COMMENT ABORDER LA DIVISION EUCLIDIENNE …

1 Evelyne TOUCHARD CPC Grenoble 4 Sept 2011 1 1. PROGRESSION DES NOTIONS DANS LES PROGRAMMES Cycle 1 CP CE1 CE2 CM1 CM2 Les nombres sont utilis s dans des situations o ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activit s de la classe, probl mes pos s par l enseignant de comparaison, d augmentation, de r union, de distribution, de partage Conna tre les doubles des nombres inf rieurs 10 et les moiti s des nombres pairs inf rieurs 20. R soudre des probl mes simples une op ration. Conna tre les doubles et moiti s de nombres d usage courant. Diviser par 2 ou 5 des nombres inf rieurs 100 (quotient exact entier). Approcher la DIVISION de deux nombres entiers partir d un probl me de partage ou de groupements Conna tre et utiliser des expressions telles que : double, moiti ou demi, triple, quart d un nombre entier.

2 - Conna tre et utiliser certaines relations entre des nombres d usage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60 Effectuer un calcul pos - Conna tre une technique op ratoire de la DIVISION et la mettre en uvre avec un diviseur un chiffre La notion de multiple : reconna tre les multiples des nombres d usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50 Effectuer un calcul pos - DIVISION EUCLIDIENNE de deux entiers. - DIVISION d cimale de deux entiers Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacit s en calcul mental sur les nombres entiers et d cimaux. - Diviser un nombre entier ou d cimal par 10, 100, 1 000 Effectuer un calcul pos - DIVISION d un nombre d cimal par un nombre entier 2. RAPPELS THEORIQUES POUR L ENSEIGNANT La DIVISION est une op ration complexe. - Elle utilise plusieurs op rations : additions, soustractions et multiplications. Elle n cessite donc une bonne aisance du calcul mental et une parfaite connaissance des tables de multiplication -Elle demande le maintien en m moire de nombreux r sultats partiels.

3 On en arrive vite une surcharge cognitive. De plus, si on ne pose pas les soustractions partielles, celles-ci peuvent faire intervenir des retenues sup rieures 1, ce qui est inhabituel pour les l ves. - Elle proc de par essais/erreurs : les chiffres crits successivement pour constituer le quotient sont le r sultat d une approximation ( en ..combien de ) qui peut conduire essayer un chiffre erron donc provisoire. La DIVISION est la seule op ration dans laquelle un chiffre calcul peut ne pas tre d finitif. -Sa technique op ratoire complexe fait perdre le sens. La principale difficult sera de passer des proc dures interm diaires la technique usuelle avec le passage des soustractions successives. Les caract ristiques de la DIVISION EUCLIDIENNE La DIVISION de deux entiers a et b est l op ration qui associe les deux nombres entiers : le quotient q, et le reste r tels que : a = b x q + r avec r compris entre 0 et b, b exclu d o b x q < a < b x (q+ 1) a) Le r sultat de la DIVISION est compos de deux nombres le quotient et le reste, alors que le r sultat de tout autre op ration (addiction, soustraction, multiplication) est compos d un seul nombre.

4 COMMENT ABORDER LA DIVISION EUCLIDIENNE AU CYCLE 3 ? Evelyne TOUCHARD CPC Grenoble 4 Sept 2011 2 b) Le symbole divis : ne sert que dans le cas particulier de la DIVISION exacte o le reste est nul (r= 0) ex : 45 : 9 = 5 - L criture suivante 47 : 9 = 5 reste 2 est fausse. - Dans le cas de la DIVISION avec reste on proposera l criture suivante : a : b ? avec a = b x (q+ r) c) Les probl mes relevant de la DIVISION EUCLIDIENNE sont de deux cat gories : les probl mes de partage ou DIVISION partition : on cherche la valeur d une part les probl mes de groupement r it r ou DIVISION quotition : on cherche le nombre de part LA DIVISION PARTAGE ou DIVISION PARTITION Les probl mes de partition correspondent des situations de partage, de distribution o on cherche la valeur de chaque part / Combien dans chaque paquet ?

5 Exemple : 35 images sont partag es quitablement entre 4 enfants. Combien d images chaque enfant aura-t-il ? 35 : 4 ? + Reste ? 35 LA DIVISION GROUPEMENT ou DIVISION QUOTITION Les probl mes de quotition correspondent des situations de groupement r it r o on est amen chercher le nombre de parts ( Combien de paquets ? ). Exemple : On a 53 livres et on veut former des lots de 4 livres par paquet. Combien de lot de livres peut-on faire ? Restera-t-il des livres ? Combien de paquets de 4 avec 53 livres ? 53 : 4 ? .. + Reste ? 53 Pour les l ves, ces probl mes s appuient sur deux op rations mentales tr s diff rentes.

