Contagem, Probabilidade e Estatística

1 145 Cap tulo 4 Contagem, Probabilidade eEstat stica146147 Adaptado do artigo deRoberto Ribeiro PaterliniO problemados discosTemos aplicado o problema do jogo dos discos emclasses de estudantes de Licenciatura emMatem tica e temos acompanhado colegasprofessores que o tem aplicado no ensino m dio efundamental. O problema tem feito muito problema do jogo dos discosUma escola estava preparando uma Feira deCi ncias e foi pedido aos estudantes que bolassemum jogo que servisse para arrecadar fundos. Osestudantes observaram que no sal o da Feira o pisoera feito com quadrados de 30 cm de lado, dessesquadrados de Paviflex. Pensaram ent o emconstruir discos de papel o de um certo di metrod que seriam comprados pelos visitantes porR$ 1,00 cada um.

2 O visitante jogaria o discoaleatoriamente no piso. Se o disco, depois de pousarno piso, tocasse um lado de um quadrado, eleperderia para a escola o que tinha pago. Se, aocontr rio, acertasse o disco inteiramente dentro deum quadrado, ele receberia R$ 2,00 (R$ 1,00como devolu o e mais R$ 1,00 como pr mio).148O problema dos estudantes consistia em determinar o di metro d dosdiscos de modo que o jogo resultasse favor vel escola. Observaramque quanto menor d, melhor para o jogador, e quanto maior d, melhorpara a escola. O favorecimento para a escola n o deveria ser exagerado,pois, se o jogo fosse muito desfavor vel para o jogador, ningu m iriaquerer jogar. Resolveram que uma Probabilidade de 60% favor vel escolaseria 1 Como determinar o valor de d que resulta em uma Probabilidade de40% favor vel ao jogador e de 60% escola?

3 Pergunta 2 Qual ser , em m dia, o ganho da escola se 500 discos forem vendidosna feira?Resposta da Pergunta 1 Sob condi es ideais podemos supor que lan ar odisco aleatoriamente no piso o mesmo que lan ar seucentro aleatoriamente. Assim, a Probabilidade p de ojogador ganhar (no nosso caso 40%) a mesmaprobabilidade de um ponto, lan ado aleatoriamente dentrodo quadrado de lado 30, cair dentro do quadrado delado 30 d .Da defini o de Probabilidade geom trica temos ou Como queremos p = 40% = 0,4, obtemos No caso geral de um quadrado de lado l e Probabilidade p do jogadorganhar, uma solu o an loga fornece eportanto, 149 Apresentamos o gr fico de com Observe que um zero duplo de As duas linhas pontilhadas na figura acima mostram como se obt mgraficamente o valor de d tal que Resposta da Pergunta 2Se 500 discos forem vendidos na feira, a arrecada o bruta ser R$ 500,00.

4 Supondo que em 40% das jogadas (200 jogadas) os jogadoresganhem, a escola pagar R$ 400,00. Sobrar R$ 100,00 para a rios sobre o uso do jogo dos discos em sala de aulaParticipando de um projeto dos Departamentos de Matem tica e F sicada UFSCar tivemos a oportunidade de orientar um grupo de professoresque aplicaram o problema do jogo dos discos em suas resolver o problema por experimenta o foram constru dos dis-cos de madeirit ou de borracha com di metros 4, 6, 8, 10, 12 e 14 cm. Os professores observaram que devem ser feitos pelo menos 200lan amentos para cada di metro e para facilitar a experi ncia foram feitos10 discos de cada di metro. 150Os resultados obtidos em uma classe est o dispostos na tabela acima,sendo d o di metro dos discos, em cm, e p a Probabilidade de ojogador gr fico est o dispostos os pontos obtidos.

5 Os estudantes, usandouma folha de papel quadriculado e uma r gua, desenharam a curva quelhes pareceu ser a que melhor se aproximava dos pontos dados e obtiverama solu o (ligeiramente diferente do que obtivemos no gr fico).Ao fazer nosso gr fico (acima), usamos o aplicativo computacional Ma-ple V para obter a fun o quadr tica que mais se aproxima dos pontosdados. Acrescentamos na lista dos estudantes os pontos e A fun o obtida foiResolvendo a equa o em d, temos d p 4 75,5% 6 68,5% 8 62%10 50%12 38%14 32%151 Fazendo conex esNo problema do jogo dos discos podemos considerar pavimenta esde outros tipos para o piso onde ser o lan ados os discos, fazendoconex es com outras reas da Matem as pavimenta es chamadas mosaicos regulares doplano, constitu das por pol gonos regulares de um nico tipo e satisfazendoas condi es:(a) quando dois pol gonos se intersectam, essa interse o um lado ouum v rtice comum;(b) a distribui o dos pol gonos ao redor de cadav rtice sempre a mesma.

