lisis Matem ticoUniversidad de GranadaAsignatura: C lculoCurso: PrimeroTitulaci n: Ingeniero de Telecomunicaci nseptiembre 2006 ndice general1. axiomas de los n meros reales . Desigualdades. Principiode inducci N meros reales . Propiedades algebraicas y de orden .. Ejercicios .. Principio de inducci n matem tica .. Ejercicios .. 82. Funciones reales . Funciones Funciones reales .. Estudio descriptivo de las funciones elementales .. Ejercicios .. 243. N meros complejos. Exponencial Operaciones b sicas con n meros complejos.

2 Representaci n gr fica. Complejo conjugado y m dulo .. Forma polar y argumentos de un n mero complejo .. Ra ces de un n mero complejo .. Ejercicios .. Funciones elementales complejas .. La funci n exponencial .. Logaritmos complejos .. 36I ndice Potencias complejas .. Ejerccios .. 364. Propiedades b sicas de las funciones continuas .. Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo .. Ejercicios .. 435. Sucesiones de n meros reales .. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el c lculode l mites .. Sucesiones de n meros complejos .. Ejercicios .. 566.

3 Continuidad en intervalos cerrados y acotados. L mite L mite funcional .. L mites infinitos .. Discontinuidades. lgebra de l mites. L mites de funciones mon tonas .. Continuidad y monoton a .. Indeterminaciones en el c lculo de l mites .. Ejercicios .. 687. Concepto de derivada. Interpretaci n f sica y geom trica.. Derivadas laterales .. Teoremas de Rolle y del valor medio .. Consecuencias del teorema del valor medio .. Reglas de L H pital .. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor .. Consejos para calcular l mites de funciones .. Consejos para calcular l mites de sucesiones.

4 Extremos relativos. Teorema de Taylor .. Funciones convexas y funciones c ncavas .. 90 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo Ing. de Telecomunicaci n ndice Ejercicios .. 918. INTEGRAL de Sumas de Riemann .. Definici n y propiedades b sicas de la INTEGRAL .. El Teorema Fundamental del C lculo .. Las funciones logaritmo y exponencial .. Integrales impropias de Riemann .. Criterios de convergencia para integrales .. T cnicas de c lculo de Primitivas .. Integraci n por partes .. Integraci n por sustituci n o cambio de variable .. Integraci n de funciones racionales.

5 Integraci n por racionalizaci n .. Aplicaciones de la INTEGRAL .. C lculo de reas planas .. Ejercicios .. Longitud de un arco de curva .. Vol menes de s lidos .. rea de una superficie de revoluci n .. 1469. Conceptos b sicos .. Criterios de convergencia para series de t rminos positivos .. Ejercicios .. Series de potencias .. lculo DIFERENCIAL Estructura eucl dea y topolog a deRn.. Sucesiones enRn.. Campos escalares. Continuidad y l mite funcional .. Curvas enRn.. Derivadas parciales. Vector gradiente .. 175 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf.

6 Javier P rezC lculo Ing. de Telecomunicaci n ndice Rectas tangentes y planos tangentes .. Ejercicios .. Extremos relativos .. Funciones vectoriales. Matriz jacobiana .. Extremos condicionados .. n de funciones impl citamente definidas .. 203 Universidad de GranadaDpto. de An lisis Matem ticoProf. Javier P rezC lculo Ing. de Telecomunicaci nLecci n1 axiomas de los n meros reales . Desigualdades. Principio deinducci nIntroducci nEn esta lecci n quiero que entiendas la importancia de disponer de un marco de referen-cia . Tratar de explicarme. Para empezar, voy a proponerteunos ejercicios muy Sabes probar que0x=0?

7 Int Qu entiendes por x? Es cierto que xes negativo?3. Escribe con palabras lo que afirma la igualdad( x)y= xy. Sabes probarla?4. Demuestra que six,0entoncesx2>0(en consecuencia1>0).5. Sabes por qu no se puede dividir por0?6. Seguro que sabes construir un segmento de longitud 2. Y de longitud 3?7. Qu quiere decir que un n mero no es racional? Demuestra que 2no es que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los n meros que hasolvidado cu ndo las aprendiste. Y ahora te piden que lasdemuestres! Puedo imaginar tu reac-ci n que demuestre que0x=0?, pero si eso es evidente! siempre me han dicho que es as !

8 C mo se puede demostrar tal cosa?.Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio est en que no sabes qu es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situacioneslo m s frecuente es quedarse colgado con lamente en blancosin saber qu hacer. Para evitarese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir enunas propiedades de los n meros ( axiomas , si quieres llamarlas as ) que vamos a aceptar comopunto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia l gi-ca usuales y con definiciones apropiadas nos permitir n demostrar resultados (teoremas) quepodremos usar para seguir avanzando.

9 Simplificando un poco,puede decirse que en matem -ticas no hay nada m s que axiomas y teoremas (bueno, tambi n hay conjeturas, proposiciones1N meros reales . Propiedades algebraicas y de ). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo0x=0es un que el nombreteoremase reserva para resultados que se consideran realmente impor-tantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan tambi n los t rminos:corolario,lema,proposici ny otros. Pero la estructura de unateor a matem tica elaboradase resume enun conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencial conveniente recordar las propiedades de los n meros reales porque son ellas las quenos permiten trabajar con desigualdades.

10 Es muy f cil equivocarse al trabajar con desigualda-des. Yo creo que en el bachillerato no se le da a este tema la importancia que merece. F jateque algunos de los conceptos m s importantes del C lculo se definen mediante desigualdades(por ejemplo, la definici n de sucesi n convergente o de l mite de una funci n en un punto).Por ello, tan importante como saber realizar c lculos m s o menos complicados, es aprendera manejar correctamente desigualdades, y la nica manera dehacerlo es con la pr ctica me-diante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempredeben respetarse cuidadosamentelas reglas generales que gobiernan las desigualdades entren merosy asegurarse de que se usancorrectamente.