6 Chercher le r sultat du partage quitable (valeur d une part) est un apprentissage tudi depuis la maternelle. Ce probl me est plus facilement reconnu comme un probl me de DIVISION . Chercher le r sultat d un groupement r it r (combien de part ?) est plus difficile et donc moins facilement reconnu par les l ves comme un probl me de DIVISION . ? ? ? ? 4 4 4 Evelyne TOUCHARD CPC Grenoble 4 Sept 2011 3 3. PROGRESSION POSSIBLE POUR DONNER DU SENS A LA TECHNIQUE DE LA DIVISION Cycle 1 : les probl mes de partage et de distribution Exemple : distribuer le m me nombre de marrons dans 2, 3, 4 assiettes, puis coller le m me nombre de gommettes dans chaque panier. Cycle 2 : les probl mes de partage avec des m thodes de r solution diff rentes Exemple : - Situation de partage quitable avec 33 marrons et 21 pommes de pin : par groupe 3 effectuer un partage e en 3 parts gales des marrons et des pommes de pin.

7 - Mise en commun : explication des m thodes utilis es - Travail individuel sur feuille partir des exercices du manuel. Insister sur le fait qu il peut rester des objets non partag s, mais le moins possible et qu il faut partager s par ment chaque cat gorie d objets. En cas de difficult s, le retour la manipulation avec les marrons est possible. Les proc dures de r solution envisageables par les l ves : dessin, essais de nombres ajout s 3 fois, soustractions successives de 3. - Prolongements : m me situation de d part avec des nombres d objets partager non divisibles par le nombre d enfants avec des nombres plus grands. Cycle 3 : probl mes de partage avec des r solutions expertes (voir Exemple de S quence La DIVISION au CE2) - A partir d un probl me de partage simple, avec des nombres bien choisis (les chiffres du dividende sont sup rieurs au chiffre du diviseur) laisser les l ves r soudre le probl me. L ordre des nombres dans l nonc a galement une importance : le dividende est donn avant le diviseur.

8 - Identifier toutes les strat gies utilis es par les l ves -Expliquer la technique op ratoire de la DIVISION partir d un probl me identique au pr c dent. Entrainer les l ves poser la potence et effectuer la DIVISION en posant la soustraction. -Faire varier les chiffres du dividende/ diviseur pour tudier tous les cas possibles : La DIVISION exacte sans reste sans retenue la DIVISION exacte avec retenues dans les tapes interm diaires La DIVISION avec reste (avec ou sans retenue) - Faire varier la place des nombres (dividende et diviseur) dans l nonc . LES DIFFERENTS NIVEAUX DE RESOLUTION Exemple : On veut ranger 72 ufs dans des boites de 6. Combien de boites va-t-on remplir compl tement ? Restera-t-il des ufs ? Pour r soudre ce probl me plusieurs proc dures sont possibles. Proc dure niveau 1 : Mimer la situation Dessiner les boites et les ufs compter les groupes utiliser du mat riel pour repr senter la situation Proc dures niveau 2 a. L addition r it r e 6 + 6 + 6 + 6 jusqu obtenir ou se rapprocher ou atteindre 72.

9 On compte le nombre de fois que 6 a t ajout et on trouve le nombre de boites. b. La soustraction r it r e 72 6 = 66 on remplit une boite. Reste 66 ufs. 66 6 = 60 on remplit une boite Evelyne TOUCHARD CPC Grenoble 4 Sept 2011 4 60 6 = 54 on remplit une boite 0 ou un nombre < 6. On compte le nombre de fois que 6 a t retranch et on trouve le nombre de boites. c. Tester des hypoth ses Si les nombres sont plus grands les m thodes pr c dentes ne sont plus utilisables Exemple : on veut ranger 425 ufs dans des boites de 6. Combien de boites va-t-on remplir compl tement ? On pourra s appuyer sur la table de 6 pour trouver un multiple de 6 et multiplier par 10. 6 x 10 = 60 6 x 50 = 300 6 x 60 = 360 6x70 = 420 6x 80 = 480 On remplit 70 boites et il reste 5 ufs Proc dure de niveau 3 : Technique de la DIVISION EUCLIDIENNE avec la potence 625 : 4 ?

10 La proc dure de niveau 3 correspond la proc dure experte. C D U 8 6 3 7 -7 C D U 1 6 1 2 3 -1 4 2 3 - 2 1 0 2 4. PROGRESSION EN CALCUL MENTAL Apprendre dresser la table de multiplication de n importe quel nombre sans faire la multiplication mais en utilisant la distributivit de la multiplication sur l addition et l associativit de la multiplication. Exemple : table de 17 17 x 1 = 17 17 x 2 = 34 (utilisation du double) 17 x 3 = 51 (utilisation de (17 x 1) + (17 x 2)) ou de (3 x 10) + (3 x 7) 17 x 4 = 68 (doubler 17 x 2) 17 x 5 = 85 (utilisation de (17 x 2) + (17 x 3) ou autre) 17 x 6 = 102 (doubler 17 x 3 ou utiliser d autres produits d j calcul s) 17 x 7 = 119 (utilisation de (17 x 3) + (17 x 4)) 17 x 8 = 136 (doubler 17 x 4 ou utiliser d autres produits d j calcul s) 17 x 9 = 153 (utiliser (17 x 4) + (17 x 5)) On peut ne pas calculer les produits dans l ordre mais choisir de calculer 17 x 5 d s qu on a calcul 17 x 2 et 17 x 3 qui se trouvent alors l un en dessous de l autre ce qui facilitera l addition.