6 Os nicos mosaicosregulares do plano s o os constitu dos portri ngulos equil teros, quadrados ou hex gonosregulares (que se reduz aos tri ngulos).Vamos aplicar nosso jogo dos discos a esses tiposde pavimenta o. O caso de mosaicos formados por quadrados j foiestudado que o piso do jogo dos discos sejapavimentado com pe as na forma de tri ngulosequil teros de lado que o ap tema do tri ngulo equil tero(raio da circunfer ncia inscrita) vale osdiscos podem ter di metro d tal que 0 < d < 2a,ou seja, No interior do tri ngulo equil tero de lado l dispomos um tri nguloequil tero de lado t, com lados paralelos ao tri ngulo maior, de modoque a dist ncia entre o lado do tri ngulo maior ao lado paralelo do tri ngulomenor seja 152 Podemos verificar que a rela o entre l e t Lembrandoque a raz o entre as reas de duas figuras semelhantes igual raz oentre os quadrados dos lados, a Probabilidade de um disco de di metrod, lan ado aleatoriamente no piso, cair inteiramente dentro do tri ngulode lado l Resolvendo a equa o P(d)

7 = p em d, temos Como , temos Essa a solu o dojogo dos discos para o caso de o piso ser pavimentado com tri ngulosequil hist rica sobre Buffon e o problema dos ladrilhosGeorges Louis Leclerc, Conde de Buffon, nasceu em 7 de setembrode 1707, em Montbard, na Fran a, e morreu em 16 de abril de 1788, na aristocracia, estudou Medicina e Direito. Mostrou interessepela Matem tica, tendo descoberto sozinho a F rmula do Bin mio emantido correspond ncia com Cramer sobre Mec nica, Geometria, Probabilidade , Teoria dos N meros e C lculo Diferencial e Integral. Masera a Natureza a sua paix o. Dedicou-se principalmente Hist ria Natural,tendo sido o maior respons vel pelo crescimento do interesse pela Hist riaNatural na Europa, no s culo s culo XVIII acreditava-se que Deus havia criado as esp ciesseparadamente, isto , de modo independente umas das outras, e quea idade da Terra seria de no m ximo 6 000 anos.

8 Em sua Hist riaNatural, uma enciclop dia que continha todo o conhecimento da pocasobre a natureza, Buffon apontava, 100 anos antes de Darwin, assemelhan as entre homens e macacos e at mesmo sugeria a exist ncia de153um ancestral comum. Em As pocas da Natureza (1788), sugeria que aidade da Terra era muito maior que os 6 000 anos at ent o a ela atribu 4o volume do Suplemento Hist ria Natural, publicado em 1777,tem 3 de suas 35 se es dedicadas ao C lculo de Probabilidades. Umadelas Sur le jeu de franc-carreau (Sobre o jogo do ladrilho), na qualBuffon discute o jogo do ladrilho e apresenta o Problema da Agulha . Foio primeiro escrito sobre o que hoje se conhece por ProbabilidadeGeom jogo do ladrilhoEra bastante jogado pelas crian as francesas no s culo XVIII.

9 Umapequena moeda de raio R lan ada ao acaso em um ch o coberto porladrilhos quadrados de lado l (l > 2r). As crian as apostavam que amoeda cairia inteiramente dentro de um ladrilho ou que a moeda cairiaatravessando o lado de algum notou que a Probabilidade de a moeda cair inteiramente dentrode um ladrilho era a Probabilidade de o centro da moeda cair dentro deum quadrado de lado l Probabilidade a raz o entre as reas do quadrado e do ladrilho,pois a Probabilidade de o centro da moeda cair em uma regi o proporcional rea dessa regi o. Portanto, a Probabilidade de a moedacair inteiramente dentro de um ladrilho 154De tudo que ensinamos aos nossos alunos,os assuntos que despertam mais interesses o os que envolvem situa es do tempos de AIDS, o problema aseguir tem servido de boa fonte demotiva o e participa o, em sala de pa s, 10% da popula o portadorade um v rus.

10 Um teste para detectar ou n o apresen a do v rus d 90% de acertos quandoaplicado a portadores e d 80% de acertosquando aplicado a n o o percentual de pessoas realmenteportadoras do v rus, dentre aquelas que oteste classificou como portadoras?Vejamos uma solu o que pode ser dadasem citar teoremas de Probabilidade ouEstat que o teste foi aplicado aos Ihabitantes do pa s. O n mero de testes queindicou a presen a do v rus foi:Intui o eprobabilidadeAdaptado do artigo deRaul F. W. Agostino90% dos que realmente20% dos o portadoress o portadores0, 9 0,10, 2 0, 90, 090,180, 27 .nIIIII + =+=14243 14243155 Destas, s o portadoras 0, , s o realmente portadoras do v rus 0,09I/0,27I = 1/3 33,3%das pessoas que o teste classificou como n mero no m nimo curioso e mostra que uma pessoa que fez oteste e foi classificada como portadora tem grande possibilidade de serum falso-positivo (normalmente, quando uma pessoa faz um teste dessetipo e o resultado positivo, os m dicos recomendam um novo teste).